[A 基础达标]
1.方程C＝C的解为( )
A．4或9 B．4
C．9 D．5
解析：选A．当x＝3x－8时，解得x＝4；当28－x＝3x－8时，解得x＝9.
2.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )
A．60种 B．48种
C．30种 D．10种
解析：选C．从5人中选派2人参加星期六的公益活动有C种方法，再从剩下的3人中选派2人参加周日的公益活动有C种方法，故共有C·C＝30(种).
3.楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( )
A．72种 B．84种
C．120种 D．168种
解析：选C．需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有C＝120(种).
4.化简C＋2C＋C等于( )
A．C B．C
C．C D．C
解析：选B．由组合数的性质知，C＋2C＋C
＝(C＋C)＋(C＋C)
＝C＋C＝C.
5.男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )
A．2人或3人 B．3人或4人
C．3人 D．4人
解析：选A．设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得CC＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．故选A．
6.某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种.
解析：从10人中选派4人有C种方法，对选出的4人具体安排会议有CC种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有CCC＝2 520(种).
答案：2 520
7.对所有满足1≤m解析：因为1≤m答案：6
8.不等式C－n<5的解集为________.
解析：由C－n<5，得－n<5，所以n2－3n－10<0.解得－2答案：{2，3，4}
9.(1)解方程：A＝6C；
(2)解不等式：C>3C.
解：(1)原方程等价于
m(m－1)(m－2)＝6×，
所以4＝m－3，解得m＝7.
(2)由已知得所以x≤8，且x∈N*，
因为C>3C，所以>.
即>，所以x>3(9－x)，解得x>，
所以x＝7，8.
所以原不等式的解集为{7，8}.
10.一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
解：(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C＝12 376.
(2)教练员可以分两步完成这件事情：
第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C种选法；
第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C种选法.
所以教练员做这件事情的方式种数为C×C＝136 136.
[B 能力提升]
11.某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有( )
A．35种 B．70种
C．30种 D．65种
解析：选B．先从7人中选出3人有C＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案有2C＝70(种).
12.某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角的A地到东北角的B地的最短路线共有________条.
解析：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有CC＝126种走法，故从A地到B地的最短路线共有126条.
答案：126
13.(1)在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌．一名参赛者可能得到多少手不同的牌(用排列数或组合数表示)？
(2)某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券．问：此人有多少种不同的投资方式？
解：(1)本题实质上是从52个元素中任选13个元素作为一组的组合问题，共有C种不同的可能．即一名参赛者可能得到C手不同的牌.
(2)需分两步：
第1步，根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，共有C种选法；
第2步，根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，共有C种选法.
根据分步乘法计数原理，此人有C·C＝17 325种不同的投资方式.
14.(选做题)某足球赛共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛共进行了多少场比赛？
解：可分为如下几类比赛：
(1)小组循环赛：每组有C＝6场，8个小组共有48场；
(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，16强分成8组，每组两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；
(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强再分成4组，每组两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；
(4)半决赛，4强再分成2组，每组两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；
(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场，决出第三、四名，共有2场．综上，共有48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛.
课件44张PPT。第一章 计数原理第一章 计数原理合成一组所有不同组合组合概念的理解组合数公式、性质的应用简单的组合问题按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束
[A 基础达标]
1.(2019·深圳高二检测)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
A．30种 B．35种
C．42种 D．48种
解析：选A．法一：选修1门A类，2门B类课程的选法有CC种；选修2门A类，1门B类的课程的选法有CC种．故选法共有CC＋CC＝18＋12＝30(种).
法二：从7门选修课中选修3门的选法有C种，其中3门课都为A类的选法有C种，都为B类的选法有C种，故选法共有C－C－C＝30(种).
2.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )
A．140种 B．120种
C．35种 D．34种
解析：选D．从7人中选4人，共有C＝35种选法，4人全是男生的选法有C＝1种．故4人中既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34种.
3.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )
A．12种 B．18种
C．36种 D．54种
解析：选B．先将1，2捆绑后放入信封中，有C种放法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C×C(种)放法，所以共有C×C×C＝18(种)放法.
4.平面内有4个红点，6个蓝点，其中只有一个红点和两个蓝点共线，其余任意三点不共线，过这十个点中的任意两点所确定的直线中，至少过一个红点的直线的条数是( )
A．30 B．29
C．28 D．27
解析：选B．过一个红点有CC－1＝23(条)直线；过两个红点有C＝6(条)直线，所以共有23＋6＝29(条)直线，故选B．
5.(2019·贵阳高二检测)有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )
A．24 B．48
C．72 D．96
解析：选B．据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有AA种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有AACC种不同的摆放方法．由分类加法计数原理可得共有AA＋AACC＝48种摆放方法.
6.现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有________种不同的选派方案．(用数字作答)
解析：根据题意，分两种情况讨论：
①甲、乙两位同学只有一人入选，只需从剩余的6人中再选出3人，有C×C＝40(种)选派方案；
②甲、乙两位同学都没有入选，只需从剩余的6人中选出4人，有C＝15(种)选派方案．则共有40＋15＝55种选派方案.
