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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(十六)”
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谢谢！课时跟踪检测（十六） 数学归纳法
一、题组对点训练
对点练一 用数学归纳法证明等式
1．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )
A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
解析：选D 结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋.
2．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝.
证明：①当n＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝＝0，所以等式成立．
②假设当n＝k(k∈N *)时等式成立，即(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝.
那么当n＝k＋1时，有[(k＋1)2－1]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]
＝(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k)＝＋(2k＋1)
＝k(k＋1)[k(k－1)＋2(2k＋1)]
＝k(k＋1)(k2＋3k＋2)
＝，
所以当n＝k＋1时等式成立．
由①②知，对任意n∈N *等式成立．
对点练二 用数学归纳法证明不等式
3．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜2－(n≥2)(n∈N *)时，第一步需要证明( )
A．1＜2－ B．1＋＜2－
C．1＋＋＜2－ D．1＋＋＋＜2－
解析：选C 第一步验证n＝2时是否成立，即证明1＋＋＜2－.
4．某同学回答“用数学归纳法证明＜n＋1(n∈N *)”的过程如下：
证明：①当n＝1时，显然命题是正确的；②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，有＜k＋1，那么当n＝k＋1时，＝＜＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时命题是正确的．由①②可知对于n∈N *，命题都是正确的．
以上证法是错误的，错误在于( )
A．从k到k＋1的推理过程没有使用假设 B．假设的写法不正确
C．从k到k＋1的推理不严密 D．当n＝1时，验证过程不具体
解析：选A 分析证明过程中的②可知，从k到k＋1的推理过程没有使用假设，故该证法不能叫数学归纳法，选A.
5．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)．
证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋＋＋…＋则当n＝k＋1时，有1＋＋＋…＋＋＋＋…＋由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立．
对点练三 归纳—猜想—证明
6．k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)(k≥3，k∈N*)为( )
A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1
C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2
解析：选A 三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．
猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有[f(k)＋k－1]个对角面．故选A.
7．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n∈N*)．
(1)求a1，a2；
(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出证明．
解：(1)当n＝1时，方程x2－a1x－a1＝0有一根S1－1＝a1－1，所以(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝，
当n＝2时，方程x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a1＋a2－1＝a2－，
所以2－a2－a2＝0，
解得a2＝.
(2)由题意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入整理得
SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝.
由(1)得S1＝ a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.
猜想Sn＝(n∈N *)．
下面用数学归纳法证明这个结论．
①当n＝1时，结论成立．
②假设n＝k(k∈N *)时结论成立，即Sk＝，
当n＝k＋1时，
Sk＋1＝＝＝＝.
所以当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②可知，{Sn}的通项公式为Sn＝(n∈N *)．
二、综合过关训练
1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.
2．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N *)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得( )
A．当n＝4时命题不成立 B．当n＝6时命题不成立
C．当n＝4时命题成立 D．当n＝6时命题成立
解析：选A 因为当n＝k(k∈N *)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立．
3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1(n∈N*)时，等式左边应在n＝k的基础上加上( )
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
解析：选D 当n＝k时，等式左边＝1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，故选D.
4．已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其证明：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立．判断以上评述( )
A．命题、推理都正确 B．命题正确、推理不正确
C．命题不正确、推理正确 D．命题、推理都不正确
解析：选B 推理不正确，错在证明n＝k＋1时，没有用到假设n＝k的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.
5．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，下列关于步骤(2)的说法正确的有________(填序号)．
①假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立；
②假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明当n＝k＋2时命题也成立；
③假设当n＝2k－1(k∈N *)时命题成立，证明当n＝2k时命题也成立．
④假设当n＝2k－1(k∈N *)时命题成立，证明当n＝2k＋1时命题也成立．
解析：因为n为正奇数，所以步骤(2)应为：假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，此时n＝k＋2也为正奇数；也可为：假设当n＝2k－1(k∈N *)时命题成立，此时n＝2k＋1也为正奇数．故②④正确．
答案：②④
6．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N *都成立，则a＝________，b＝________.
解析：∵1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N *都成立，
∴当n＝1,2时有
即解得
答案：
7．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式··…·＞成立．
证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝，左边＞右边，
所以不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2且k∈N *)时不等式成立，
即…＞，
那么，当n＝k＋1时，
…＞·＝＝＞＝＝，
所以，当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)和(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．
8．将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．
S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
…
解：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；
当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；
当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34;
当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44，
猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.
证明：(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N *)时等式成立，
即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4.
那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1
＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]
＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)
＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1
＝(k＋1)4，
即当n＝k＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对于任何n∈N*，
S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．
