[A 基础达标]
1．若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选A．P＝C·×＝.
2．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)＝( )
A．C× B．C×
C．× D．×
解析：选C．X＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是×.
3．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选A．当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P＝C()2(1－)×＝3×××＝，故选A．
4．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：选C．由1－C>0.9，得<0.1，所以n≥4.
5．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{an}，an＝，如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为( )
A．C×()2×()5 B．C×()2×()5
C．C×()2×()5 D．C×()2×()2
解析：选B．由S7＝3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为，摸取白球的概率为，则S7＝3的概率为C×()2×()5，故选B．
6．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．(填序号)
①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次，出现点数是3的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；
③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数．
解析：对于①，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P(A)＝.而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k＝0，1，2，…，n)的概率P(ξ＝k)＝C××，符合二项分布的定义，即有ξ～B；对于②，ξ的取值是1，2，3，…，n，P(ξ＝k)＝0.9×0.1k－1(k＝1，2，3，…，n)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布；③和④的区别是③是“有放回”抽取，而④是“不放回”抽取，显然④中n次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～B.
答案：①③
7．某市公租房的房源位于甲、乙、丙三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．则该市的4位申请人中恰有2人申请甲片区房源的概率为________．
解析：每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请甲片区房源记为A，则P(A)＝，恰有2人申请甲片区的概率为P＝C··＝.
答案：
8．(2019·郑州高二检测)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.则乙恰好比甲多击中目标2次的概率为________．
解析：设“乙恰好比甲多击中目标2次”为事件A，“乙击中目标2次且甲击中目标0次”为事件B1，“乙击中目标3次且甲击中目标1次”为事件B2，则A＝B1∪B2，B1，B2为互斥事件，则P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝C×()2××C×()3＋C×()3×C×()3＝，
所以乙恰好比甲多击中目标2次的概率为.
答案：
9．(2019·西安高二检测)实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)．
(1)试分析求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．
(2)求按比赛规则甲获胜的概率．
解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.
(1)记事件A＝“甲打完3局才能取胜”，记事件B＝“甲打完4局才能取胜”，记事件C＝“甲打完5局才能取胜”．
①甲打完3局才能取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜．
所以甲打完3局才能取胜的概率为P(A)＝C＝.
②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负，所以甲打完4局才能取胜的概率为P(B)＝C××＝.
③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负，所以甲打完5局才能取胜的概率为P(C)＝C×××＝.
(2)记事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则D＝A＋B＋C，又因为事件A、B、C彼此互斥，
故P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.即按比赛规则甲获胜的概率为.
10．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)用X表示该地的5位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的分布列．
解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；
B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；
C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；
D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．
(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A∪B，
P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，由已知得X～B(5，0.2)，
所以P(X＝k)＝C0.2k0.85－k(k＝0，1，2，3，4，5)，分布列如下表：
X
0
1
2
3
4
5
P
0.85
C0.84×0.2
C0.22×0.83
C0.23×0.82
C0.24×0.81
0.25
[B 能力提升]
11．一个口袋内有n(n＞3)个大小相同的球，其中3个红球和(n－3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p.若6p∈N，有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于，则p＝________，n＝________．
解析：由题设知，Cp2(1－p)2＞.因为p(1－p)＞0，
所以不等式化为p(1－p)＞，
解得＜p＜，故2＜6p＜4.
又因为6p∈N，所以6p＝3，即p＝.由＝，得n＝6.
答案： 6
12．张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为________．
解析：如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟，所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P＝1－(1－)4＝.
答案：
13．(2019·沧州高二检测)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)．
(1)求在1次游戏中，
①摸出3个白球的概率；
②获奖的概率；
(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列．
解：(1)①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0，1，2，3)，
则P(A3)＝·＝.
②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.
又P(A2)＝·＋·＝，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.
(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
14．(选做题)某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审，则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立．
(1)求某应聘人员被录用的概率．
(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．
解：设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C.
(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A∪BC，
因为P(A)＝×＝.
P(B)＝2××＝，P(C)＝，
所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝.
(2)根据题意，知X＝0，1，2，3，4，设Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0，1，2，3，4)，则
P(A0)＝C××＝，
P(A1)＝C××＝，
P(A2)＝C××＝，
P(A3)＝C××＝，
P(A4)＝C××＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
离散型随机变量及其分布列、二项分布及其应用(强化练)
一、选择题
1．下列随机变量X不服从二项分布的是( )
A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数6出现的次数
B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C．实力相等的甲、乙两位选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数
D．某星期内，每次下载某网站的数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数
解析：选B．选项A，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数6在每一次试验中概率都为，每一次试验都是相互独立的，故随机变量X服从二项分布．选项B，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种，每一次试验事件相互独立且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布．选项C，甲、乙的获胜率相等，进行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X服从二项分布．选项D，由二项分布的定义，知被感染次数X～B(n，0.3)．
2．小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选A．3次中恰有1次通过的概率为C××＝.
