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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(十三)”
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谢谢！课时跟踪检测（十三） 演绎推理
一、题组对点训练
对点练一 用三段论表示演绎推理
1．《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述理由用的是( )
A．合情推理 B．归纳推理
C．类比推理 D．演绎推理
解析：选D 由演绎推理定义知该推理为演绎推理，故选D.
2．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
答案：B
3．下面几种推理中是演绎推理的是( )
A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)
B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N*)
C．由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2
解析：选A A是演绎推理，B是归纳推理，C，D是类比推理.
对点练二 用三段论证明几何问题
4．有一段演绎推理是这样的：“若一直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b?平面α，直线a?平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析：选A “直线与平面平行”，不能得出“直线平行于平面内的所有直线”，即大前提错误．
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.
求证：AB⊥DE.
证明：在△ABD中，
∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，
∴BD＝＝2.
∴AB2＋BD2＝AD2.∴AB⊥BD.
又平面EBD⊥平面ABD，
平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD，
∴AB⊥平面EBD.
∵DE?平面EBD，∴AB⊥DE.
6．如图所示，三棱锥A-BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．求证：O为△BCD的垂心．
证明：如图，连接BO，CO，DO.
∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，∴AD⊥平面ABC.
又BC?平面ABC，∴AD⊥BC.
∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥BC，
又AD∩AO＝A，
∴BC⊥平面AOD，
∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，
∴O为△BCD的垂心．
对点练三 用三段论证明代数问题
7．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．是正确的
解析：选A 这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2＞0”．显然结论错误，原因是大前提错误．
8．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________．
解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；
小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52；
结论：△ABC是直角三角形．
答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
9．已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
解：(1)证明：因为x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
所以令x＝y＝0得，f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，
所以f(0)＝0.
令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)设x1，x2∈R，且x1＜x2，
f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，
因为当x＞0时，f(x)＜0，
所以f(x2－x1)＜0，
即f(x2)－f(x1)＜0，
所以f(x)为减函数，
所以f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．
因为f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，
f(－3)＝－f(3)＝6，
所以函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.
二、综合过关训练
1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由三角形的性质，推测四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出an的通项公式
解析：选A B项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理．
2．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)>0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f′(x)＝3x2>0恒成立，以上推理中( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．结论正确 D．推理形式错误
解析：选A f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)≥0恒成立，故大前提错误，选A.
3．若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是( )
A．直角梯形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
解析：选D 由＋＝0?AB∥CD，AB＝CD，由(－)·＝0?BD⊥AC，故选D.
4．设⊕是R内的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )
A．自然数集 B．整数集
C．有理数集 D．无理数集
解析：选C A错：因为自然数集对减法和除法不封闭；B错：因为整数集对除法不封闭；C对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．
5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________.
解析：由题意，知f(0)＝0，f(1)＝f(0)＝0，f(2)＝f(－1)＝0，f(3)＝f(－2)＝0，f(4)＝f(－3)＝0，f(5)＝f(－4)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
答案：0
6．关于函数f(x)＝lg(x≠0)，有下列命题：
①其图象关于y轴对称；
②当x＞0时，f(x)是增函数；当x＜0时，f(x)为减函数；
③f(x)的最小值是lg 2;
④当－1＜x＜0或x＞1时，f(x)是增函数；
⑤f(x)无最大值，也无最小值．
其中所有正确结论的序号是________．
解析：∵f(x)是偶函数，∴①正确；
当x＞0时，f(x)＝lg＝lg≥lg 2，
当且仅当x＝1时取等号，
∴0＜x＜1时，f(x)为减函数；
x＞1时，f(x)为增函数．x＝1时取得最小值lg 2.
又f(x)为偶函数，
∴－1＜x＜0时，f(x)为增函数；x＜－1时，f(x)为减函数．x＝－1时取得最小值lg 2.
∴③④也正确．
答案：①③④
7. 如图所示，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴转动．
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．
解：(1) 取AB中点E，连接DE，CE.(如图)
因为△ADB为等边三角形，
所以DE⊥AB.
又因为平面ADB⊥平面ABC，
且平面ADB∩平面ABC＝AB，
所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥EC.
由已知可得DE＝AB＝，EC＝1.
所以在Rt△DEC中，CD＝＝2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明如下：
①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，所以CD⊥AB.
②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.
又AC＝BC，所以AB⊥CE.
因为DE∩CE＝E，所以AB⊥平面DEC.
因为DC?平面DEC，所以AB⊥CD.
综上所述，当△ADB转动时，总有AB⊥CD.
8．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn；
(3)证明不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
解：(1)证明：因为an＋1＝4an－3n＋1，
所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.
又a1－1＝1，
所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.所以数列{an}的前n项和Sn＝＋.
(3)证明：对任意的n∈N*，Sn＋1－4Sn＝＋－4＝－(3n2＋n－4)≤0.所以不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
