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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(十七)”
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谢谢！课时跟踪检测（十七） 数系的扩充和复数的概念
一、题组对点训练
对点练一 复数的概念
1．设全集I＝{复数}，R＝{实数}，M＝{纯虚数}，则( )
A．M∪R＝I B．(?IM)∪R＝I
C．(?IM)∩R＝R D．M∩(?IR)＝?
解析：选C 根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．依题意，I，R，M三个集合之间的关系如图所示．
所以应有：M∪R(I，(?IM)∪R＝?IM，M∩(?IR)≠?，故A，B，D三项均错，只有C项正确．
2．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的复数是( )
A．2－2i B．2＋2i
C．－＋i D．＋i
解析：选A －＋2i的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i，其实部为－2，故所求复数为2－2i.
3．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B. C．－ D．2
解析：选D 复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，即b＝2.
4．有下列四个命题：
(1)方程2x－5＝0在自然数集N中无解；
(2)方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；
(3)x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；
(4)x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C 经逐一检验知(1)，(2)，(3)正确，(4)中方程x4＝1在C中有4解，错误，故选C.
对点练二 复数的分类
5．在2＋，i,0,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C i，(1－)i是纯虚数，2＋，0,0.618是实数，8＋5i是虚数．
6．复数z＝＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( )
A．1或－1 B．1 C．－1 D．0或－1
解析：选C 因为复数z＝＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则解得a＝－1，故选C.
7．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A．1 B．2 C．1或2 D．－1
解析：选B 根据复数的分类知，需满足解得即a＝2.
8．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
解：(1)当即m＝2时，复数z是实数．
(2)当m2－2m≠0，且m≠0，
即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
(3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数．
对点练三 复数相等的充要条件
9．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
解析：选C 易知解得a＝－4.
10．已知(3x＋y)＋(2x－y)i＝(7x－5y)＋3i，则实数x＝________，y＝________.
解析：∵x，y是实数，∴根据两个复数相等的充要条件，
可得解得
答案：
二、综合过关训练
1．若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为( )
A．－2 B．3
C．－3 D．±3
解析：选B 依题意应有解得m＝3.
2．若(7－3x)＋3yi＝2y＋2(x＋2)i(x，y∈R)，则x，y的值分别为( )
A．1,2 B．2,1
C．－1,2 D．－2,1
解析：选A (7－3x)＋3yi＝2y＋2(x＋2)i??即x，y的值分别为 1,2.
3．已知M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数m的值为( )
A．－1或6 B．－1或4
C．－1 D．4
解析：选C 由M∩N＝{3}，知
m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，
∴解得m＝－1.
4．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为( )
A． B．
C．[－1,1] D．
解析：选D 由z1＝z2得
消去m得λ＝4sin2θ－3sin θ＝42－.
由于－1≤sin θ≤1，故－≤λ≤7.故选D.
5．若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数(其中i是虚数单位)，且θ∈[0,2π)，则θ＝________.
解：因为sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数，所以所以即又θ∈[0,2π)，所以θ＝.
答案：
6．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值(或取值范围)是________．
解析：由题意知
解得x＝－2.
答案：－2
7．已知关于t的一元二次方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)有实根，求点(x，y)的轨迹．
解：设实根为m，则m2＋(2＋i)m＋2xy＋(x－y)i＝0，即(m2＋2m＋2xy)＋(m＋x－y)i＝0，
所以
由②得m＝y－x，
代入①得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2，
所以所求点的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2，轨迹是以(1，－1)为圆心，为半径的圆．
8．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
解：由定义运算＝ad－bc得
＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，
所以有
解得x＝－1，y＝2.
