[A 基础达标]
1．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于( )
A．m B．2m(1－m)
C．m(m－1) D．m(1－m)
解析：选D．随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
P
1－m
m
所以E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.
所以D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．
2．随机变量ξ的分布列如表，且E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝( )
ξ
0
1
x
P
p
A．0.36 B．0.52
C．0.49 D．0.68
解析：选C．先由随机变量分布列的性质求得p＝.由E(ξ)＝0×＋1×＋x＝1.1，得x＝2，所以D(ξ)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.
3．设ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C()k()5－k(k＝0，1，2，3，4，5)，则D(3ξ)＝( )
A．10 B．30
C．15 D．5
解析：选A．由ξ的分布列知ξ～B(5，)，所以D(ξ)＝5××(1－)＝，
所以D(3ξ)＝9D(ξ)＝10.
4．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为( )
A．E(X)＝0，D(X)＝1
B．E(X)＝，D(X)＝
C．E(X)＝0，D(X)＝
D．E(X)＝，D(X)＝1
解析：选A．由题意知，随机变量X的分布列为
X
－1
1
P
所以E(X)＝(－1)×＋1×＝0，
D(X)＝×(－1－0)2＋×(1－0)2＝1.
5．已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0
A．E(ξ1)B．E(ξ1)D(ξ2)
C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
解析：选A．根据已知得ξi(i＝1，2)服从两点分布，由两点分布的均值和方差知E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，因为06．牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)等于________．
解析：因为ξ～B(10，0.02)，
所以D(ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.
答案：0.196
7．已知离散型随机变量X的分布列如下表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
解析：由题意知解得
答案：
8．抛掷一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B，若P(ξ＝1)＝，则方差D(ξ)＝________.
解析：因为3≤n≤8，ξ服从二项分布B(n，)，且P(ξ＝1)＝，所以C·()n＝，
即n()n＝，解得n＝6.
所以方差D(ξ)＝np(1－p)＝6××(1－)＝.
答案：
9．数字1，2，3，4，5任意排成一列，如果数字k恰好在第k个位置上，则称有一个巧合．
(1)求巧合数ξ的分布列；
(2)求巧合数ξ的期望与方差．
解：(1)ξ可能取值为0，1，2，3，5，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝5)＝.
巧合数ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
5
P
(2)E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝1，
D(ξ)＝1×＋0＋1×＋4×＋16×＝1.
10．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望和方差．
解：乙投篮的次数ξ的取值为0，1，2.
P(ξ＝0)＝×＝；
P(ξ＝1)＝×＋×＝.
P(ξ＝2)＝×＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，
D(ξ)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝.
[B 能力提升]
11．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
解：(1)依题意0.5＋3a＋a＋0.1＝1，
解得a＝0.1，
因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，
所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
所以ξ，η的分布列分别为
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
(2)结合第一问中ξ，η的分布列可得
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，
D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，
D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21，
由于E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高；
又D(ξ)12．某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展背诵古诗词比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级背诵正确的概率为p＝，背诵错误的概率为q＝，现记“该班级完成n首背诵后总得分为Sn”．
(1)求S6＝20且Si≥0(i＝1，2，3)的概率；
(2)记X＝|S5|，求X的数学期望及方差(保留小数点后两位有效数字)．
解：(1)当S6＝20时，即背诵6首后，4首正确，2首错误，
若第1首和第2首背诵正确，则其余4首可任意背诵2首正确；
若第1首背诵正确，第2首背诵错误，第3首背诵正确，其余3首可任意背诵2首正确，故所求的概率
P＝()2×C×()2×()2＋×××C×()2×＝.
(2)因为X＝|S5|的取值为10，30，50.又p＝，q＝，
所以P(X＝10)＝C×()3×()2＋C×()2×()3＝，
P(X＝30)＝C×()4×＋C××()4＝，
P(X＝50)＝C()5＋C()5＝.
所以X的分布列为
X
10
30
50
P
所以E(X)＝10×＋30×＋50×＝≈22.84，D(X)＝×(10－)2＋×(30－)2＋×(50－)2≈200.58.
13．(选做题)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：
降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X<900
X≥900
工期延误天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
(1)工期延误天数Y的均值与方差；
(2)在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
解：(1)由已知条件有
P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，
P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2.
P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.
所以Y的分布列为
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，
D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.
