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(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：选A 反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”，故选A.
2．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，
＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )
A．＋＝2 B．＋＝2
C．＋＝2 D．＋＝2
解析：选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.
3．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
A．■ B．△ C．□ D．○
解析：选A 由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A正确．
4．观察下列各式：3＝22×3，3＝32×3，3＝42×3，……，若3＝92×3，则m＝( )
A．80 B．81 C．728 D．729
解析：选C 3＝22×3＝22×3，3＝32×3＝32×3，3＝42×3＝42×3，…，
所以3＝n2×3，
所以3＝92×3＝92×3，
所以m＝93－1＝729－1＝728，故选C.
5．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76 C．123 D．199
解析：选C 记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4，f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7; f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.
通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47; f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.
6．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1时，左边需增乘的代数式是( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1) C． D．
解析：选B 增乘的代数式为＝2(2k＋1)．
7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差为6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.
8．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如表所示：
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
x5
y5
x6
y6
按如此规律下去，则a2 018＝( )
A．504 B．505
C．1 008 D．1 009
解析：选D 由a2，a4，a6，a8，…组成的数列恰好对应数列{yn}，即yn＝a2n＝n.所以a2 018＝y1 009＝1 009.
9．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：＋＝(R＋r).设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为( )
A. R B. R C. R D. R
解析：选D 由α＝得r＝αR，代入＋＝(R＋r)，整理得＝.
又∵≈3α3，∴3α3≈，∴α≈ ，
∴r＝αR≈ R.
10．(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
解析：选A (1)若甲预测正确，则乙、丙预测错误，即①甲的成绩比乙高；②丙的成绩不是最高的；③丙的成绩比乙低．
由①②③可得甲、乙、丙成绩由高到低的顺序为甲、乙、丙，A正确．
(2)若乙预测正确，则甲、丙预测错误，即①乙的成绩比甲高；②丙的成绩最高；③丙的成绩比乙低．
由上可知②③相矛盾，故此情况不成立．
(3)若丙预测正确，则甲、乙预测错误，即①乙的成绩比甲高；②丙的成绩不是最高的；③丙的成绩比乙高．
由①③得成绩由高到低的顺序为丙、乙、甲，与②相矛盾，此情况不成立．故选A.
11．有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若甲同学每科成绩不低于乙同学，且至少有一科成绩比乙高，则称“甲同学比乙同学成绩好．”现有若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：选B 用A，B，C分别表示优秀、及格和不及格，依题意，事件A，B，C中都最多只有一个元素，所以只有AC，BB，CA满足条件．综上，符合题意的这组学生最多人数为3.
12．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j列的数，如a42＝8.若aij＝2 018，则i与j的和为( )
1
2 4
3 5 7
6 8 10 12
9 11 13 15 17
14 16 18 20 22 24
……
A．79 B．80 C．81 D．82
解析：选C 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数，偶数行为偶数，2 018＝2×1 009，所以2 018为第1 009个偶数，又前31个偶数行内数的个数的和为992，前32个偶数行内数的个数的和为1 056，故2 018在第32个偶数行内，所以i＝64.因为第64行的第一个数为2×993＝1 986，设2 018＝1 986＋2(m－1)，所以m＝17，即j＝17，所以i＋j＝81.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝________.
解析：因为所给等式左边的底数依次分别为1,2；1,2,3；1,2,3,4；右边的底数依次分别为3,6,10，所以由底数规律可知：第五个等式左边的底数为1,2,3,4,5,6，右边的底数为10＋5＋6＝21，又左边为立方和，右边为平方的形式，故有13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.
答案：212
14．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为________．
解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝1类似的性质为：过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.
答案：经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1
15．若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，称函数f(x)为D上的凸函数；现已知f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，则△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
解析：因为f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数(小前提)，
所以(sin A＋sin B＋sin C)≤sin(结论)，
即sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝.
因此，sin A＋sin B＋sin C的最大值是.
答案：
16．对于函数y＝f(x)，若其定义域内存在两个实数m，n(m解析：因为函数的定义域为x≥－2，又f(x)＝k＋在定义域内为单调增函数，则x∈[m，n]时，有f(m)≤f(x)≤f(n)，则可转化为方程k＋＝x在x∈[－2，＋∞)上有两个相异实根，即k＝x－，令t＝，则x＝t2－2，得k＝t2－t－2(t>0)，由图(图略)可知，当－答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜.
证明：因为a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，
所以a＞0，c＜0.
要证明原不等式成立，只需证明＜a，
即证b2－ac＜3a2，从而只需证明(a＋c)2－ac＜3a2，
即(a－c)(2a＋c)＞0，
因为a－c＞0,2a＋c＝a＋c＋a＝a－b＞0，
所以(a－c)(2a＋c)＞0成立，故原不等式成立．
18．(本小题12分)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
解：(1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，
即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾，
所以数列{Sn}不是等比数列．
(2)当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，
即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，
得q＝0，这与公比q≠0矛盾．
19．(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
(1)sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
(2)sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
(3)sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择(2)式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°
＝1－＝.
(2)法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α
＝.
法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
20．(本小题12分)已知函数f(x)＝tan x，x∈，若x1，x2∈，且x1≠x2，求证：[f(x1)＋f(x2)]>f.
证明：要证[f(x1)＋f(x2)]>f，
只需证(tan x1＋tan x2)>tan，
只需证>，
只需证>，
只需证>，
只需证明0由x1，x2∈，且x1≠x2，
可知0即[f(x1)＋f(x2)]>f
21．(本小题12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：
(1)求证：tan＝；
(2)设x∈R，a为非零常数，且f(x＋a)＝，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
解：(1)根据两角和的正切公式得tan＝＝＝，
即tan＝，命题得证．
(2)猜想f(x)是以4a为周期的周期函数．
因为f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝＝＝－，
所以f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]＝－＝f(x)．
所以f(x)是以4a为周期的周期函数．
22．(本小题12分)在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝.
(1)求a1，a2，a3；
(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
解：(1)S1＝a1＝，得a＝1，
∵an>0，∴a1＝1.
S2＝a1＋a2＝，得a＋2a2－1＝0，
∴a2＝－1，S3＝a1＋a2＋a3＝.
得a＋2a3－1＝0，∴a3＝－.
(2)猜想an＝－(n∈N*)．
证明如下：①n＝1时，a1＝－命题成立；
②假设n＝k时，ak＝－成立，
则n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－，
即ak＋1＝－
＝－.
∴a＋2ak＋1－1＝0.
∴ak＋1＝－.
即n＝k＋1时，命题也成立．
由①②知，an＝－对任意n∈N*都成立．
