课件47张PPT。第二章 随机变量及其分布条件概率相互独立事件的概率与二项分布离散型随机变量的均值与方差正态分布按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束
[A 基础达标]
1．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )
A．0.447 B．0.628
C．0.954 D．0.997
解析：选C.因为随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，
所以正态曲线关于x＝0对称．
又P(ξ>2)＝0.023，
所以P(ξ<－2)＝0.023.
所以P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.
2．如果X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)和D(X1)分别是( )
A．E(X1)＝12，D(X1)＝1
B．E(X1)＝7，D(X1)＝1
C．E(X1)＝12，D(X1)＝2
D．E(X1)＝7，D(X1)＝2
解析：选D.E(X1)＝2E(X)－5＝12－5＝7，D(X1)＝4D(X)＝4×0.5＝2.
3．盒中装有10个乒乓球，其中5个新球，5个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选C.A＝，B＝，则n(A)＝CC，n(AB)＝CC.
所以P(B|A)＝＝＝.
4．某人射击一次命中目标的概率为，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为( )
A．C B．A
C．C D．C
解析：选B.根据射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，故此人射击6次，3次命中的概率为C，恰有两次连续击中目标的概率为，故此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为C·＝A.
5．设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为，则A与B都发生的概率的取值范围是( )
A. B．
C. D．
解析：选D.设事件A，B发生的概率分别为P(A)＝x，P(B)＝y，则P( )＝P()P()＝(1－x)·(1－y)＝，即1＋xy＝＋x＋y≥＋2，当且仅当x＝y时取“＝”，所以≤或≥(舍去)，所以0≤xy≤.所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝xy∈.
6．设随机变量ξ～N(2，2)，则D(ξ)＝________．
解析：因为ξ～N(2，2)，所以D(ξ)＝2.
所以D(ξ)＝D(ξ)＝×2＝.
答案：
7．一只蚂蚁位于数轴x＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为，则3秒后，这只蚂蚁在x＝1处的概率为________．
解析：由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x＝1处的概率为C()2()1＝.
答案：
8．某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放”演讲比赛活动．
(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
解：(1)ξ的所有可能取值为0，1，2.依题意P(ξ＝0)＝＝.
P(ξ＝1)＝＝.
P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，
则P(C)＝＝＝.
所以所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.
(3)P(B)＝＝＝，P(B|A)＝＝＝.
9．甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错或不答者得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且每人答对与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
(1)求随机变量ξ的分布列；
(2)设C表示事件“甲队得2分，乙队得1分”，求P(C)．
解：(1)由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且
P(ξ＝0)＝C×＝，
P(ξ＝1)＝C××＝，
P(ξ＝2)＝C××＝，
P(ξ＝3)＝C×＝，
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
(2)甲队得2分，乙队得1分，两个事件是独立的，
由上表可知，
甲队得2分，其概率为P(ξ＝2)＝，
乙队得1分，其概率为P＝××＋××＋××＝.
根据独立事件概率公式得P(C)＝×＝.
[B 能力提升]
10．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标
[70，76)
[76，82)
[82，88)
[88，94)
[94，100]
元件A
8
12
40
32
8
元件B
7
18
40
29
6
(1)试分别估计元件A，元件B为正品的概率；
(2)生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在(1)的前提下，
①记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
②求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．
解：(1)元件A为正品的概率约为＝.
元件B为正品的概率约为＝.
(2)①因为生产1件元件A和1件元件B可以分为四种情况：A正B正，A次B正，A正B次，A次B次．
所以随机变量X的所有取值为90，45，30，－15.
因为P(X＝90)＝×＝；
P(X＝45)＝×＝；
P(X＝30)＝×＝；
P(X＝－15)＝×＝.
所以随机变量X的分布列为
X
90
45
30
－15
P
E(X)＝90×＋45×＋30×＋(－15)×＝66.
②设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有(5－n)件．
依题意得50n－10(5－n)≥140，
解得n≥.
所以n＝4或n＝5.
设“生产5件B所获得的利润不少于140元”为事件A，
则P(A)＝C×＋＝.
11．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销运动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E(ξ )．
解：(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元，
两人都付0元的概率为P1＝×＝，
两人都付40元的概率为P2＝×＝，
两人都付80元的概率为P3＝(1－－)×(1－－)＝×＝，
则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
(2)由题意得，ξ所有可能的取值为0，40，80，120，160.
P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝40)＝×＋×＝，
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝120)＝×＋×＝，
P(ξ＝160)＝×＝，
所以ξ的分布列为
ξ
0
40
80
120
160
P
E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.