(2)由概率的加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，
又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.
由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝＝＝.
故在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是.
离散型随机变量的均值与方差(强化练)
1．某中学选派40名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如表所示：
培训次数
1
2
3
参加人数
5
15
20
(1)从这40名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率；
(2)从这40名学生中任选2名，用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．
解：(1)这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率P＝1－＝.
(2)由题意知X＝0，1，2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
则随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
2．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)＝3，标准差＝.
(1)求n，p的值并写出ξ的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．
解：因为每一株沙柳成活率均为p，种植了n株沙柳，相当于做n次独立重复试验，因此ξ服从二项分布ξ～B(n，p)．
(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝，
得1－p＝，从而n＝6，p＝.
ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
5
6
P
(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)，
得P(A)＝＝.
3．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样，号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．求：
(1)员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；
(2)员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？
解：(1)由题意知，甲抽一次奖，基本事件总数是C＝120，
设甲抽奖一次所得奖金为ξ，则奖金ξ的可能取值是0，30，60，240，
所以P(ξ＝240)＝，
P(ξ＝60)＝＝，
P(ξ＝30)＝＝，
P(ξ＝0)＝1－－－＝.
所以ξ的分布列是
ξ
0
30
60
240
P
所以E(ξ)＝30×＋60×＋240×＝20.
(2)由(1)可得，乙一次抽奖中奖的概率是1－＝，四次抽奖是相互独立的，
所以中奖次数服从二项分布η～B，
所以D(η)＝4××＝.
4．为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求：
(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；
(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的均值和方差．
解：(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A，
则P(A)＝＝.
所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为.
(2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
因此，E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
D(X)＝＋＋＋
＋＝.
5．现有如下投资方案，一年后投资盈亏的情况如下；
投资股市
投资结果
获利40%
不赔不赚
亏损20%
概率
购买基金
投资结果
获利20%
不赔不赚
亏损10%
概率
p
q
(1)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；
(2)丙要将家中闲置的20万元钱进行投资，决定在“投资股市”“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p＝，那么丙选择哪种投资方案，才能使一年后投资收益的均值较大？给出结果并说明理由．
解：(1)记事件A为“甲投资股市且获利”，事件B为“乙购买基金且获利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C＝A∪B∪AB，且A，B相互独立．
由题表可知，P(A)＝，P(B)＝p.
所以P(C)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)＝×(1－p)＋p＋p＝＋p>，解得p>.
又因为p＋＋q＝1，q≥0，所以p≤.
所以p的取值范围是.
(2)假设丙选择“投资股市”方案进行投资，且记X为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，所以随机变量X的分布列为
X
8
0
－4
P
则E(X)＝8×＋0×＋(－4)×＝.
假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，所以随机变量Y的分布列为
Y
4
0
－2
P
则E(Y)＝4×＋0×＋(－2)×＝.
因为E(X)>E(Y)，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的均值较大．
6．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．
(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：度)的函数解析式；
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值；
(3)在满足(2)的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．
解：(1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；
当200当x>400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140，
所以y与x之间的函数解析式为：
y＝
(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，则P(x≤400)＝0.80，
结合频率分布直方图可知
所以a＝0.001 5，b＝0.002 0.
(3)由题意可知x可取50，150，250，350，450，550.
当x＝50时，Y＝0.5×50＝25，所以P(Y＝25)＝0.1，
当x＝150时，Y＝0.5×150＝75，所以P(Y＝75)＝0.2，
当x＝250时，Y＝0.5×200＋0.8×50＝140，
所以P(Y＝140)＝0.3，
当x＝350时，Y＝0.5×200＋0.8×150＝220，
所以P(Y＝220)＝0.2，
当x＝450时，Y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×50＝310，
所以P(Y＝310)＝0.15，
当x＝550时，Y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×150＝410，
所以P(Y＝410)＝0.05，
故Y的概率分布列为：
Y
25
75
140
220
310
410
P
0.1
0.2
0.3
0.2
0.15
0.05
所以随机变量Y的数学期望
E(Y)＝25×0.1＋75×0.2＋140×0.3＋220×0.2＋310×0.15＋410×0.05＝170.5.
课件42张PPT。第二章 随机变量及其分布第二章 随机变量及其分布a2D(X)p(1－p)np(1－p)求离散型随机变量的方差两点分布与二项分布的方差方差的实际应用按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束