课件38张PPT。第一章 计数原理第一章 计数原理右边的式子二项式定理的正用与逆用求二项展开式中的特定项或其系数二项式定理的灵活应用按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束
[A 基础达标]
1.在的二项展开式中，x的系数为( )
A．10 B．－10
C．40 D．－40
解析：选D．Tr＋1＝C(2x2)5－r＝(－1)r·25－r·C·x10－3r，令10－3r＝1，得r＝3.
所以x的系数为(－1)3·25－3·C＝－40.故选D．
2.(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )
A．－20 B．－15
C．15 D．20
解析：选C．由题意得Tr＋1＝C(4x)6－r·(－2－x)r＝(－1)r·C2(12－3r)x，令12－3r＝0，得r＝4，则常数项为(－1)4C＝15，故选C．
3.二项式(1＋)6的展开式中有理项系数之和为( )
A．64 B．32
C．24 D．16
解析：选B．二项式(1＋)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cx，令为整数，可得r＝0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为C＋C＋C＋C＝32，故选B．
4.若二项式(x＋2)n的展开式的第4项是，第3项的二项式系数是15，则x的值为( )
A． B．
C． D．
解析：选B．由二项式(x＋2)n的展开式的第4项为23Cxn－3，第3项的二项式系数是C，可知C＝15，23Cxn－3＝，可得n＝6，x＝，选B．
5.(2019·四平高二检测)(1－x)4(1－)3的展开式中x2的系数是( )
A．－6 B．－3
C．0 D．3
解析：选A．因为(1－x)4(1－)3＝(1－4x＋6x2－4x3＋x4)(1－3x＋3x－x)，
所以x2的系数是－12＋6＝－6.
6.如果的开展式中，x2项为第三项，则自然数n＝________.
解析：因为Tk＋1＝C()n－k＝Cx，
由题意知k＝2时，＝2，所以n＝8.
答案：8
7.设n为自然数，化简C·2n－C·2n－1＋…＋(－1)k·C·2n－k＋…＋(－1)n·C＝________.
解析：原式＝C·2n·(－1)0＋C2n－1·(－1)1＋…＋(－1)k·C2n－k＋…＋(－1)n·C·20＝(2－1)n＝1.
答案：1
8.(2019·临沂高二检测)设二项式(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________.
解析：对于Tr＋1＝Cx6－r(－ax)r＝C(－a)rx，B＝C(－a)4，A＝C·(－a)2.因为B＝4A，a>0，所以a＝2.
答案：2
9.记的展开式中第m项的系数为bm.
(1)求bm的表达式；
(2)若n＝6，求展开式中的常数项；
(3)若b3＝2b4，求n.
解：(1)的展开式中第m项为C·(2x)n－m＋1·＝2n＋1－m·C·xn＋2－2m，
所以bm＝2n＋1－m·C.
(2)当n＝6时，的展开式的通项为Tr＋1＝C·(2x)6－r·＝26－r·C·x6－2r.
依题意，6－2r＝0，得r＝3，
故展开式中的常数项为T4＝23·C＝160.
(3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·C＝2·2n－3·C，从而C＝C，即n＝5.
10.已知的展开式中，前三项的系数成等差数列.
(1)求展开式中含x的项；
(2)求展开式中所有的有理项.
解：(1)由已知可得C＋C·＝2C·，即n2－9n＋8＝0，
解得n＝8或n＝1(舍去).
故Tk＋1＝C()8－k·＝C·2－k·x，
令4－k＝1，得k＝4，所以含x的项为T5＝C×2－4x＝x.
(2)令4－k∈Z，且0≤k≤8，则k＝0或k＝4或k＝8，所以展开式中的有理项分别为T1＝x4，T5＝x，T9＝.
[B 能力提升]
11.若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：选B．x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C×2＝6.
12.设(x－)n的展开式中第二项与第四项的系数之比为1∶2，求含x2的项.
解：(x－)n的展开式中第二项与第四项分别为
T2＝C·xn－1·(－)＝－nxn－1，
T4＝C·xn－3·(－)3＝－2Cxn－3.
根据题意得到＝，
整理得n2－3n－4＝0，
解得n＝4或n＝－1(没有意义，舍去).
设(x－)4的展开式中含x2的项为第(r＋1)项，
则Tr＋1＝C·x4－r·(－)r(r＝0，1，2，3，4)，
根据题意有4－r＝2，解得r＝2，
所以(x－)4的展开式中含x2的项为T3＝C·x2·(－)2＝12x2.
13.(选做题)已知在的展开式中，第9项为常数项．求：
(1)n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数次幂的项的个数.
解：二项展开式的通项为Tk＋1＝C·＝(－1)kCx.
(1)因为第9项为常数项，
即当k＝8时，2n－k＝0，即2n－20＝0，解得n＝10.
(2)令2n－k＝5，得k＝(2n－5)＝6，所以x5的系数为(－1)6C＝.
(3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项.