12．(选做题)低碳生活，从“衣食住行”开始．在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的二氧化碳排放量(千克)＝耗电度数×0.785，家用天然气的二氧化碳排放量(千克)＝天然气使用立方数×0.19等．某校开展“节能减排，保护环境，从我做起！”的活动，该校高一六班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了关于“生活习惯是否符合低碳家庭”的调查，否则称为“非低碳家庭”．经统计，这两类家庭占各自小区总户数的比例P的数据如下：
东城小区
低碳家庭
非低碳家庭
比例P
西城小区
低碳家庭
非低碳家庭
比例P
(1)如果在东城、西城两个小区内各随机选择2个家庭，求这4个家庭中恰好有两个家庭是“低碳家庭”的概率；
(2)该班同学在东城经过大力宣传节能减排的重要意义，每周“非低碳家庭”中有20%的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中，宣传两周后随机地从东城小区中任选5个家庭，记X表示5个家庭中“低碳家庭”的个数，求E(X)和D(X)．
解：(1)设事件“4个家庭中恰好有两个家庭是‘低碳家庭’”为A，
则有以下三种情况：“低碳家庭”均来自东城小区，“低碳家庭”分别来自东城、西城两个小区，“低碳家庭”均来自西城小区．
所以P(A)＝×××＋4××××＋×××＝.
(2)因为东城小区每周“非低碳家庭”中有20%的家庭加入“低碳家庭”行列，所以经过两周后，两类家庭占东城小区总家庭数的比例如下：
东城小区
低碳家庭
非低碳家庭
比例P
由题意得，两周后东城小区5个家庭中的“低碳家庭”的个数X服从二项分布，即X～B(5，)，
所以E(X)＝5×＝，D(X)＝5××＝.
章末综合检测(二)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次，若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为( )
A. B．
C. D．
解析：选B.法一：记事件A＝{第一次取到合格的高尔夫球}，
事件B＝.
由题意可得P(AB)＝＝，P(A)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝.
法二：记事件A＝，事件B＝，由题意可得事件B发生所包含的基本事件数n(AB)＝3×2＝6，事件A发生所包含的基本事件数n(A)＝3×3＝9.
所以P(B|A)＝ ＝ ＝.
2．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a()i(i＝1，2，3)，则a的值为( )
A．1 B．
C. D．
解析：选D.因为P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.所以＋＋＝1，所以a＝.
3．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )
A．0.95 B．0.6
C．0.05 D．0.4
解析：选A.法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故至少有一颗卫星预报准确的概率为0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.
法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻两颗卫星预报都不准确”，故至少有一颗卫星预报准确的概率为1－(1－0.8)×(1－0.75)＝0.95.
4．已知随机变量X～B，则D(2X＋1)等于( )
A．6 B．4
C．3 D．9
解析：选A.因为D(2X＋1)＝D(X)×22＝4D(X)，D(X)＝6××＝，所以D(2X＋1)＝4×＝6.5.如果随机变量X表示抛掷一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体向上面的数字，则随机变量X的均值为( )
A．2.5 B．3
C．3.5 D．4
解析：选C.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，…，6)，
所以E(X)＝1×＋2×＋…＋6×＝(1＋2＋…＋6)＝×＝3.5.
6．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，)，则该随机变量的方差等于( )
A．10 B．100
C. D．
解析：选C.由正态分布密度曲线上的最高点知＝，即σ＝，所以D(X)＝σ2＝.
7．已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ
m
n
P
a
若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于( )
A．0 B．2
C．1 D．
解析：选A.由题意得a＝1－＝，
所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.又D(ξ)＝×(m－2)2＋(n－2)2＝2(n－2)2，所以当n＝2时，D(ξ)取最小值为0.
8．设随机变量X～N(μ，σ2)且P(X＜1)＝，P(X＞2)＝p，则P(0＜X＜1)的值为( )
A．p B．1－p
C．1－2p D．－p
解析：选D.由正态曲线的对称性知P(X＜1)＝，故μ＝1，即正态曲线关于直线x＝1对称，于是P(X＜0)＝P(X＞2)，
所以P(0＜X＜1)＝P(X＜1)－P(X＜0)＝P(X＜1)－P(X＞2)＝－p.
9．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，为，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选C.最后乙队获胜的概率含3种情况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P＝＋×＋×＝，故选C.
10．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布列
X
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
若进这种鲜花500束，则利润的均值为( )
A．706元 B．690元
C．754元 D．720元
解析：选A.因为E(X)＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝340，
所以利润的均值为340×(5－2.5)－(500－340)×(2.5－1.6)＝706元，故选A.
11.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为( )
A． B．
C． D．以上都不对
解析：选A.由于珠子在每个叉口处有“向左”和“向右”两种走法，因而基本事件个数为25.而从出口3出来的每条线路中有2个“向右”和3个“向左”，即共C条路线，故所求的概率为＝.
