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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(一)”
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谢谢！课时跟踪检测（一） 变化率问题、导数的概念
一、题组对点训练
对点练一 函数的平均变化率
1．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝( )
A．－3 B．2 C．3 D．－2
解析：选C 根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3.
2．若函数f(x)＝－x2＋10的图象上一点及邻近一点，则＝( )
A．3 B．－3
C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3
解析：选D ∵Δy＝f－f＝－3Δx－(Δx)2，
∴＝＝－3－Δx.
3．求函数y＝f(x)＝在区间[1,1＋Δx]内的平均变化率．
解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1
＝＝
＝，
∴＝－ .
对点练二 求瞬时速度
4．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t3－2表示，则此物体在t＝1 s时的瞬时速度(单位：m/s)为( )
A．1 B．3 C．－1 D．0
答案：B
5．求第4题中的物体在t0时的瞬时速度．
解：物体在t0时的平均速度为＝
＝＝
＝3t＋3t0Δt＋(Δt)2.
因为 [3t＋3t0Δt＋(Δt)2]＝3t，故此物体在t＝t0时的瞬时速度为3t m/s.
6．若第4题中的物体在t0时刻的瞬时速度为27 m/s，求t0的值．
解：由＝＝
＝＝3t＋3t0Δt＋(Δt)2，
因为 [3t＋3t0Δt＋(Δt)2]＝3t.
所以由3t＝27，解得t0＝±3，
因为t0>0，故t0＝3，
所以物体在3 s时的瞬时速度为27 m/s.
对点练三 利用定义求函数在某一点处的导数
7．设函数f(x)可导，则 等于( )
A．f′(1) B．3f′(1)
C．f′(1) D．f′(3)
解析：选A ＝f′(1)．
8．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
解析：选C ∵f′(1)＝
＝ ＝a，∴a＝3.
9．求函数f(x)＝在x＝1处的导数f′(1)．
解：由导数的定义知，函数在x＝1处的导数f′(1)＝ ，而＝＝，又 ＝，所以f′(1)＝.
二、综合过关训练
1．若f(x)在x＝x0处存在导数，则 ( )
A．与x0，h都有关 B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关 D．以上答案都不对
解析：选B 由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关．
2．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A．k1>k2 B．k2C．k1＝k2 D．不确定
解析：选D k1＝＝＝2x0＋Δx；
k2＝＝＝2x0－Δx.
因为Δx可正也可负，所以k1与k2的大小关系不确定．
3．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( )
A．两机关节能效果一样好
B．A机关比B机关节能效果好
C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
解析：选B 由题图可知，A机关所对应的图象比较陡峭，B机关所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关比B机关节能效果好．
4．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是( )
A．7 m/s B．6 m/s
C．5 m/s D．8 m/s
解析：选C ∵＝＝5＋Δt，
∴ ＝ (5＋Δt)＝5 (m/s)．
5．如图是函数y＝f(x)的图象，则
(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；
(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
解析：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝.
(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝
所以，函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.
答案：(1) (2)
6．函数y＝－在点x＝4处的导数是________．
解析：∵Δy＝－＋
＝－＝
＝.
∴＝.
∴ ＝
＝＝.
∴y′|x＝4＝.
答案：
7．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时平均速度．
解：(1)初速度v0＝ ＝ ＝ (3－Δt)＝3(m/s)．
即物体的初速度为3 m/s.
(2)v＝
＝
＝ ＝ (－Δt－1)＝－1(m/s)．
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．
(3)＝＝＝1(m/s)．
即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.
8．若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围．
解：因为函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为：
＝
＝
＝＝－3－Δx，
所以由－3－Δx≤－1，
得Δx≥－2.
又因为Δx>0，
即Δx的取值范围是(0，＋∞)．
