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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(二十)”
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谢谢！课时跟踪检测（二十） 复数代数形式的乘除运算
一、题组对点训练
对点练一 复数的乘除运算
1．下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i) C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
解析：选C A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；
C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数；
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.
2．(2019·全国卷Ⅰ)设z＝，则|z|＝( )
A．2 B． C． D．1
解析：选C 法一：∵z＝＝＝，
∴|z|＝ ＝.
法二：|z|＝＝＝.
3．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝( )
A．－2i B．2i C．－2 D．2
解析：选A ∵zi＝1＋i，∴z＝＝＋1＝1－i.
∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i.
4．计算：
(1)(1－i)(3＋2i)＋(2＋2i)2；(2)＋；
(3).
解：(1)原式＝(3＋2i－3i＋2)＋(4＋8i－4)
＝(5－i)＋8i＝5＋7i.
(2)原式＝＋
＝＋
＝(1－)＋(＋1)i－i
＝(1－)＋i.
(3)原式＝＝＝＝2.
对点练二 共轭复数
5．复数z＝的共轭复数是( )
A．2＋i B．2－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选D z＝＝＝－1＋i，＝－1－i.
6．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋ i，z·＝4，则a＝( )
A．1或－1 B.或－
C．－ D.
解析：选A 法一：由题意可知＝a－ i，
∴z·＝(a＋ i)(a－ i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
法二：z·＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
7．已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，(a，b∈R)，由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有
解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
对点练三 复数范围内的方程根问题
8．设x，y是实数，且＋＝，则x＋y＝________.
解析：＋＝＋＝＋i，
而＝＝＋i，
所以＋＝且＋＝，
解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4.
答案：4
9．已知复数z＝.
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
解：(1)z＝＝＝＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
即a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以解得
二、综合过关训练
1．复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C z＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于第三象限．
2．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝( )
A． B． C．1 D．2
解析：选A 法一：z＝＝＝＝＝－＋i，
∴＝－－i.
∴z·＝＝＋＝.
法二：∵z＝，∴|z|＝＝＝.
∴z·＝|z|2＝.
3．已知复数z＝1－i，则＝( )
A．2i B．－2i C．2 D．－2
解析：选B 法一：因为z＝1－i，
所以＝＝＝－2i.
法二：由已知得z－1＝－i，而＝＝＝＝－2i.
4．设i是虚数单位， 是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选A 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z·i＋2＝2z，
∴(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，
∴a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
5．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.
解析：因为＝＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.
答案：2
6．已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．
解析：由＝＝－i是实数，得－＝0，所以a＝－2.
答案：－2
7．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，
∴z1－2＝＝＝＝－i，
∴z1＝2－i.
设z2＝a＋2i(a∈R)，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
又∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.
8．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为实数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.
解：设ω＝x＋yi(x，y∈R)，
由ω＝，得z＝ω(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i)．
依题意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋yi)(2＋i)＝(－x－7y)＋(7x－y)i，∴7x－y＝0.①
又|ω|＝5，∴x2＋y2＝50.②
由①②得或
∴ω＝1＋7i或ω＝－1－7i.