12．某商家进行促销活动，促销方案是顾客每消费1 000元，便可以获得奖券1张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则商家返还中奖的顾客现金1 000元．小王购买一套价格为2 400元的西服，只能得到2张奖券，于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服，这样小王就得到了3张奖券．设小王这次消费的实际支出为ξ元，则E(ξ)＝( )
A．1 850 B．1 720
C．1 560 D．1 480
解析：选A.根据题意知，ξ的可能取值为2 450，1 450，450，－550，且P(ξ＝2 450)＝＝，P(ξ＝1 450)＝C＝，P(ξ＝450)＝C·＝，P(ξ＝－550)＝C＝，所以E(ξ)＝2 450×＋1 450×＋450×＋(－550)×＝1 850.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X(单位：克)，如果P(X＜10)＝0.3，P(10≤X≤30)＝0.4，那么P(X＞30)等于________．
解析：根据随机变量的概率分布的性质，可知P(X＜10)＋P(10≤X≤30)＋P(X＞30)＝1，故P(X＞30)＝1－0.3－0.4＝0.3.
答案：0.3
14．一批产品的二等品概率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数， 则D(X)＝________.
解析：X～B(100，0.02)，所以D(X)＝np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96.
答案：1.96
15．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标注数字0，两个面上标注数字1，一个面上标注数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数字之积的数学期望是________．
解析：设ξ表示两次向上的数字之积，
则P(ξ＝1)＝×＝，
P(ξ＝2)＝C××＝，
P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝0)＝，
所以E(ξ)＝1×＋2×＋4×＝.
答案：
16．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4，现从{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．(用数字作答)
解析：由a4＝2，a7＝－4可得等差数列{an}的通项公式为an＝10－2n(n＝1，2，3，…)．{an}的前10项分别为8，6，4，2，0，－2，－4，－6，－8，－10.由题意知三次取数相当于三次独立重复试验，在每次试验中取得正数的概率为，取得负数的概率为，在三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C＝.
答案：
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)某一射手射击所得环数X的分布列如下：
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
m
0.29
0.22
(1)求m的值；
(2)求此射手“射击一次命中的环数≥7”的概率．
解：(1)由分布列的性质得m＝1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.09＋0.29＋0.22)＝0.28.
(2)P(射击一次命中的环数≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.
18．(本小题满分12分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学得300分的概率；
(2)求这名同学至少得300分的概率．
解：记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1，2，3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.
(1)这名同学得300分的概率
P1＝P(A12A3)＋P(1A2A3)＝P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)
＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.
(2)这名同学至少得300分的概率
P2＝P1＋P(A1A2A3)＝0.228＋P(A1)·P(A2)·P(A3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.
19．(本小题满分12分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
(ii)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)．
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(ii)设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥．由(i)知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝.
所以，事件A发生的概率为.
20．(本小题满分12分)进货商当天以每份1元的进价从报社购进某种报纸，以每份2元的价格售出．若当天卖不完，剩余报纸以每份0.5元的价格被报社回收．根据市场统计，得到这个月的日销售量X(单位：份)的频率分布直方图(如图所示)，将频率视为概率．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)若进货量为n(单位：份)，当n≥X时，求利润Y的表达式；
(3)若当天进货量n＝400，求利润Y的分布列和数学期望E(Y)．
解：(1)由题图可得，100a＋0.002×100＋0.003×100＋0.003 5×100＝1，解得a＝0.001 5.
(2)因为n≥X，所以Y＝(2－1)X－0.5(n－X)＝1.5X－0.5n.
(3)销售量X的所有可能取值为200，300，400，500，由第二问知对应的Y分别为100，250，400.
由频率分布直方图可得
P(Y＝100)＝P(X＝200)＝0.20，
P(Y＝250)＝P(X＝300)＝0.35，
P(Y＝400)＝P(X≥400)＝0.45.
利润Y的分布列为
Y
100
250
400
P
0.20
0.35
0.45
所以E(Y)＝0.20×100＋0.35×250＋0.45×400＝287.5.
21．(本小题满分12分)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
(3)用X、Y分别表示这4个人去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列．
解：(1)依题意，这4人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0，1，2，3，4)，则P(Ai)＝C.
这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P(A2)＝C＝.
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B ＝A3∪A4.由于A3与A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C＋C＝.
所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
(3)ξ的所有可能的取值为0，2，4.由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A2)＝，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝，所以ξ的分布列是
ξ
0
2
4
P
22.(本小题满分12分)经调查统计，网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动．已知某网民购买A，B，C商品的概率分别为，p1，p2(p1
(1)求该网民分别购买B，C两种商品的概率；
(2)用随机变量X表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求X的分布列和数学期望．
解：(1)由题意可知至少购买一种的概率为，
所以一种都不买的概率为1－＝，
即(1－p1)(1－p2)＝.①
又因为最多购买两种商品的概率为，
所以三种都买的概率为1－＝，
即p1p2＝.②
联立①②，解得或
因为p1(2)用随机变量X表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，由题意可得X的所有可能取值为0，5，10，15.
则P(X＝0)＝，P(X＝5)＝××＋××＋××＝，
P(X＝10)＝××＋××＋××＝，
P(X＝15)＝××＝.
所以X的分布列为
X
0
5
10
15
P
则E(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＝.
