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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(十二)”
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谢谢！课时跟踪检测（十二） 合情推理
一、题组对点训练
对点练一 数(式)中的归纳推理
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，且a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( )
A． B． C． D．
解析：选B 由a1＝1，S2＝22·a2＝a1＋a2得a2＝，
由a1＋a2＋a3＝9×a3得a3＝，
由a1＋a2＋a3＋a4＝42·a4得a4＝，…，
猜想an＝，故选B.
2．将正整数排列如下图：
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
…
则2 018出现在
A．第44行第81列 B．第45行第81列
C．第44行第82列 D．第45行第82列
解析：选D 由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因为442＝1 936，452＝2 025，且1 936<2 018<2 025，所以2 018在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2018－1 936＝82，故2 018在第45行第82列，选D.
3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是( )
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
解析：选B 观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n－1(n∈N*)项的和，其首项为n，右边是项数的平方，故第n个等式首项为n，共有2n－1项，右边是(2n－1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，故选B.
4．设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．
解：f(0)＋f(1)＝＋＝＋＝＋＝.
同理f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝.
由此猜想：当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝.
证明：设x1＋x2＝1，
则f(x1)＋f(x2)＝＋
＝
＝＝＝.
故猜想成立．
对点练二 归纳推理在几何中的应用
5．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )
A．白色 B．黑色
C．白色可能性大 D．黑色可能性大
解析：选A 由图，知三白二黑周期性排列，36＝5×7＋1，故第36颗珠子的颜色为白色．
6．如图所示，第n个图形是由正n＋2边形拓展而来(n＝1,2，…)，则第n－2个图形共有________个顶点．
解析：第一个图有3＋3×3＝4×3个顶点；
第二个图有4＋4×4＝5×4个顶点；
第三个图有5＋5×5＝6×5个顶点；
第四个图有6＋6×6＝7×6个顶点；
……；
第n个图有(n＋3)×(n＋2)个顶点．
第n－2个图有(n＋1)×n＝(n2＋n)个顶点．
答案：n2＋n
7．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮. 现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋的值．
解：(1)f(5)＝41.
(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
…
由上面规律，得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
因为f(n＋1)－f(n)＝4n?f(n＋1)＝f(n)＋4n?
f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)
＝…
＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4
＝2n2－2n＋1.
(3)当n≥2时，＝＝.
所以＋＋＋…＋
＝1＋×
＝1＋＝－.
对点练三 类比推理
8．已知{bn}为等比数列，b5＝2，且b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：选D 等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积)，得a1＋a2＋…＋a9＝2×9.
9．在平面中，△ABC的∠ACB的平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中，平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB交于E，则类比的结论为________．
解析：平面中的面积类比到空间为体积，故类比成.平面中的线段长类比到空间为面积，故类比成.故有＝.
答案：＝
10．在矩形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．
解：如图①，在矩形ABCD中，cos2α＋cos2 β＝2＋2＝＝＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，
则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，
证明如下：如图②，cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2＋2＋2＝＝＝1.
二、综合过关训练
1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 018的末两位数字为( )
A．01 B．43 C．07 D．49
解析：选D 因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401，75＝16 807,76＝117 649，…，
所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2 018＝4×504＋2，
所以72 018的末两位数字与72的末两位数字相同，为49.
2．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：
那么下列4个图形中，
可以表示A*D，A*C的分别是( )
A．(1)，(2) B．(1)，(3)
C．(2)，(4) D．(1)，(4)
解析：选C 由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是(2)，A*C是(4)．
3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378
解析：选C 记三角形数构成的数列为{an}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为an＝1＋2＋3＋…＋n＝.
同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2.
将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1 225.
4．将正偶数2,4,6,8，…按下表的方式进行排列，记aij表示第i行和第j列的数，若aij＝2 018，则i＋j的值为( )
第1 列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
2
4
6
8
第2行
16
14
12
10
第3行
18
20
22
24
第4行
32
30
28
26
第5行
34
36
38
40
…
…
…
…
…
…
A．257 B．256 C．255 D．254
解析：选C 由表所反映的信息来看，第n行的最大偶数为Sn＝8n(n∈N*)，则8(i－1)<2 018≤8i，由于i∈N*，解得i＝253；另一方面，奇数行的最大数位于第5列，偶数行的最大数位于第1列，第252行最大数为8×252＝2 016，此数位于第252行第1列，因此2 018位于第253行第2列，所以i＝253，j＝2，故i＋j＝253＋2＝255，故选C.
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，，成等比数列．
答案：
6．如图(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC.若类比该命题，如图(2)，三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有什么结论？命题是不是真命题．
解：命题是：三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有S＝S△BCM·S△BCD.此命题是一个真命题．
证明如下：
在图(2)中，延长DM交BC于E，
连接AE，则有DE⊥BC.
因为AD⊥平面ABC，
所以AD⊥AE.
又AM⊥DE，所以AE2＝EM·ED.
于是S＝2＝·＝S△BCM·S△BCD.
7．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N*，m≥2)．
(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；
(2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式；
(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；
(4)已知an＝9 900，问an是数列第几项？
解：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….
(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*.
(3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.
(4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，所以n＝98，即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列．
