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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(十四)”
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谢谢！课时跟踪检测（十四） 综合法和分析法
一、题组对点训练
对点练一 综合法的应用
1．在△ABC中，若sin Asin B＜cos Acos B，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：选C 由sin Asin B＜cos Acos B得cos Acos B－sin Asin B＞0，即cos(A＋B)＞0，－cos C＞0，cos C＜0，从而角C必为钝角，△ABC一定为钝角三角形．
2．设a>0，b>0且ab－(a＋b)≥1，则( )
A．a＋b≥2(＋1) B．a＋b≤＋1
C．a＋b≤(＋1)2 D．a＋b>2(＋1)
解析：选A 由条件知a＋b≤ab－1≤2－1，
令a＋b＝t，则t>0，且t ≤－1，解得t≥2＋2.
3．已知{an}是由正数组成的数列，a1＝1，且点(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求证：bn·bn＋2
解：(1)由已知得an＋1＝an＋1，
则an＋1－an＝1，又a1＝1，
所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．
故an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)证明：由(1)知，an＝n，从而bn＋1－bn＝2n.
bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.
因为bn·bn＋2－b＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2
＝(22n＋2－2n＋2－2n＋1)－(22n＋2－2·2n＋1＋1)＝－2n<0，
所以bn·bn＋2对点练二 分析法的应用
4. －<成立的充要条件是( )
A．ab(b－a)>0 B．ab>0且a>b
C．ab<0且a解析：选D －<，
?(－)3<()3，
?a－b－3＋3? < ，
?ab2?ab(b－a)<0.
5．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．
解析：用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.
由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
答案：a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0
6．已知a≥－，b≥－，a＋b＝1，求证：＋≤2.
证明：要证＋≤2，只需证2(a＋b)＋2＋2·≤8.
因为a＋b＝1，即证·≤2.
因为a≥－，b≥－，所以2a＋1≥0,2b＋1≥0，
所以·≤＝＝2.
即·≤2成立，因此原不等式成立．
对点练三 综合法与分析法的综合应用
7．设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.
证明：法一：要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立．
又因为a＋b＞0，所以只需证a2－ab＋b2＞ab成立．
即需证a2－2ab＋b2＞0成立，
即需证(a－b)2＞0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立．
由此命题得证．
法二：a≠b?a－b≠0?(a－b)2＞0?a2－2ab＋b2＞0?a2－ab＋b2＞ab.
因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)．
所以a3＋b3＞a2b＋ab2.
8．在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，则能使x，a，y成等差数列，若插入两个数b，c，则能使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．
证明：由已知条件得
消去x，y得2a＝＋，且a>0，b>0，c>0.
要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，
只需证a＋1≥
只需证a＋1≥，即证2a≥b＋c.
由于2a＝＋，只需证＋≥b＋c，
只需证b3＋c3＝(b＋c)(b2＋c2－bc)≥(b＋c)bc，
即证b2＋c2－bc≥bc，即证(b－c)2≥0.
因为上式显然成立，所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．
二、综合过关训练
1．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和?如下：
那么，d?(a⊕c)等于( )
A．a B．b
C．c D．d
解析：选A 由所给定义知a⊕c＝c，d?c＝a，
所以d?(a⊕c)＝d?c＝a.
2．设a，b，c，d∈R＋，若a＋d＝b＋c且|a－d|<|b－c|，则有( )
A．ad＝bc B．adC．ad>bc D．ad≤bc
解析：选C |a－d|<|b－c|?(a－d)2<(b－c)2?a2＋d2－2ad2bc?ad>bc.
3．设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)＞1，f(2)＝，则a的取值范围是( )
A．a＜ B．a＜，且a≠－1
C．a＞或a＜－1 D．－1＜a＜
解析：选D ∵f(x)以3为周期，
∴f(2)＝f(－1)．
又f(x)是R上的奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)，
则f(2)＝f(－1)＝－f(1)．
再由f(1)＞1，可得f(2)＜－1，
即＜－1，解得－1＜a＜.
4．在△ABC中，tan A·tan B>1，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：选A 因为tan A·tan B>1，所以角A，角B只能都是锐角，所以tan A>0，tan B>0,1－tan A·tan B<0，所以tan(A＋B)＝<0.所以A＋B是钝角，即角C为锐角．
5．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则log＝________.
解析：由条件知lg xy＝lg(x－2y)2，
所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，
即2－5＋4＝0，所以＝4或＝1.
又x＞2y，故＝4，所以log＝log4＝4.
答案：4
6．若a>b>c，n∈N*，且＋≥恒成立，则n的最大值为________．
解析：由a>b>c，得a－b>0，b－c>0，a－c>0，
要使＋≥恒成立．
只需＋≥n恒成立．
只需＋≥n恒成立．
显然2＋＋≥4(当且仅当b－c＝a－b时等号成立)．
所以只需n≤4成立，即n能取的最大值为4.
答案：4
7．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.
(1)求a2的值；
(2)证明数列是等差数列；
(3)若Tn是数列的前n项和，求证：Tn＜.
解：(1)当n＝1时，＝2a1＝a2－－1－＝2，
解得a2＝4.
(2)证明：2Sn＝nan＋1－n3－n2－n.①
当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)．②
①－②，得2an＝nan＋1－(n－1)an－n2－n.
整理得nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，
即＝＋1，－＝1，
当n＝1时，－＝2－1＝1.
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
(3)证明：由(2)可知＝n，即an＝n2.
∵＝＜＝－(n≥2)，
∴Tn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－＜.
8．设g(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)，其图象上任一点P(x，y)处切线的斜率为f(x)，且方程f(x)＝0的两根为α，β.
(1)若α＝β＋1，且β∈Z，求证f(－a)＝(a2－1)；
(2)若α，β∈(2,3)，求证存在整数k，使得|f(k)|≤.
证明：(1)由题意得f(x)＝g′(x)＝x2＋ax＋b，
所以
满足Δ>0，所以b＝(a2－1)．
所以f(－a)＝(－a)2＋a(－a)＋b＝b＝(a2－1)．
(2)因为α，β∈(2,3)，f(x)＝x2＋ax＋b＝(x－α)(x－β)，
所以|f(2)|·|f(3)|＝|(2－α)(2－β)|·|(3－α)(3－β)|
＝|(α－2)(3－α)|·|(β－2)(3－β)|
≤·2＝2，
故必有|f(2)|≤或|f(3)|≤.
所以存在整数k＝2或k＝3，使|f(k)|≤.