3．设随机变量X的概率分布列如表所示，则P(|X－2|＝1)等于( )
X
1
2
3
4
P
m
A． B．
C． D．
解析：选C．由分布列的性质知＋＋＋m＝1，故m＝.又由|X－2|＝1，知X＝3或X＝1.
所以P(|X－2|＝1)＝P(X＝3)＋P(X＝1)＝＋＝.选C．
4．一名射手对同一目标独立地射击四次，已知他至少命中一次的概率为，则此射手一次射击命中的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选B．设此射手射击四次命中次数为ξ，一次射击命中的概率为p，所以ξ～B(4，p)．
依题意可知，P(ξ≥1)＝，
所以1－P(ξ＝0)＝1－C(1－p)4＝，
所以(1－p)4＝，
所以p＝.
5．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选B．设事件A：甲实习生加工的零件为一等品，
事件B：乙实习生加工的零件为一等品，
则P(A)＝，P(B)＝，
所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为
P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×(1－)＋(1－)×＝.
6．盒中有10只螺丝钉，其中3只是坏的，现在从盒中不放回地依次抽取两只，那么在第一只抽取为好的条件下，第二只是坏的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选B．设事件A为“第一只抽取为好的”，事件B为“第二只是坏的”，则P(A)＝，P(AB)＝，所以P(B|A)＝，选B．
7．若随机变量X～B，则P(X＝k)最大时，k的值为( )
A．1或2 B．2或3
C．3或4 D．5
解析：选A．依题意P(X＝k)＝C××，k＝0，1，2，3，4，5.可以求得P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝.故当k＝1或2时P(X＝k)最大．
8．从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选D．设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即P(A|B)．
P(AB)＝P(A)＝，P(B)＝，
由公式P(A|B)＝＝＝＝.故选D．
9．某工厂师徒二人加工相同型号的零件，是否加工出精品互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为，徒弟加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选A．因为师傅加工一个零件是精品的概率为，徒弟加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件不全是精品的对立事件是师徒二人各加工2个零件全是精品，所以师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为P＝1－C()2C()2＝.故选A．
10．如果X～B，Y～B，那么当X，Y变化时，使P(X＝xk)＝P(Y＝yk)成立的(xk，yk)的个数为( )
A．10 B．20
C．21 D．0
解析：选C．根据二项分布的特点，知(xk，yk)分别为(0，20)，(1，19)，(2，18)，…，(20，0)，共21个，故选C．
二、填空题
11．现有10张奖券，其中8张2元的，2张5元的，从中同时取3张，记所得金额为ξ元，则P(ξ＝6)＝________，P(ξ＝9)＝________．
解析：ξ＝6代表事件为取出的三张都是2元的，
所以P(ξ＝6)＝＝，
ξ＝9代表事件为取出的三张有两张2元的，一张5元的，
所以P(ξ＝9)＝＝.
答案：
12．一袋中装有4个白球，2个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次停止，设停止时，取球次数为随机变量X，则P(X＝5)＝________．
解析：X＝5表示前4次中有2次取到红球，2次取到白球，第5次取到红球．
则P(X＝5)＝C()2×()2×＝.
答案：
13．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上风又下雨的概率为，设事件A为下雨，事件B为刮四级以上的风，那么P(B|A)＝________．
解析：由题意知P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，所以P(B|A)＝＝.
答案：
14.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入B袋中的概率为________．
解析：记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，若小球落入A袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，
故P(A)＝＋＝，从而P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
答案：
三、解答题
15．为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：
队别
北京
上海
天津
八一
人数
4
6
3
5
(1)从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一队的概率；
(2)中国女排奋力拼搏，战胜了韩国队获得冠军，若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
解：(1)“从这18名队员中选出两名，两人来自同一队”记作事件A，则P(A)＝＝.
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2.因为P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以ξ的分布列如下：
ξ
0
1
2
P
16．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为.
(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X，求X的分布列．
解：(1)设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB∪ ”，且事件A，B相互独立．
所以P(AB∪ )＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋(1－)×(1－)＝.
(2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.
且X～B(4，)．
所以P(X＝k)＝C()k(1－)4－k＝C()4(k＝0，1，2，3，4)．
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
17．甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；
(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列．
解：用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”．
则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1，2，3，4，5.
(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)
＝()2＋×()2＋××()2
＝.
(2)X的可能取值为2，3，4，5.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝.
P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝.
P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)＝.
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.
故X的分布列为
X
2
3
4
5
P
18.甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲、乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是.设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．
(1)求随机变量ξ的分布列；
(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．
解：(1)由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P(ξ＝0)＝(1－)(1－)(1－)＝，
P(ξ＝1)＝(1－)(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)(1－)×＝，
P(ξ＝2)＝××(1－)＋×(1－)×＋(1－)××＝，
P(ξ＝3)＝××＝，
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
(2)设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，
则P(A)＝×C×()3＋×C×()2×(1－)＋×C××(1－)2＝.
P(AB)＝×C××(1－)2＝，
P(B|A)＝＝＝.
课件42张PPT。第二章 随机变量及其分布第二章 随机变量及其分布相同X～B(n，p)成功概率独立重复试验的概率二项分布二项分布的综合应用按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束
