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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(三)”
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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(四)”
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谢谢！课时跟踪检测（三） 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
一、题组对点训练
对点练一 利用导数公式求函数的导数
1．给出下列结论：
①(cos x)′＝sin x；②′＝cos ；③若y＝，则y′＝－；④′＝ .
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B 因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误．sin ＝，而′＝0，所以②错误.′＝＝＝，所以③错误.′＝－＝＝x－＝，所以④正确．
2．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝，则α等于( )
A． B． C． D．
解析：选D ∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1.
∴f′(1)＝α＝.
对点练二 利用导数的运算法则求导数
3．函数y＝sin x·cos x的导数是( )
A．y′＝cos2x＋sin2x B．y′＝cos2x－sin2x
C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x
解析：选B y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.
4．函数y＝的导数为________．
解析：y′＝′＝＝＝.
答案：
5．已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．
解析：f′(x)＝a＝a(1＋ln x)．由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3， 所以a＝3.
答案：3
6．求下列函数的导数．
(1)y＝sin x－2x2；(2)y＝cos x·ln x；(3)y＝.
解：(1)y′＝(sin x－2x2)′＝(sin x)′－(2x2)′＝cos x－4x.
(2)y′＝(cos x·ln x)′＝(cos x)′·ln x＋cos x·(ln x)′＝－sin x·ln x＋.
(3)y′＝′＝＝＝.
对点练三 利用导数公式研究曲线的切线问题
7．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．
解析：∵y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，
∴切线斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x.
答案：y＝3x
8．若曲线f(x)＝x·sin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________.
解析：因为f′(x)＝sin x＋xcos x，所以f′＝sin ＋cos ＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，所以根据题意得1×＝－1，解得a＝2.
答案：2
9．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
解析：因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.
答案：1
10．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，求点P的坐标．
解：设点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝3x2－10，所以3x－10＝2，解得x0＝±2.又点P在第一象限内，所以x0＝2，又点P在曲线C上，所以y0＝23－10×2＋13＝1，所以点P的坐标为(2,1)．
二、综合过关训练
1．f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 019(x)＝( )
A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x
解析：选D 因为f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝cos x，所以循环周期为4，因此f2 019(x)＝f3(x)＝－cos x.
2．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2 C．1 D．
解析：选A 因为y′＝－，所以根据导数的几何意义可知，－＝，解得x＝3(x＝－2不合题意，舍去)．
3．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( )
A．－ B． C．－ D．
解析：选B y′＝＝，把x＝代入得导数值为，即为所求切线的斜率．
4．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为( )
A．1 B．±1
C．－1 D．－2
解析：选A 设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax＋3，所以3x0＋1＝ax＋3…①.对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，则3ax＝3，ax＝1…②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.
5．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为____________．
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3，
∵f′(x)是偶函数，∴a＝0，
∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，
∴f(2)＝8－6＝2，f′(2)＝9，
∴曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－2＝9(x－2)，
即9x－y－16＝0.
答案：9x－y－16＝0
6．设f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f′(0)＝________.
解析：令g(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f(x)＝xg(x)，
求导得f′(x)＝x′g(x)＋xg′(x)＝g(x)＋xg′(x)，
所以f′(0)＝g(0)＋0×g′(0)＝g(0)＝1×2×3×…×n.
答案：1×2×3×…×n
7．已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
解析：法一：∵y＝x＋ln x，
∴y′＝1＋，y′x＝1＝2.
∴曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．
由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.
由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
法二：同法一得切线方程为y＝2x－1.
设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)．
∵y′＝2ax＋(a＋2)，
∴y′x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．
由解得
答案：8
8．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，
所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，
又f′(1)＝2a,3＋2a＋b＝2a，
解得b＝－3，
令x＝2得f′(2)＝12＋4a＋b，
又f′(2)＝－b，
所以12＋4a＋b＝－b，
解得a＝－.
则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.
又f′(1)＝2×＝－3，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，
即6x＋2y－1＝0.
