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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(十八)”
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谢谢！课时跟踪检测（十八） 复数的几何意义
一、题组对点训练
对点练一 复数与复平面内点的对应关系
1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
解析：选C 复数6＋5i对应A点坐标为(6,5)，－2＋3i对应B点坐标为(－2,3)．由中点坐标公式知C点坐标为(2,4)，所以点C对应的复数为2＋4i，故选C.
2．当
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 因为0，m－1<0，所以点(3m－2，m－1)在第四象限，故选D.
3．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
解析：∵复数z在复平面内对应的点位于第四象限，
∴解得x>3.
答案：(3，＋∞)
4．设z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)．
(1)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围；
(2)若z在复平面内对应的点在直线x－y－1＝0上，求m的值．
解：(1)由已知，得即
解得－1∴m的取值范围是(－1,0)．
(2)由已知得，点(log2(1＋m)，log (3－m))在直线x－y－1＝0上，
即log2(1＋m)－log(3－m)－1＝0，
∴log2[(1＋m)(3－m)]＝1，
∴(1＋m)(3－m)＝2，∴m2－2m－1＝0，
∴m＝1±，且当m＝1±时都能使1＋m>0，且3－m>0，∴m＝1±.
对点练二 复数与平面向量的对应关系
5．向量对应的复数为z1＝－3＋2i，对应的复数z2＝1－i，则|＋|为( )
A． B． C．2 D．
解析：选A 因为向量对应的复数为z1＝－3＋2i，OB―→对应的复数为z2＝1－i，所以＝(－3,2)，＝(1，－1)，则＋＝(－2,1)，所以|＋|＝.
6．向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，则向量＋对应的复数为( )
A．－3＋2i B．－2＋10i
C．4－2i D．－12i
解析：选B 由题意＝(1,4)，＝(－3,6)，
所以＋＝(1,4)＋(－3,6)＝(－2,10)，
所以向量＋对应的复数为－2＋10i，故选B.
7．在复平面内，O是原点，已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y (x，y∈R)，求x＋y的值．
解：由已知，得＝(－1,2)，＝(1，－1)，＝(3，－2)，
所以x＋y＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)．
由＝x＋y，
可得解得
所以x＋y＝5.
对点练三 复数模的计算及应用
8．已知复数z＝－3i，则复数的模|z|是( )
A．5 B．8 C．6 D.
解析：选D |z|＝＝.
9．已知0解析：∵|z|＝，而0∴1答案：(1，)
10．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z|＝，
代入方程得，a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得∴z＝－15＋8i.
二、综合过关训练
1．已知平行四边形OABC，O、A、C三点对应的复数分别为0、1＋2i、3－2i，则向量的模| |等于( )
A． B．2 C．4 D．
解析：选D 由于四边形OABC是平行四边形，故＝，因此||＝||＝|3－2i|＝，故选D.
2．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选A ∵|z1|＝，|z2|＝，
∴<，∴－13．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－，则z为( )
A．－＋2i B．－－2i
C.＋2i D.－2i
解析：选A 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＝－，
由|z|＝3，得(－)2＋y2＝9，即y2＝4，∴y＝±2.
∵复数z对应的点在第二象限，∴y＝2.
∴z＝－＋2i.
4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为( )
A．一个圆 B．线段
C．两点 D．两个圆
解析：选A ∵|z|2－2|z|－3＝0，
∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
∴|z|＝3，表示一个圆，故选A.
5．复数z＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模的取值范围为________．
解析：|z|＝＝，
∵π<α<2π，∴－1∴0<2＋2cos α<4.∴|z|∈(0,2)．
答案：(0,2)
6．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________.
解析：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由题意，得x＋yi－＝－1＋i，
即(x－)＋yi＝－1＋i.
根据复数相等的充要条件，得
解得∴z＝i.
法二：由已知可得z＝(|z|－1)＋i，
等式两边取模，得|z|＝.
两边平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1?|z|＝1.
把|z|＝1代入原方程，可得z＝i.
答案：i
7．在复平面内画出复数z1＝＋i，z2＝－1，z3＝－i对应的向量，，，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．
解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为，(－1,0)，，则向量，，如图所示．
|z1|＝ ＝1，
|z2|＝|－1|＝1，|z3|＝ ＝1，
如图，在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．
8．已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)．设对应的复数是z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解：(1)因为点A，B对应的复数分别是
z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，
所以点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos 2θ)，
所以＝(－cos2θ，cos 2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)，
所以对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，
得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，所以sin θ＝±.
又因为θ∈(0，π)，所以sin θ＝，所以θ＝或.
