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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(八)”
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谢谢！课时跟踪检测（八） 生活中的优化问题举例
一、题组对点训练
对点练一 面积、体积的最值问题
1．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( )
A．3π B．3π C．3π D．3π
解析：选A 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，
∴h＝，V＝πr2h＝πr2l－2πr3.
则V′＝lπr－6πr2，
令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，
∴r＝是其唯一的极值点．
当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.
2．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′＞0；
当x∈(20,30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
对点练二 成本最低(费用最省)问题
3．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )
A．6 m B．8 m C．4 m D．2 m
解析：选C 设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，因此h＝＝4(m)．
4．某公司一年购买某种货物2 000吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为x2万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.
解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋x2＝＋x2，
令f′(x)＝x－＝0，解得x＝20.
且当020时f′(x)>0，故x＝20时，f(x)最小．
答案：20
5．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，求x，y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)
解：依题意有xy＋x·＝8，
∴y＝－(0框架用料总长度L(x)＝2x＋2y＋2·＝x＋，
则L′(x)＝＋－.令L′(x)＝0，即＋－＝0，解得x1＝8－4，x2＝4－8(舍去)．
当0当8－40.
∴当x＝8－4时，L(x)取得最小值，此时x＝8－4≈2.343(m)，y＝2≈2.828(m)．
故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省．
对点练三 利润最大问题
6．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
解析：选C 因为y′＝－x2＋81，所以当∈(9，＋∞)时，y′<0；当x∈(0,9)时，y′>0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9时函数取最大值．
7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入—进货支出)( )
A．30 元 B．60 元
C．28 000 元 D．23 000 元
解析：选D 设毛利润为L(p)，由题意知
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23 000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元．
8．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为________．
解析：存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，x∈(0,0.048)．所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(00；当0.032答案：0.032
9．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交4元的管理费，预计当每件产品的售价为x元(8≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x之间的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值．
解：(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x之间的关系为：
L(x)＝(x－3－4)(12－x)2＝(x－7)(12－x)2，
即L(x)＝(x－7)(12－x)2，
其中x∈[8,11]．
(2)由于L(x)＝(x－7)(12－x)2，
∴L′(x)＝(12－x)2＋(x－7)·2(12－x)·(－1)
＝(12－x)(12－x－2x＋14)＝(12－x)(26－3x)，
令L′(x)＝0得x＝12或x＝，
由于x∈[8,11]，所以取x＝，
当x∈时，L′(x)>0；x∈时，L′(x)<0，
所以当x＝时，L(x)在[8,11]上取到极大值，也是最大值，
L＝(万元)．
故当每件售价为元时，公司一年的利润L最大，最大利润是万元．
二、综合过关训练
1．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( )
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
解析：选B 设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当40.所以当x＝4时，y最小．
2．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )
A． B．
C． D．2
解析：选C 设底面边长为x，高为h，
∴x2·h＝V，∴h＝＝.
∴S表＝2·x2＋3x·h＝x2＋，
S′(x)＝x－，令S′(x)＝0可得x＝，x3＝4V，x＝.
当0时，S′(x)>0，
∴当x＝时，S(x)最小．
3．某厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( )
A．32 m,16 m B．30 m,15 m
C．40 m,20 m D．36 m,18 m
解析：选A 设建堆料场与原墙平行的一边边长为x m，其他两边边长为y m，则xy＝512，堆料场的周长l＝x＋2y＝＋2y(y>0)，令l′＝－＋2＝0，解得y＝16(另一负根舍去)，当016时，l′>0，所以当y＝16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x＝＝32.
4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x(0≤x≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )
A．150 B．200
C．250 D．300
解析：选D 由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000，0≤x≤390，由P′(x)＝－＋300＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当3005．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________cm.
解析：设高为h，则底面半径r＝，0由V′＝π－πh2＝0得h2＝，h＝或h＝－(舍去)，因为当00，当h>时，V′<0，所以当h＝时，V最大．
答案：
6．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
解析：设CD＝x，则点C坐标为，
点B坐标为，
∴矩形ACBD的面积
S＝f(x)＝x·＝－＋x，x∈(0,2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈时，f′(x)>0，f(x)是递增的，
x∈时，f′(x)<0，f(x)是递减的，
∴当x＝时，f(x)取最大值.
答案：
7．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4≤x≤12)之间满足关系：P ＝0.1x2－3.2 ln x＋3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)
(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数；
(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？
解：(1)由题意得，所获得的利润为y＝10[2(x－P)－P]＝20x－3x2＋96ln x－90(4≤x≤12)．
(2)由(1)知，y′＝＝.
当4≤x<6时，y′＞0，函数在[4,6)上为增函数；当6故当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大，最大利润为(96ln 6－78)万元．
8．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直线分别为y，x轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．
(1)求a，b的值；
(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
解：(1)由题意知，M点的坐标为(5,40)，N点的坐标为(20,2.5)，代入曲线C的方程y＝，
可得解得
(2)①由(1)知曲线C的方程为
y＝(5≤x≤20)，y′＝－，
所以y′x＝t＝－即为l的斜率．
又当x＝t时，y＝，
所以P点的坐标为，
所以l的方程为
y－＝－(x－t)．
令x＝0，得y＝；
令y＝0，得x＝t.
所以f(t)＝ ，其中5≤t≤20.
②由①知f(t)＝ ，其中5≤t≤20.
令g(t)＝2＋2＝t2＋，
所以g′(t)＝t－＝·
＝·.因为5≤t≤20，令g′(t)<0，得5≤t＜10；令g′(t)＝0，得t＝10；g′(t)>0，得10所以g(t)在区间[5,10)单调递减，在(10，20]单调递增．
所以g(10)＝675是g(t)的极小值，也是最小值．
所以当t＝10时，f(t)取得最小值，最小值为f(10)＝15.即最短长度为15.