9．已知两条直线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
解：不存在．由于y＝sin x，y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，
所以两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝y′x＝x0＝cos x0，k2＝y′x＝x0＝－sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须使cos x0·(－sin x0)＝－1，
即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
课时跟踪检测（四） 复合函数求导及应用
一、题组对点训练
对点练一 简单复合函数求导问题
1．y＝cos3x的导数是( )
A．y′＝－3cos2xsin x B．y′＝－3cos2x
C．y′＝－3sin2x D．y′＝－3cos xsin2x
解析：选A 令t＝cos x，则y＝t3，y′＝yt′·tx′＝3t2·(－sin x)＝－3cos2xsin x.
2．求下列函数的导数．
(1)y＝ln(ex＋x2)；
(2)y＝102x＋3；
(3)y＝sin4x＋cos4x.
解：(1)令u＝ex＋x2，则y＝ln u.
∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝.
(2)令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln 10.
(3)y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x＝1－sin22x＝1－(1－cos 4x)＝＋cos 4x.
所以y′＝′＝－sin 4x.
对点练二 复合函数与导数运算法则的综合应用
3．函数y＝x2cos 2x的导数为( )
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
解析：选B y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x.
4．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )
A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5) D．
解析：选B y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋.
5．函数y＝sin 2xcos 3x的导数是________．
解析：∵y＝sin 2xcos 3x，
∴y′＝(sin 2x)′cos 3x＋sin 2x(cos 3x)′＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x.
答案：2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x
6．已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′.
解：∵f(x)＝eπxsin πx，
∴f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcos πx＝πeπx(sin πx＋cos πx)．
f′＝πe＝πe.
对点练三 复合函数导数的综合问题
7．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 令y＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－.所以f(0)＝0，且f′(0)＝2.联立解得a＝3.
8．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A. B．2
C．3 D．0
解析：选A 设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝，
∴y′x＝x0＝＝2，解得x0＝1，
∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
9．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)＝( )
A．5太贝克 B．75ln 2太贝克
C．150ln 2 太贝克 D．150太贝克
解析：选D M′(t)＝－ln 2×M02，
由M′(30)＝－ln 2×M02＝－10 ln 2，
解得M0＝600，
所以M(t)＝600×2，
所以t＝60时，铯137的含量为M(60)＝600×2＝600×＝150(太贝克)．
二、综合过关训练
1．函数y＝(2 019－8x)3的导数y′＝( )
A．3(2 019－8x)2 B．－24x
C．－24(2 019－8x)2 D．24(2 019－8x2)
解析：选C y′＝3(2 019－8x)2×(2 019－8x)′＝3(2 019－8x)2×(－8)＝－24(2 019－8x)2.
2．函数y＝(ex＋e－x)的导数是( )
A．(ex－e－x) B．(ex＋e－x)
C．ex－e－x D．ex＋e－x
解析：选A y′＝(ex＋e－x)′＝(ex－e－x)．
3．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
解析：选B 设切点坐标是(x0，x0＋1)，依题意有由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.
4．函数y＝ln在x＝0处的导数为________．
解析：y＝ln ＝ln ex－ln(1＋ex)＝x－ln(1＋ex)，
则y′＝1－.当x＝0时，y′＝1－＝.
答案：
5．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
解析：令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.
答案：2
6．f(x)＝且f′(1)＝2，则a的值为________．
解析：∵f(x)＝(ax2－1)，∴f′(x)＝(ax2－1)－·(ax2－1)′＝ .又f′(1)＝2，∴＝2，∴a＝2.
答案：2
7．求函数y＝asin＋bcos22x(a，b是实常数)的导数．
解：∵′＝acos·′＝cos，
又(cos22x)′＝′
＝(－sin 4x)×4＝－2sin 4x，
∴y＝asin＋bcos22x的导数为
y′＝′＋b(cos22x)′＝cos－2bsin 4x.
8．曲线y＝e2xcos 3x在(0,1)处的切线与l的距离为，求l的方程．
解：由题意知y′＝(e2x)′cos 3x＋e2x(cos 3x)′
＝2e2xcos 3x＋3(－sin 3x)·e2x
＝2e2xcos 3x－3e2xsin 3x，
所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝0＝2.
所以该切线方程为y－1＝2x，即y＝2x＋1.
设l的方程为y＝2x＋m，
则d＝＝.
解得m＝－4或m＝6.
当m＝－4时，l的方程为y＝2x－4;
当m＝6时，l的方程为y＝2x＋6.
综上，可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.