答案：55
7.(2019·泰安高二检测)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答)
解析：当每个台阶上各站1人时有CA种站法；当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法．因此不同的站法种数为CA＋CCC＝210＋126＝336.
答案：336
8.有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有________个.
解析：分两类，第一类：从直线a上任取一个点，从直线b上任取两个点，共有C·C种方法；第二类：从直线a上任取两个点，从直线b上任取一个点共有C·C种方法．所以满足条件的三角形共有C·C＋C·C＝70个.
答案：70
9.(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？
(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？
解：(1)正方体8个顶点可构成C个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的四个顶点．故可以确定四面体C－12＝58个.
(2)由(1)知，正方体共面的四点组有12个，以这每一个四点组构成的四边形为底面，以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个四棱锥，故可以确定四棱锥12C＝48个.
10.某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选法？
解：分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，
此时选法有CC＝75(种)；
第二类，选出的4名钳工中有1名“多面手”，
此时选法为CCC＝100(种)；
第三类，选出的4名钳工中有2名“多面手”，
此时选法为CCC＝10(种).
由分类加法计数原理，得不同的选法共有75＋100＋10＝185(种).
[B 能力提升]
11.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为( )
A．208 B．204
C．200 D．196
解析：选C．任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C，所以可以构成三角形的组数为C－3C－8C＝200，故选C．
12.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).
解析：定向分配问题，先分组后分配．将8张奖券分四组，再分配给4个人．分四组有两种方法：一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4个人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4个人有CA种分法．所以不同的获奖情况有A＋CA＝24＋36＝60种.
答案：60
13.从1到6这6个数字中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：
(1)能组成多少个不同的四位数？
(2)四位数中，2个偶数排在一起的有几个？
(3)2个偶数不相邻的四位数有几个？(所得结果均用数值表示).
解：(1)易知四位数共有CCA＝216(个).
(2)上述四位数中，偶数排在一起的有CCAA＝108(个).
(3)由(1)(2)知两个偶数不相邻的四位数有216－108＝108(个).
14.(选做题)有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
解：法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：
(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种方法；0可在后两位，有C种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC·22个.
(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数有C·22·A个.
(3)0和1都不取，有不同的三位数C·23·A个.
综上所述，共有不同的三位数：
CCC·22＋C·22·A＋C·23·A＝432个.
法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C·23·A个，其中0在百位的有C·22·A个，这是不合题意的，故共有不同的三位数C·23·A－C·22·A＝432个.
两个计数原理与排列、组合(强化练)
一、选择题
1.从n个人中选出两人，分别从事两项不同的工作，若选派方案的种数为72，则n的值为( )
A．6 B．9
C．12 D．15
解析：选B．因为A＝72，所以n＝9.
2.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
A．60种 B．70种
C．75种 D．150种
解析：选C．根据题意，知从6名男医生中选2名、从5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有CC＝75(种).
3.有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有( )
A．72种 B．54种
C．48种 D．8种
解析：选C．用分步乘法计数原理：第一步：先排每对师徒有A·A·A，
第二步：将每对师徒当作一个整体进行排列有A种，由分步乘法计数原理共有A·(A)3＝48种.
4.某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有( )
A．A×A种
B．A×54种
C．C×A种
D．C×54种
解析：选D．因为有且只有两个年级选择甲博物馆，所以参观甲博物馆的年级有C种情况，其余年级均有5种选择，所以共有54种情况，根据分步乘法计数原理可得共有C×54种情况．故选D．
5.口袋里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15只，白色手套10只．现从中随机抽取出两只手套，若两只是同色手套，则甲获胜，若两只手套颜色不同，则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是( )
A．甲多 B．乙多
C．一样多 D．不确定
解析：选C．两只是同色手套的取法有C＋C＝150(种)；两只不是同色手套的取法有C·C＝150(种).
6.以圆x2＋y2－2x－2y－1＝0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为( )
A．76 B．78
C．81 D．84
解析：选A．如图，首先求出圆内的整数点个数，然后求组合数，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝3，圆内共9个整数点，组成的三角形的个数为C－8＝76.
7.现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数为( )
A．135 B．172
C．189 D．162
解析：选C．不考虑特殊情况，共有C种取法，取三张相同颜色的卡片，有4种取法，只取两张红色卡片(另一张非红色)，共有CC种取法.所求取法种数为C－4－CC＝189.
8.从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是( )
A．36 B．42
C．48 D．54
解析：选C．若从0，2，4中取一个数字是“0”，则“0”不放百位，有C种放法，再从1，3，5中取两个数字放在其他两位，有A种放法，共组成C·A＝12个三位数；若从0，2，4中取的一个数字不是“0”，则有C种取法，再从1，3，5中取两个数字有C种取法，共组成CCA＝36个三位数．所以所有不同的三位数有12＋36＝48(个).
