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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(九)”
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谢谢！课时跟踪检测（九） 定积分的概念
一、题组对点训练
对点练一 求曲边梯形的面积
1．求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t(t>0)，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为( )
A． B．
C． D．
解析：选D 在[0，t]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[0，t]等分成n个小区间，每个小区间长度均为，故第i－1个区间为.
2．已知某物体运动的速度为v＝t3，t∈[0,1]，若把区间4等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的近似值为( )
A． B． C． D．
解析：选D s≈×＝＝.
3．求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S.
解：(1)分割：将区间[1,2]等分成n个小区间，记第i个区间为(i＝1,2…，n)，其长度为Δx＝－＝.每个小区间对应的小曲边梯形的面积记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形的和为S＝Si.
(2)近似代替：因为1＋< <1＋，所以可用f近似代替函数在这个小区间上的函数值，则小曲边梯形的面积ΔSi可用以f为高，为底边长的小矩形的面积ΔSi′近似代替．
即ΔSi≈ΔSi′＝f·Δx
＝·＝(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：
Sn＝Si′＝
＝＋＋…＋
＝n
＝n·
＝，
从而得到S的近似值S≈Sn＝.
(4)取极限：当n趋向于无穷大时，Sn越来越趋向于S，所以S＝Sn＝.所以由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S为.
对点练二 求变速直线运动的路程
4．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为( )
A． B． C．1 D．
解析：选B 曲线v(t)＝t与直线t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积S＝即为这段时间内物体所走的路程．
5．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2在0≤t≤a内经过的路程为9，求a的值．
解：将区间[0，a]n等分，记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，此区间长为，用小矩形面积2·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则2·＝·(12＋22＋…＋n2)＝近似地等于速度曲线v(t)＝t2与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．依题意得 ＝9，∴＝9，解得a＝3.
对点练三 定积分的计算及性质
6．定积分(－3)dx等于( )
A．－6 B．6
C．－3 D．3
解析：选A 由定积分的几何意义知，(－3)dx表示由x＝1，x＝3，y＝0及y＝－3所围成的矩形面积的相反数，故(－3)dx＝－6.
7．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝[f(x)－g(x)]dx求出的是( )
解析：选D 定积分S＝[f(x)－g(x)]dx 的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积，必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方．对照各选项可知，D项中f(x)的图象不全在g(x)的图上方．故选D.
8．S1＝xdx与S2＝x2dx的大小关系是( )
A．S1＝S2 B．S＝S2 C．S1>S2 D．S1解析：选C xdx表示由直线x＝0，x＝1，y＝x及x轴所围成的图形的面积，而x2dx表示的是由曲线y＝x2与直线x＝0，x＝1及x轴所围成的图形的面积，因为在x∈[0,1]内直线y＝x在曲线y＝x2的上方，所以S1>S2.
9．已知x2dx＝，x2dx＝，1dx＝2，则(x2＋1)dx＝________.
解析：由定积分的性质可知(x2＋1)dx
＝x2dx＋1dx＝x2dx＋x2dx＋2
＝＋＋2＝.
答案：
10．用定积分的几何意义计算下列定积分：
(1) ((2x－1)dx；
(2)(＋2)dx.
解：(1)(2x－1)dx表示图(1)中阴影部分的面积，而S＝＝，
从而 ((2x－1)dx＝.
(2)令y＝＋2，则y＝＋2表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆的上半圆，
(＋2)dx表示图(2)中阴影部分的面积．
∴ (＋2)dx＝8＋2π.
二、综合过关训练
1．若f(x)dx＝1，g(x)dx＝－3，则[2f(x)＋g(x)]dx＝( )
A．2 B．－3 C．－1 D．4
解析：选C [2f(x)＋g(x)]dx
＝2f(x)dx＋g(x)dx＝2×1－3＝－1.
2．若f(x)为偶函数，且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于( )
A．0 B．4 C．8 D．16
解析：选D ∵被积函数f(x)为偶函数，∴在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等．
3．若cos xdx＝1，则由x＝0，x＝π，f(x)＝sin x及x轴围成的图形的面积为_______．
解析：由正弦函数与余弦函数的图象，知f(x)＝sin x，x∈[0，π]的图象与x轴围成的图形面积等于g(x)＝cos x，x∈的图象与x轴围成的图形的面积的2倍，所以S＝sin xdx＝2.
答案：2
4. (sin x＋2x)dx＝________.
解析：由定积分的性质可得 (sin x＋2x)dx＝sin xdx＋2xdx，又y＝sin x与y＝2x都是奇函数，故所求定积分为0.
答案：0
5. dx＝________.
解析：由y＝可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．
dx等于圆心角为60°的弓形CD的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝××22－×2×2sin ＝－.
S矩形＝AB·BC＝2.
∴dx＝2＋－＝＋.
答案：＋
6．已知函数f(x)＝求f(x)在区间[－1,3π]上的定积分．
解：由定积分的几何意义知：
∵f(x)＝x5是奇函数，故x5dx＝0；
sin xdx＝0(如图(1)所示)；
xdx＝(1＋π)(π－1)＝(π2－1)(如图(2)所示)．
∴f(x)dx＝x5dx＋1xdx＋sin xdx
＝(π2－1)．
7．计算 (－x3)dx的值．
解：如图，
由定积分的几何意义，得dx＝＝，x3dx＝0.由定积分的性质，得 (－x3)dx
＝dx－x3dx＝.
