[A 基础达标]
1.若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为3,则点P到另一焦点F2的距离为 ( )
A.6 B.7
C.8 D.9
解析：选B.根据椭圆的定义知,|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10,因为|PF1|＝3,所以|PF2|＝7.
2.若椭圆＋＝1的焦距为2,则m的值为( )
A.5 B.3
C.5或3 D.8
解析：选C.由题意得c＝1,a2＝b2＋c2.当m>4时,m＝4＋1＝5；当m<4时,4＝m＋1,所以m＝3.
3.如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是( )
A.a>3 B.a<－2
C.a>3或a<－2 D.a>3或－6
解析：选D.由a2>a＋6>0得所以所以a>3或－64.已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|＝2,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|,则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
解析：选B.由已知2c＝|F1F2|＝2,所以c＝.
因为2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4,
所以a＝2,所以b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
5.椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于( )
A.2 B.4
C.6 D.
解析：选B.设椭圆的另一个焦点为F2,因为椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2,即|MF1|＝2,
又|MF1|＋|MF2|＝2a＝10,所以|MF2|＝8.
因为N是MF1的中点,O是F1F2的中点,
所以|ON|＝|MF2|＝4.
6.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为__________.
解析：由已知2a＝8,2c＝2,
所以a＝4,c＝,
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上,
所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.
答案：＋x2＝1
7.已知椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点,则椭圆C的标准方程为____________.
解析：法一：依题意,可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0),且可知左焦点为F′(－2,0).
从而有解得
又a2＝b2＋c2,所以b2＝12,
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
法二：依题意,可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0),
则解得b2＝12或b2＝－3(舍去),
从而a2＝16.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8.椭圆的两焦点为F1(－4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,若△PF1F2的面积最大为12,则椭圆的标准方程为____________.
解析：如图,当P在y轴上时△PF1F2的面积最大,所以×8b＝12,所以b＝3.又因为c＝4,所以a2＝b2＋c2＝25.所以椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9.求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0),F2(4,0),并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；
(2)焦点分别为(0,－2),(0,2),经过点(4,3).
解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上,且c＝4,2a＝10,所以a＝5,b＝＝＝3,所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
法一：由椭圆的定义知2a＝＋＝12,解得a＝6.又c＝2,所以b＝＝4.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：因为所求椭圆过点(4,3),所以＋＝1.
又c2＝a2－b2＝4,可解得a2＝36,b2＝32,
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
10.已知B,C是两个定点,|BC|＝8,且△ABC的周长等于18,求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
解：以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy,如图所示.
由|BC|＝8,可知点B(－4,0),C(4,0).
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18,|BC|＝8,
得|AB|＋|AC|＝10.
因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10,c＝4,但点A不在x轴上.
由a＝5,c＝4,得b2＝a2－c2＝25－16＝9.
所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0).
[B 能力提升]
11.已知P为椭圆＋＝1上的一点,M,N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点,则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A.5 B.7
C.13 D.15
解析：选B.由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|＋|PF2|＝10,从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
12.(2019·汕头高二检测)设F1,F2为椭圆＋y2＝1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.因为线段PF1的中点在y轴上,所以PF2⊥x轴,|PF2|＝＝,|PF1|＝2a－|PF2|＝6－＝,所以＝.
13.如图所示,已知椭圆的两焦点为F1(－1,0),F2(1,0),P为椭圆上一点,且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点P在第二象限,∠F2F1P＝120°,求△PF1F2的面积.
解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0),焦距为2c,则由已知得c＝1,|F1F2|＝2,
所以4＝|PF1|＋|PF2|＝2a,所以a＝2,
所以b2＝a2－c2＝4－1＝3,
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)在△PF1F2中,|PF2|＝2a－|PF1|＝4－|PF1|.
由余弦定理,得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°,
即(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|,
所以|PF1|＝,
所以S△PF1F2＝|F1F2|·|PF1|·sin 120°＝×2××＝.
14.(选做题)设F1,F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,－1).
(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|·|PF2|的最大值；
(2)若C为椭圆上异于B的一点,且1＝λ 1,求λ的值；
(3)设P是该椭圆上的一个动点,求△PBF1的周长的最大值.
解：(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1,所以a＝2,b＝1,c＝,即|F1F2|＝2,
又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4,
所以|PF1|·|PF2|≤＝＝4,
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”,所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.
(2)设C(x0,y0),B(0,－1),F1(－,0),
由1＝λ 1,
得x0＝,y0＝－.
又＋y＝1,所以有λ2＋6λ－7＝0,
解得λ＝－7或λ＝1,C异于B点,故λ＝1舍去,所以λ＝－7.
(3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|,所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8,
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,△PBF1的周长最大,最大值为8.
课件38张PPT。第二章 圆锥曲线与方程按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束