9.安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为( )
A．72种 B．96种
C．120种 D．156种
解析：选B．甲、乙、丙三位教师安排星期一至星期六的任意三天，其余三天丁值日，共有A＝120种，其中丁没有连续的安排，安排甲、乙、丙三位教师后形成了4个间隔，任选3个安排丁，故有AC＝24种，故丁至少要有两天连续安排的方法有120－24＝96种，故选B．
10.用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有( )
A．324个 B．216个
C．180个 D．384个
解析：选A．个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有C·A·C＋A·C＝90(个)；个位、十位和百位上的数字为1个偶数、2个奇数的有C·A·C＋C·C·A·C＝234(个)．根据分类加法计数原理得到共有90＋234＝324(个)．故选A．
二、填空题
11.若＝89，则n＝________.
解析：＝
＝(n－5)(n－6)－1＝89，
即n2－11n－60＝0，
解得n＝15或n＝－4(舍去).
答案：15
12.如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色的方法有________种.
解析：若1，3不同色，则1，2，3，4必不同色，有3A＝72(种) 涂色方法；若1，3同色，有C×A＝24(种)涂色方法．根据分类加法计数原理可知，共有72＋24＝96(种)涂色方法.
答案：96
13.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有________种.
解析：因为甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2，2，1和3，1，1两种分配方案，①2，2，1方案：甲，丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有C×A＝18种；②3，1，1方案：在丁、戊中选出1人，与甲丙组成一组，然后排列，共有C×A＝12种；所以不同的选派方案共有18＋12＝30种.
答案：30
14.从－7，－5，－2，－1，1，2，5，7中任取3个不同的数作为椭圆ax2＋by2－c＝0的系数，则能确定的椭圆的个数为________.
解析：椭圆方程化为标准形式为＋＝1.
由＞0，＞0，得a，b，c同号.
当a，b，c同为正数时，取三个不同的数有A种取法，可得A＝24个椭圆.
当a，b，c同为负数时，取三个不同的数有A种取法，可得A＝24个椭圆，但此时每个椭圆均与a，b，c同为正数时重复，如a＝－7，b＝－5，c＝－2与a＝7，b＝5，c＝2对应的椭圆重复．所以能确定的椭圆有24个.
答案：24
三、解答题
15.现有10件产品，其中有2件次品，任意取出3件检查.
(1)若正品A被取到，则有多少种不同的取法？
(2)恰有一件是次品的取法有多少种？
(3)至少有一件是次品的取法有多少种？
解：(1)C＝＝36(种).
(2)从2件次品中任取1件，有C种取法，从8件正品中任取2件，有C种取法，由分步乘法计数原理得，不同的取法共有C×C＝2×＝56(种).
(3)法一：含1件次品的取法有CC种，含2件次品的取法有C×C种，由分类加法计数原理得，不同的取法共有C×C＋C×C＝56＋8＝64(种).
法二：从10件产品中任取3件，取法有C种，不含次品的取法有C种，所以至少有1件次品的取法有C－C＝64(种).
16.7名班委中有A，B，C三人，有7种不同的职务．现对7名班委进行职务具体分工.
(1)若正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担任，则有多少种分工方案？
(2)若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担任，则有多少种分工方案？
解：(1)先安排正、副班长有A种方法，再安排其余职务有A种方法．由分步乘法计数原理知共有AA＝720种方法.
(2)7人的任意分工方案有A种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A·A种，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A－A·A＝3 600(种).
17.5男5女共10个同学排成一行.
(1)女生都排在一起，有几种排法？
(2)女生与男生相间，有几种排法？
(3)任何两个男生都不相邻，有几种排法？
(4)5名男生不排在一起，有几种排法？
解：(1)将5名女生看作一人，就是6个元素的全排列，有A种排法．又5名女生内部有A种排法，所以共有排法A·A＝86 400种.
(2)男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有2种插法)，所以女生与男生相间共有排法2A·A＝28 800种.
(3)女生先排，女生之间及首尾共有6个空隙．任取其中5个安插男生即可，因而任何男生都不相邻的排法共有A·A＝86 400种.
(4)直接分类较复杂，可用间接法．即从10个人的排列总数中，减去5名男生排在一起的排法数，得5名男生不排在一起的排法数为A－AA＝3 542 400种.
18.把4个男同志和4个女同志平均分成4组，到4辆公共汽车里参加售票活动，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同情况.
(1)有几种不同的分配方法？
(2)每个小组必须是一个男同志和一个女同志，有几种不同的分配方法？
(3)男同志与女同志分别分组，有几种不同的分配方法？
解：(1)男女合在一起共有8人，每个车上2人，可以分四个步骤完成，先安排2人上第一个车，共有C种，再上第二个车共有C种，再上第三个车共有C种，最后上第四个车共有C种，按分步乘法计数原理有C·C·C·C＝2 520种.
(2)要求男女各1人，因此先把男同志安排上车，共有A种不同方法，同理，女同志也有A种方法，由分步乘法计数原理，车上男女各1人的不同分配方法为A·A＝576种.
(3)男女分别分组，4个男的平均分成两组共有＝3种，4个女的平均分成两组也有＝3种不同分法，这样分组方法就有3×3＝9种，对于其中每一种分法上4辆车，又有A种上法，因而不同分配方法为9·A＝216种.
课件32张PPT。第一章 计数原理第一章 计数原理有限制条件的组合问题组合中的分组、分配问题与几何图形有关的组合问题排列与组合的综合问题按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束
