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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(十一)”
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谢谢！课时跟踪检测（十一） 定积分的简单应用
一、题组对点训练
对点练一 不分割型图形面积的求解
1．如图，阴影部分的面积是( )
A．2 B．2－
C. D.
解析：选C 阴影部分的面积S＝ (3－x2－2x)dx＝＝.
2．如图，两曲线y＝3－x2与y＝x2－2x－1所围成的图形面积是( )
A．6 B．9
C．12 D．3
解析：选B 由解得交点(－1,2)，(2，－1)，所以S＝ [(3－x2)－(x2－2x－1)]dx＝ (－2x2＋2x＋4)dx＝＝9.
3．如图所示，由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________．
解析：由得交点坐标为(1,5)，(4,20)，所以所求面积S＝(x2＋4－5x)dx＋(5x－x2－4)dx
＝＋
＝.
答案：
4．已知抛物线y＝x2－2x与直线x＝0，x＝a，y＝0围成的平面图形的面积为，求a的值．
解：作出y＝x2－2x的图象，如图所示．
①当a<0时，S＝(x2－2x)dx＝＝－＋a2＝，
所以(a＋1)(a－2)2＝0.
因为a<0，所以a＝－1.
②当a＝0时，不符合题意．
③当a>0时，若0
所以(a＋1)(a－2)2＝0.
因为a>0，所以a＝2.
若a>2，不符合题意．
综上，a＝－1或2.
对点练二 分割型图形面积的求解
5．如图，阴影部分是由曲线y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0围成，则其面积为________．
解析：S＝dx＋dx
＝x＋ln x＝＋ln 2.
答案：＋ln 2
6．求抛物线y2＝2x和直线y＝－x＋4所围成的图形的面积．
解：先求抛物线和直线的交点，解方程组
求出交点坐标为A(2,2)和B(8，－4)．
法一：选x为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图)，则面积为S＝S1＋S2
＝2dx＋(－x＋4)dx
＝x＋＝18.
法二：选y作积分变量，则y的变化区间为[－4,2]，如图得所求的面积为S＝dy＝＝18.
对点练三 求变速直线运动的路程
7．一辆汽车以v＝3t2的速度行驶，这辆汽车从t＝0到t＝3这段时间内所行驶的路程为( )
A. B．1
C．3 D．27
解析：选D s＝3t2dt＝t3＝27，故选D.
8．A、B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段的速度为1.2t m/s，到C点的速度为24 m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，速度为(24－1.2t)m/s，经t s后，在B点恰好停车，试求：
(1)A、C间的距离；
(2)B、D间的距离．
解：(1)设A到C的时间为t1，
则1.2t1＝24，t1＝20 (s)，
则|AC|＝1.2tdt＝0.6t2＝240(m)．
(2)设D到B的时间为t2，
则24－1.2t2＝0，t2＝20(s)，
则|DB|＝ (24－1.2t)dt
＝(24t－0.6t2) ＝240(m)．
对点练四 求变力做功
9．做直线运动的质点在任意位置x处，所受力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是( )
A．1＋e B．e
C. D．e－1
解析：选B W＝(1＋ex)dx＝(x＋ex) ＝e.
10．一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向运动，力—位移曲线如图所示．求该物体从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处力F(x)做的功．
解：由力—位移曲线可知F(x)＝因此该物体从x＝0处运动到x＝4处力F(x)做的功为W＝10dx＋(3x＋4)dx＝10x＋＝46(J)．
二、综合过关训练
1．曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积等于( )
A. (x－x3)dx B. (x3－x)dx
C．2(x－x3)dx D．2 (x－x3)dx
解析：选C 由求得直线y＝x与曲线y＝x3的交点分别为(－1，－1)，(1,1)，(0,0)，由于两函数都是奇函数，根据对称性得S＝2(x－x3)dx.
2．由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为( )
A. B．1
C. D.
解析：选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分cos x dx＝sin x＝.
3．以初速度40 m/s向上抛一物体，t s时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )
A. m B． m
C. m D． m
解析：选A 令v＝40－10t2＝0，得物体到达最高时t＝2，此时高度h＝(40－10t2)dt＝＝(m)．故选A.
4．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向做直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为( )
A. J B． J
C. J D．2 J
解析：选C W＝F(x)cos 30°dx＝(5－x2)dx
＝＝(J)．
5．由y＝x2，y＝x2及x＝1围成的图形的面积S＝________.
解析：图形如图所示：
S＝x2dx－x2dx
＝x2dx
＝x3＝.
答案：
6．抛物线y＝－x2＋4x－3与其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成的面积为________．
解析：由y′＝－2x＋4，得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两切线方程分别为y＝2x－2和 y＝－2x＋6.
由得C(2,2)．
∴S＝S△ABC－(－x2＋4x－3)dx
＝×2×2－
＝2－＝.
答案：
7．求正弦曲线y＝sin x与余弦曲线y＝cos x与直线x＝－，x＝围成的图形的面积．
解：如图，画出y＝sin x与y＝cos x在上的图象，它们共有三个交点，分别为，，.
在上，cos x>sin x.
在上，sin x>cos x.
∴面积S＝ (cos x－sin x)dx＋ (sin x－cos x)dx
＝2 (sin x－cos x)dx
＝－2(sin x＋cos x) ＝4.
8．已知函数f(x)＝ex－1，直线l1：x＝1，l2：y＝et－1(t为常数，且0≤t≤1)，直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形，以及直线l2，y轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中阴影部分所示．求当t变化时，阴影部分的面积的最小值．
解：S1＋S2＝(et－1－ex＋1)dx＋(ex－1－et＋1)dx
＝(et－ex)dx＋(ex－et)dx
＝(xet－ex) ＋(ex－xet)
＝(2t－3)et＋e＋1，
取g(t)＝(2t－3)et＋e＋1(0≤t≤1)，
令g′(t)＝0，解得t＝.
当t∈时，g′(t)<0，g(t)是减函数；
当t∈时，g′(t)>0，g(t)是增函数，
因此g(t)的最小值为g
＝e＋1－2e
＝(－1)2.
故阴影部分面积的最小值为(－1)2.
