高中人教A版数学选修2-2（课件+练习）1.3.2 函数的极值与导数:28张PPT

课件28张PPT。
“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(六)”
(单击进入电子文档)
谢谢！课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数
一、题组对点训练
对点练一　求函数的极值
1．函数y＝x3－3x2－9x(－2A．极大值5，极小值－27 B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值 D．极小值－27，无极大值
解析：选C　由y′＝3x2－6x－9＝0，
得x＝－1或x＝3.当x<－1或x>3时，y′>0；
当－1∴当x＝－1时，函数有极大值5； 3?(－2,2)，故无极小值．
2．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为(　　)
A．，0　　　　　　　 B．0，
C．－，0 D．0，－
解析：选A　f′(x)＝3x2－2px－q，
由f′(1)＝0，f(1)＝0，
得解得∴f(x)＝x3－2x2＋x.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，易得当x＝时f(x)取极大值，当x＝1时f(x)取极小值0.
3．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，
则下列说法中不正确的序号是________．
①当x＝时，函数取得极小值；
②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时，函数取得极小值；
④当x＝1时，函数取得极大值．
解析：由题图知，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)有两个极值点，分别为1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时函数取得极大值．只有①不正确．
答案：①
对点练二　已知函数的极值求参数
4．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为(　　)
A．1，－3　　　 B．1,3　　　
C．－1,3　　　 D．－1，－3
解析：选A　f′(x)＝3ax2＋b，
由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，
∴∴a＝1，b＝－3.
5．若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是(　　)
A．b<1 B．b>1 C．0解析：选C　f′(x)＝2x－2b＝2(x－b)，令f′(x)＝0，解得x＝b，由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值，则有00，符合题意．所以实数b的取值范围是06．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函数f(x)既有极大值又有极小值，∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)>0.即a2－a－2>0，解之得a>2或a<－1.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
对点练三　函数极值的综合问题
7．设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R.
(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．
解：(1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a，
可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)．
则g′(x)＝－2a＝.
当a≤0时，x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；
当a>0时，x∈时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，x∈时，函数g(x)单调递减．
所以当a≤0时，g(x)的单调增区间为(0，＋∞)；
当a>0时，g(x)的单调增区间为，
单调减区间为.
(2)由(1)知，f′(1)＝0.
①当a≤0时，f′(x)单调递增，
所以当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．
②当01，由(1)知f′(x)在内单调递增，可得当x∈(0,1)时，f′(x)<0，x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)在(0,1)内单调递减，在内单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．
③当a＝时，＝1，f′(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，
所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意．
④当a>时，0<<1，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)在x＝1处取极大值，符合题意．
综上可知，实数a的取值范围为.
8．已知函数y＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，且其图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数的极大值与极小值的差．
解：y′＝3x2＋6ax＋3b.
∵x＝2是函数的极值点，
∴12＋12a＋3b＝0，即4＋4a＋b＝0，①
又图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行，
∴y′|x＝1＝3＋6a＋3b＝－3，
即2a＋b＋2＝0.②
由①②解得a＝－1，b＝0，
此时y′＝3x2－6x＝3x(x－2)．
(1)令y′>0，即3x(x－2)>0，解得x<0或x>2，
令y′<0，即3x(x－2)<0，解得0∴函数的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．
(2)由(1)可知x＝0是极大值点，x＝2是极小值点，又y＝f(x)＝x3－3x2＋c，
∴y极大值－y极小值＝f(0)－f(2)＝c－(8－12＋c)＝4.
二、综合过关训练
1．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
解析：选A　因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令f′(x)>0，解得x<－2或x>1，令f′(x)<0，解得－22．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为(　　)
A．－ B．－2
C．－2或－ D．2或－
解析：选A　由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，即解得或经检验满足题意，故＝－，故选A.
3．若函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值没有极大值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,3)　　　 B．(－∞，3) 　　　　C．(0，＋∞) 　　 D．
解析：选D　f′(x)＝3x2－2a，
∵f(x)在(0,1)内有极小值没有极大值，
∴?即04．已知可导函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线为l：y＝g(x)(如图)，设F(x)＝f(x)－g(x)，则(　　)
A．F′(x0)＝0，x＝x0是F(x)的极大值点
B．F′(x0)＝0，x＝x0是F(x)的极小值点
C．F′(x0)≠0，x＝x0不是F(x)的极值点
D．F′(x0)≠0，x＝x0是F(x)的极值点
解析：选B　由题图知可导函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线为l：y＝g(x)，又F(x)＝f(x)－g(x)在x0处先减后增，∴F′(x0)＝0，x＝x0是F(x)的极小值点．故选B.
5．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.
解析：设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.
答案：－2或2
6．若函数f(x)＝x2－ln x＋1在其定义域内的一个子区间(a－1，a＋1)内存在极值，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)＝x2－ln x＋1的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－·＝，
∵函数f(x)＝x2－ln x＋1在其定义域内的一个子区间(a－1，a＋1)内存在极值，
∴f′(x)＝在区间(a－1，a＋1)上有零点，
而f′(x)＝的零点为，
故∈(a－1，a＋1)，故a－1<故实数a的取值范围为.
答案：
7．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8，从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
8．求函数f(x)＝x3－3x2－a(a∈R)的极值，并讨论a为何值时函数f(x)恰有一个零点．
解：f′(x)＝3x2－6x，函数f(x)的定义域为R，
由f′(x)＝0得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
－a
?
－4－a
?
因此，函数在x＝0处有极大值，极大值为f(0)＝－a；
在x＝2处有极小值，极小值为f(2)＝－4－a.
函数y＝f(x)恰有一个零点即y＝f(x)的图象与x轴只有一个交点(如图)，
所以或
即或解得a<－4或a>0，
所以当a>0或a<－4时，函数f(x)恰有一个零点．