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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(二)”
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谢谢！课时跟踪检测（二） 导数的几何意义
一、题组对点训练
对点练一 求曲线的切线方程
1．曲线y＝x3＋11在点(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9 B．－3 C．9 D．15
解析：选C ∵切线的斜率k＝ ＝
＝
＝[3＋3(Δx)＋(Δx)2]＝3，
∴切线的方程为y－12＝3(x－1)．
令x＝0得y＝12－3＝9.
2．求曲线y＝在点的切线方程．
解：因为y′＝ ＝ ＝ ＝－，
所以曲线在点的切线斜率为k＝y′x＝＝－4.
故所求切线方程为y－2＝－4，即4x＋y－4＝0.
对点练二 求切点坐标
3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析：选A ∵点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，∴b＝1.
又y′＝ ＝2x＋a，
∴过点(0，b)的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1.
4．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P坐标为________．
解析：设P(x0,2x＋4x0)，
则f′(x0)＝ ＝ ＝4x0＋4，
又∵f′(x0)＝16，∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P(3,30)．
答案：(3,30)
5．曲线y＝f(x)＝x2的切线分别满足下列条件，求出切点的坐标．
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)切线的倾斜角为135°.
解：f′(x)＝ ＝＝2x，
设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，∴2x0＝4，∴x0＝2，y0＝4，即P(2,4)，显然P(2,4)不在直线y＝4x－5上，∴符合题意．
(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，∴2x0·＝－1，∴x0＝－，y0＝，即P.
(3)∵切线的倾斜角为135°，∴其斜率为－1，即2x0＝－1，∴x0＝－，y0＝，即P.
对点练三 导数几何意义的应用
6．下面说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．
7．设曲线y＝f(x)在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线( )
A．垂直于x轴 B．垂直于y轴
C．既不垂直于x轴也不垂直于y轴 D．方向不能确定
解析：选B 由导数的几何意义知曲线f(x)在此点处的切线的斜率为0，故切线与y轴垂直．
8．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图象是( )
解析：选D 不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量Δx，那么弦AB与弧AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．由上可知函数y＝f(x)图象的上升趋势应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确．
9．已知函数y＝f(x)的图象如图所示， 则函数y＝f′(x)的图象可能是________(填序号)．
解析：由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，f′(x)<0，故②符合．
答案：②
二、综合过关训练
1．函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．0B．0C．0D．0解析：选B f′(a)，f′(a＋1)分别为曲线f(x)在x＝a，x＝a＋1处的切线的斜率，由题图可知f′(a)>f′(a＋1)>0，而f(a＋1)－f(a)＝表示(a，f(a))与(a＋1，f(a＋1))两点连线的斜率，且在f′(a)与f′(a＋1)之间．∴02．曲线y＝在点P(2,1)处的切线的倾斜角为( )
A． B． C． D．
解析：选D Δy＝－＝－1＝， ＝ ＝－1，斜率为－1，倾斜角为.
3．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2
解析：选A 由Δy＝(1＋Δx)3－2(1＋Δx)＋1－(1－2＋1)＝(Δx)3＋3(Δx)2＋Δx得 ＝ (Δx)2＋3Δx＋1＝1，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得切线方程为y＝x－1.
4．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( )
A．(1,0) B．(2,8)
C．(1,0)或(－1，－4) D．(2,8)或(－1，－4)
解析：选C f′(x)＝
＝ ＝3x2＋1.由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．
5．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A、B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：f′(a)________f′(b)(填“<”或“>”)．
解析：f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A、B处的切线斜率，故f′(a)>f′(b)．
答案：>
6．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程为____________．
解析：曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝ ＝ (3Δx＋2)＝2.所以过点 P(－1,2)的直线的斜率为2.由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.
答案：2x－y＋4＝0
7．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问：
(1)甲、乙二人哪一个跑得快？
(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？
解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大，故乙跑得快；
(2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大，故快到终点时，乙跑得快．
8．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象，结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．
解：如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：在t＝1.5 s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5 s之间，曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5 s后，曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地．
