[A 基础达标]
1.若曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5),则下列四点中在曲线C上的是( )
A.(0,0) B.
C.(1,5) D.(4,4)
解析：选D.显然点(0,0),都不在曲线C上；当x＝1时,y＝1,故点(1,5)也不在曲线C上.四个选项中只有选项D的点(4,4)在曲线C上.
2.方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的图形是( )
A.前后两者都是一条直线和一个圆
B.前后两者都是两个点
C.前者是一条直线和一个圆,后者是两个点
D.前者是两点,后者是一条直线和一个圆
解析：选C.x(x2＋y2－1)＝0?x＝0或x2＋y2＝1,表示直线x＝0和圆x2＋y2＝1.x2＋(x2＋y2－1)2＝0??表示点(0,1),(0,－1).
3.方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )
解析：选B.方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0,则x≤0,因此选B.
4.已知两点M(－2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足||·||＋·＝0,则动点P(x,y)的轨迹方程为( )
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.y2＝4x D.y2＝－4x
解析：选B.设点P的坐标为(x,y),则＝(4,0),＝(x＋2,y),＝(x－2,y),所以||＝4,||＝,·＝4(x－2).
根据已知条件得4＝4(2－x),整理得y2＝－8x.所以点P的轨迹方程为y2＝－8x.
5.已知A(－1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是( )
A.4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B.4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C.4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D.4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
解析：选B.由两点式,得直线AB的方程是＝,即4x－3y＋4＝0,线段AB的长度|AB|＝＝5.
设C的坐标为(x,y),
则×5×＝10,
即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
6.若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条直线的交点在方程x2＋y2＝9表示的曲线上,则k＝________.
解析：由得代入x2＋y2＝9得k＝±3.
答案：±3
7.在平面直角坐标系xOy中,若定点A(－1,2)与动点P(x,y)满足·＝3,则点P的轨迹方程为________________.
解析：由题意＝(x,y),＝(－1,2),则·＝－x＋2y.由·＝3,得－x＋2y＝3,即x－2y＋3＝0.
答案：x－2y＋3＝0
8.若等腰三角形底边的两个顶点是B(2,1),C(0,－3),则另一顶点A的轨迹方程是________.
解析：由题意,知另一顶点A在边BC的垂直平分线上.
又BC的中点为(1,－1),边BC所在直线的斜率kBC＝＝2,所以边BC的垂直平分线的斜率为－,垂直平分线的方程为y＋1＝－(x－1),即x＋2y＋1＝0.
又顶点A不在边BC上,所以x≠1.
故另一顶点A的轨迹方程是x＋2y＋1＝0(x≠1).
答案：x＋2y＋1＝0(x≠1)
9.在平面直角坐标系中,已知动点P(x,y),PM⊥y轴,垂足为M,点N与点P关于x轴对称,且·＝4,求动点P的轨迹方程.
解：由已知得M(0,y),N(x,－y),则＝(x,－2y),故·＝(x,y)·(x,－2y)＝x2－2y2,依题意知,x2－2y2＝4,因此动点P的轨迹方程为x2－2y2＝4.
10.已知圆C的方程为x2＋y2＝4,过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m,设m与y轴的交点为N,若向量＝＋,求动点Q的轨迹方程.
解：设点Q的坐标为(x,y),点M的坐标为(x0,y0)(y0≠0),则点N的坐标为(0,y0),因为＝＋,即(x,y)＝(x0,y0)＋(0,y0)＝(x0,2y0),则x0＝x,y0＝.
又点M在圆C上,所以x＋y＝4,即x2＋＝4(y≠0),所以动点Q的轨迹方程是＋＝1(y≠0).
[B 能力提升]
11.a,b为任意实数,若点(a,b)在曲线f(x,y)＝0上,则点(b,a)也在曲线f(x,y)＝0上,那么曲线f(x,y)＝0的几何特征是( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y＝x对称
解析：选D.由于点(a,b)和(b,a)关于直线y＝x对称,
所以f(x,y)＝0表示的曲线关于直线y＝x对称,故选D.
12.在平面直角坐标系中,O为原点,点A(1,0),B(2,2).若点C满足＝＋t(－),其中t∈R,则点C的轨迹方程为________.
解析：设点C(x,y),则＝(x,y),＋t(－)＝(1＋t,2t),所以消去参数t,得点C的轨迹方程为y＝2x－2.
答案：y＝2x－2
13.已知△ABC中,AB＝2,AC＝BC.
(1)求点C的轨迹；
(2)求△ABC的面积的最大值.
解：(1)以AB为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则A(－1,0),B(1,0),
设C(x,y),由AC＝BC,得(x＋1)2＋y2＝2[(x－1)2＋y2],即(x－3)2＋y2＝8,
又点C不在x轴上,
所以点C的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8(y≠0),
所以点C的轨迹是以(3,0)为圆心,半径为2的圆去掉点(3＋2,0)和(3－2,0)剩余的部分.
(2)由于AB＝2,
所以S△ABC＝×2×|y|＝|y|,
因为(x－3)2＋y2＝8,
所以|y|≤2,所以S△ABC≤2,
即△ABC的面积的最大值为2.
14.(选做题)如图所示,圆O1和圆O2的半径都等于1,|O1O2|＝4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM,PN(M,N为切点),使得|PM|＝|PN|.试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.
解：以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为x轴,O1O2的垂直平分线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,则O1(－2,0),O2(2,0).
由已知|PM|＝|PN|,
所以|PM|2＝2|PN|2.
又因为两圆的半径均为1,
所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1).
设P(x,y),则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1],
即(x－6)2＋y2＝33.
所以所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
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