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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(十)”
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谢谢！课时跟踪检测（十） 微积分基本定理
一、题组对点训练
对点练一 求简单函数的定积分
1.(x－1)dx等于( )
A．－1 B．1
C．0 D．2
解析：选C (x－1)dx＝＝×22－2＝0.
2.(ex＋2x)dx等于( )
A．1 B．e－1
C．e D．e＋1
解析：选C (ex＋2x)dx＝(ex＋x2) ＝(e1＋1)－e0＝e.
3． (1＋cos x)dx＝( )
A．π B．2
C．π－2 D．π＋2
解析：选D ∵(x＋sin x)′＝1＋cos x，
∴ (1＋cos x)dx＝(x＋sin x) ＝π＋2.
4．计算定积分 (x2＋sin x)dx＝________.
解析： (x2＋sin x)dx＝＝.
答案：
对点练二 求分段函数的定积分
5．设f(x)＝则f(x)dx等于( )
A. B.
C. D．不存在
解析：选C f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝x3＋＝＋＝.
6．计算下列定积分：
(1)|x－3|dx；
(2)若f(x)＝求f(x)dx.
解：(1)∵|x－3|＝
∴|x－3|dx＝|x－3|dx＋|x－3|dx
＝(3－x)dx＋(x－3)dx
＝＋
＝＋＝.
(2)由已知f(x)dx＝x2dx＋ (cos x－1)dx
＝x3＋(sin x－x)
＝＋＝－.
对点练三 根据定积分求参数
7．若dx＝3＋ln 2，则a的值是( )
A．6 B．4
C．3 D．2
解析：选D dx＝(x2＋ln x)
＝(a2＋ln a)－(1＋ln 1)＝(a2－1)＋ln a＝3＋ln 2.
∴∴a＝2.
8．设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________.
解析：显然f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝0＋3t2dt＝t3＝a3，得a3＝1，a＝1.
答案：1
9．已知2≤(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________．
解析：(kx＋1)dx＝＝(2k＋2)－＝k＋1，所以2≤k＋1≤4，解得≤k≤2.
答案：
10．已知f(x)是二次函数，其图象过点(1,0)，且f′(0)＝2，f(x)dx＝0，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∴a＋b＋c＝0.
∵f′(x)＝2ax＋b，①
∴f′(0)＝b＝2.②
f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx
＝＝a＋b＋c＝0.③
由①②③得∴f(x)＝－x2＋2x－.
二、综合过关训练
1．已知f(x)dx＝3，则[f(x)＋6]dx＝( )
A．9 B．12
C．15 D．18
解析：选C [f(x)＋6]dx＝f(x)dx＋6dx＝3＋6x＝3＋12＝15.
2．若函数f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，则( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，∴f(x)＝x2＋x，∴f(－x)dx＝(x2－x)dx＝＝.
3．若y＝(sin t＋cos t·sin t)dt，则y的最大值是( )
A．1 `B．2
C．－1 D．0
解析：选B y＝(sin t＋cos t·sin t)dt＝sin tdt＋dt＝－cos t－cos2t＝－cos x＋1－(cos 2x－1)＝－cos 2x－cosx＋＝－cos2x－cos x＋＝－(cos x＋1)2＋2≤2.
4．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx等于( )
A．－1 B．－
C. D．1
解析：选B 因为f(x)dx是常数，所以f′(x)＝2x，
所以可设f(x)＝x2＋c(c为常数)，
所以c＝2f(x)dx＝2(x2＋c)dx＝2，
解得c＝－，f(x)dx＝(x2＋c)dx
＝dx＝＝－.
5.(4－2x)(4－3x2)dx＝________.
解析：(4－2x)(4－3x2)dx＝(16－12x2－8x＋6x3)dx＝＝8.
答案：8
6．若f(x)＝则f(x)dx＝________.
解析：f(x)dx＝x2dx＋(sin x－1)dx
＝x3＋(－cos x－x) ＝－cos 1.
答案：－cos 1
7．计算下列定积分．
(1) (|2x＋3|＋|3－2x|)dx；(2)dx.
解：(1)∵|2x＋3|＋|3－2x|＝
∴ (|2x＋3|＋|3－2x|)dx
＝ (－4x)dx＋6dx＋4xdx
＝－2x2＋6x＋2x2
＝(－2)×2－(－2)×(－3)2＋6×－6×＋2×32－2×2＝45.
(2)dx＝2xdx－dx
＝－2＝－(2－2)＝－2.
8．已知f(x)＝ (12t＋4a)dt，F(a)＝[f(x)＋3a2]dx，求函数F(a)的最小值．
解：∵f(x)＝ (12t＋4a)dt＝(6t2＋4at)
＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)＝6x2＋4ax－2a2，
∴F(a)＝[f(x)＋3a2]dx＝(6x2＋4ax＋a2)dx
＝(2x3＋2ax2＋a2x) ＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1，
∴当a＝－1时，F(a)最小值＝1.
