课件44张PPT。第一章 计数原理第一章 计数原理1相等和增大减小与杨辉三角有关的问题二项式系数和问题求二项展开式中系数或二项式系数的最大项按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束
[A 基础达标]
1.若(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )
A．210 B．252
C．462 D．10
解析：选A．由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为C＝210.
2.(1＋x)n(3－x)的展开式中各项系数的和为1 024，则n的值为( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选B．由题意知(1＋1)n(3－1)＝1 024，即2n＋1＝1 024，所以n＝9.故选B．
3.(2019·烟台高二检测)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．212 B．211
C．210 D．29
解析：选D．因为(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，所以二项式(1＋x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝29.
4.已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝( )
A．32 B．64
C．128 D．256
解析：选D．由题意可得C＝C，所以n＝4.
令x＝－1，则(3－x)n＝(3＋1)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝256.
所以a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝256.
5.设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于( )
A．2n B．
C．2n＋1 D．
解析：选D．令x＝1得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n.①
令x＝－1得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n.②
①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)，
所以a0＋a2＋…＋a2n＝.故选D．
6.已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝________.
解析：展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rC·a5－r·xr，
令r＝2，则a2＝(－1)2C·a3＝80，
即a＝2，
故(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a5＝1.
答案：1
7.若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________.
解析：因为(1＋)5＝C()0＋C()1＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5
＝1＋5＋20＋20＋20＋4＝41＋29，
由已知可得41＋29＝a＋b，
所以a＋b＝41＋29＝70.
答案：70
8.(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a11(x－1)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________.
解析：令x＝1，得a0＝－2.
令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0.
所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝2.
答案：2
9.设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：
(1)a0；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；
(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；
(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.
解：(1)令x＝0，可得a0＝2100.
(2)令x＝1，可得
a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，(*)
所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.
(3)令x＝－1.
可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.
与(*)式联立相减得
a1＋a3＋…＋a99＝.
(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－)(2＋)]100＝1100＝1.
(5)因为Tr＋1＝(－1)rC2100－r()rxr.
所以a2k－1<0(k∈N*).
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.
10.已知的展开式的各项系数之和等于的展开式中的常数项，求：
(1)展开式的二项式系数和；
(2)展开式中含a－1项的二项式系数.
解：依题意，令a＝1，得展开式中各项系数和为(3－1)n＝2n，展开式中的通项为Tr＋1＝C(4)5－r＝(－1)rC45－r·5－b.
若Tr＋1为常数项，则＝0，即r＝2，故常数项为T3＝(－1)2C·43·5－1＝27，
于是有2n＝27，得n＝7.
(1)展开式的二项式系数和为2n＝27＝128.
(2)的通项为Tr＋1＝C·(－)r＝C(－1)r·37－r·a，
令＝－1，得r＝3，
所以所求a－1项的二项式系数为C＝35.
[B 能力提升]
11.若(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋…＋a2 017x2 017(x∈R)，则＋＋…＋的值为( )
A．2 B．0
C．－2 D．－1
解析：选D．(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋…＋a2 017x2 017，令x＝，
则(1－2×)2 017＝a0＋＋＋…＋＝0，
其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1.
12.(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.
解析：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.
令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，所以 a＝3.
答案：3
13.已知(x＋3x2)n的展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项.
解：(1)令x＝1，则展开式中各项系数的和为(1＋3)n＝22n，又展开式中二项式系数的和为2n，
所以22n－2n＝992，解得n＝5，
所以展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
所以T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，
T4＝C(x)2(3x2)3＝270x.
(2)设展开式中第r＋1项系数最大，
则Tr＋1＝C(x)5－r(3x2)r＝3rCx，
所以?≤r≤，又r∈N，所以r＝4.
即展开式中第5项系数最大，
T5＝C(x)(3x2)4＝405x.
14.(选做题)在杨辉三角中，除每行的两端数值外，每一数值都是它左上角和右上角两个数值之和，杨辉三角开头几行如图所示.
(1)利用杨辉三角展开(1－x)6；
(2)在杨辉三角中哪一行会出现相邻的三个数，它们的比是3∶4∶5？
解：(1)根据杨辉三角的规律“每行两端都是1，其余每个数都等于它肩上的两个数的和”，可写出第6行的二项式系数为1，6，15，20，15，6，1，所以(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋20a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.
令a＝1，b＝－x，得(1－x)6＝1－6x＋15x2－20x3＋15x4－6x5＋x6.
(2)设在第n行出现的三个相邻的数的比是3∶4∶5，并设这三个数分别是C，C，C，
则有
所以
所以即
所以
即在第62行会出现C∶C∶C＝3∶4∶5.
