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谢谢！课时跟踪检测（五） 函数的单调性与导数
一、题组对点训练
对点练一 函数与导函数图象间的关系
1．f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的( )
解析：选C 题目所给出的是导函数的图象，导函数的图象在x轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在x轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞，0)时导函数图象在x轴的上方，表示在此区间上，原函数的图象呈上升趋势，可排除B、D两选项．由x∈(0,2)时导函数图象在x轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除A选项．故选C.
2．若函数y＝f′(x)在区间(x1，x2)内是单调递减函数，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)内的图象可以是( )
解析：选B 选项A中，f′(x)>0且为常数函数；选项C中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内单调递增；选项D中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内先增后减．故选B.
3．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则在[－2,5]上函数f(x)的递增区间为________．
解析：因为在(－1,2)和(4,5]上f′(x)>0，所以f(x)在[－2,5]上的单调递增区间为(－1,2)和(4,5]．
答案：(－1,2)和(4,5]
对点练二 判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间
4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析：选D f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝ex(x－2)．由f′(x)>0得x>2，∴f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．
5．函数f(x)＝2x2－ln x的递增区间是( )
A. B.和
C. D.和
解析：选C 由题意得，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝＝，令f′(x)＝>0，解得x>，故函数f(x)＝2x2－ln x的递增区间是.故选C.
6．已知f(x)＝ax3＋bx2＋c的图象经过点(0,1)，且在x＝1处的切线方程是y＝x.
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)求y＝f(x)的单调递增区间．
解：(1)∵f(x)＝ax3＋bx2＋c的图象经过点(0,1)，∴c＝1，f′(x)＝3ax2＋2bx，f′(1)＝3a＋2b＝1，切点为(1,1)，则f(x)＝ax3＋bx2＋c的图象经过点(1,1)，得a＋b＋c＝1，解得a＝1，b＝－1，即f(x)＝x3－x2＋1.
(2)由f′(x)＝3x2－2x>0得x<0或x>，所以单调递增区间为(－∞，0)和.
对点练三 与参数有关的函数单调性问题
7．若函数f(x)＝x－a在[1,4]上单调递减，则实数a的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．5
解析：选C 函数f(x)＝x－a在[1,4]上单调递减，只需f′(x)≤0在[1,4]上恒成立即可，令f′(x)＝1－ax－≤0，解得a≥2，则a≥4.∴amin＝4.
8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,2)，则b＝________，c＝________.
解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1
答案：－ －6
9．已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.讨论f(x)的单调性．
解：f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)·(ex＋2a)．
(1)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
(2)设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．
①若a＝－，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
②若－0；当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)<0.所以f(x)在(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a)，1)上单调递减；
③若a<－，则ln(－2a)>1，故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0.所以f(x)在(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a))上单调递减．
二、综合过关训练
1．若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的是( )
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2
C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cos x
解析：选A 对于选项A，f(x)＝2－x＝x，
则exf(x)＝ex·x＝x，∵＞1，
∴exf(x)在R上单调递增，∴f(x)＝2－x具有M性质．对于选项B，f(x)＝x2，exf(x)＝exx2，[exf(x)]′＝ex(x2＋2x)，令ex(x2＋2x)＞0，得x＞0或x＜－2；
令ex(x2＋2x)＜0，得－2＜x＜0，∴函数exf(x)在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，
∴f(x)＝x2不具有M性质．
对于选项C，f(x)＝3－x＝x，
则exf(x)＝ex·x＝x，
∵＜1，
∴y＝x在R上单调递减，
∴f(x)＝3－x不具有M性质．
对于选项D，f(x)＝cos x，exf(x)＝excos x，
则[exf(x)]′＝ex(cos x－sin x)≥0在R上不恒成立，故exf(x)＝excos x在R上不是单调递增的，
∴f(x)＝cos x不具有M性质．故选A.
2．若函数f(x)＝x－eln x,0A．f(a)f(b)
C．f(a)>f(e) D．f(e)>f(b)
解析：选C f′(x)＝1－＝，x>0，令f′(x)＝0，得x＝e，f(x)在(0，e)上为减函数，在(e，＋∞)上为增函数，所以f(a)>f(e)，f(b)>f(e)，f(a)与f(b)的大小不确定．
3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )
解析：选D 对于选项A，若曲线C1为y＝f(x)的图象，曲线C2为y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f′(x)<0；y＝f(x)在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f′(x)>0.因此，选项A可能正确．
同理，选项B、C也可能正确．
对于选项D，若曲线C1为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C2不相符；若曲线C2为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C1不相符．因此，选项D不可能正确．
4．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(x)>f(b)g(b) B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x) D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
解析：选C 因为′＝，又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数．又因为a>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．
5．(2019·北京高考)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)的定义域为R，
∴f(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴a＝－1.
∵f(x)＝ex＋ae－x，∴f′(x)＝ex－ae－x＝ex－.
∵f(x)是R上的增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，
即ex≥在R上恒成立，∴a≤e2x在R上恒成立．
又e2x>0，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0]．
答案：－1 (－∞，0]
6．如果函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝.
由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为.
由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以解得：1≤k<.
答案：
7．已知函数f(x)＝xln x.
(1)求曲线f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)在区间(0，t](t>0)上的单调性．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1.
曲线f(x)在x＝1处的切线的斜率为k＝f′(1)＝1.
把x＝1代入f(x)＝xln x中得f(1)＝0，即切点坐标为(1,0)．所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－1.
(2)令f′(x)＝1＋ln x＝0，得x＝.
①当0②当t>时，在区间上，f′(x)<0，f(x)为减函数；在区间上，f′(x)>0，f(x)为增函数．
8．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
解：h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ax－2.
因为h(x)在[1,4]上单调递减，
所以x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立，
令G(x)＝－，
则a≥G(x)max.而G(x)＝2－1.
因为x∈[1,4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－.
当a＝－时，h′(x)＝＋x－2＝＝.
因为x∈[1,4]，所以h′(x)＝≤0，
即h(x)在[1,4]上为减函数．
故实数a的取值范围是.
