[A 基础达标]
1．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
答案：A
2．已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X>1)＝0.5，则实数a的值为( )
A．1 B．
C．2 D．4
解析：选A．因为随机变量X服从正态分布N(a，4)，所以P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5，可知a＝1.
3．已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 7，则P(X>4)＝( )
A．0.158 8 B．0.158 65
C．0.158 6 D．0.158 5
解析：选B．由于X服从正态分布N(3，1)，故正态分布曲线的对称轴为x＝3.
所以P(X>4)＝P(X<2)，
故P(X>4)＝＝
＝0.158 65.
4．(2019·临沂高二检测)已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]和(μ－3σ，μ＋3σ]内取值的概率分别为68.27%，95.45%和99.73%.若某校高一年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90，152)，则此次考试成绩在区间(60，120)内的学生大约有( )
A．997人 B．972人
C．954人 D．683人
解析：选C．依题意可知μ＝90，σ＝15，故P(605．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，则μ等于( )
A．1 B．2
C．4 D．不能确定
解析：选C．因为方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)＝＝1－P(ξ≤4)，故P(ξ≤4)＝，所以μ＝4.
6．在对我市普通高中学生某项身体素质的测试中．测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0，2)内取值的概率为0.8，则ξ在(0，1)内的取值的概率为________．
解析：正态分布曲线关于μ＝1对称，ξ在(0，1)与(1，2)内取值的概率相等，为0.4.
答案：0.4
7．设随机变量X～N(4，σ2)，且P(4＜X＜8)＝0.3，则P(X＜0)＝________．
解析：概率密度曲线关于直线x＝4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于在8右边的概率，即0.5－0.3＝0.2.
答案：0.2
8．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X服从正态分布N(60，102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．
解析：依题意，P(60－2080)≈(1－0.954 5)≈0.022 8，
故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.022 8＝228(人)．所以该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．
答案：229
9．已知随机变量X～N(μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P(72(1)求参数μ，σ的值；
(2)求P(64解：(1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，即参数μ＝80.又P(72结合P(μ－σ(2)因为P(μ－2σ又因为P(X≤64)＝P(X>96)，所以P(X≤64)＝(1－0.954 5)＝×0.045 5＝0.022 75.
所以P(X>64)＝0.977 25.
又P(X≤72)＝[1－P(7272)＝0.841 35，P(6464)－P(X>72)＝0.135 9.
10．已知某地农民工年均收入X服从正态分布，其密度函数图象如图所示．
(1)写出此地农民工年均收入的密度函数的表达式；
(2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比．
解：设此地农民工年均收入为X～N(μ，σ2)，
结合题图可知，μ＝8 000，σ＝500.
(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式为
φμ，σ(x)＝e＝e，x∈(－∞，＋∞)．
(2)因为P(7 500所以P(8 000即此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比为34.14%.
[B 能力提升]
11．已知随机变量X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，且P(μ－σ6)≈( )
A．0.341 3 B．0.317 4
C．0.158 7 D．0.158 6
解析：选C．由题设P(412．已知随机变量X服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数f(x)＝e的图象，若f(x)dx＝，则P(X>4)＝( )
A. B．
C. D．
解析：选A.因为随机变量X服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数f(x)＝e的图象，所以μ＝2，即函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，因为f(x)dx＝，所以P(04)＝，所以P(X>4)＝－P(213．一投资者要在两个投资方案中选择一个，这两个方案的利润ξ(万元)分别服从正态分布N(8，32)和N(3，22)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应选择哪个方案？
解：由题意，只需求出两个方案中“利润超过5万元”的概率哪个大，大的即为最佳选择方案．对于第一套方案ξ～N(8，32)，则μ＝8，σ＝3.于是P(8－3<ξ≤8＋3)＝P(5<ξ≤11)≈0.682 7.
所以P(ξ≤5)＝[1－P(5<ξ≤11)]＝(1－0.682 7)＝0.158 65.
所以P(ξ>5)＝1－0.158 65＝0.841 35.
对于第二套方案ξ～N(3，22)，则μ＝3，σ＝2.
于是P(3－2<ξ≤3＋2)＝P(1<ξ≤5)≈0.682 7，
所以P(ξ>5)＝[1－P(1<ξ≤5)]＝(1－0.682 7)＝0.158 65.
所以应选择第一套方案．
14．(选做题)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X服从正态分布N(800，502)．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.
(1)求p0的值；
(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
解：(1)由于随机变量X服从正态分布N(800，502)，
故有μ＝800，σ＝50，P(700由正态分布的对称性，可得
p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800＝＋P(700(2)设A型，B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为z＝1 600x＋2 400y.
依题意，x，y还需满足x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥p0.由(1)知，p0＝P(X≤900)，
故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900.
于是问题等价于满足约束条件
且使目标函数z＝1 600x＋2 400y达到最小的x，y.
作可行域如图所示，
可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)．
由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上截距最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆．
课件38张PPT。第二章 随机变量及其分布第二章 随机变量及其分布正态分布密度曲线N(μ，σ2)X～N(μ，σ2)上方不相交x＝μx＝μ1σ越小集中越大分散0.682 70.954 50.997 3正态分布密度曲线利用正态分布的性质求概率正态分布的实际应用按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束
