[A 基础达标]
1．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的( )
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析：选D．两方程都表示椭圆，由方程，可知c2都为16，所以焦距2c相等．
2．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．x2＋＝1
解析：选A．依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝1.
3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选A．依题意，△BF1F2是正三角形，因为在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，所以cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝，故选A．
4．已知焦点在x轴上的椭圆：＋y2＝1，过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选A．椭圆的焦点坐标为(±，0)，不妨设A，可得＋＝1，解得a＝2，椭圆的离心率为e＝＝.故选A．
5．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率e的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选C．在△PF1F2中，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a，根据余弦定理，得(2c)2＝m2＋n2－2mncos 60°，配方得(m＋n)2－3mn＝4c2，
所以3mn＝4a2－4c2，
所以4a2－4c2＝3mn≤3·＝3a2，
即a2≤4c2，故e2＝≥，
解得≤e＜1.故选C．
6．若椭圆＋＝1的离心率为，则实数m＝________．
解析：若焦点在x轴上，则0
因为e＝，所以＝，所以＝，所以m＝.
若焦点在y轴上，则m>2，所以a2＝m，b2＝2，所以c2＝m－2.
因为e＝，所以＝，所以＝，所以m＝.
答案：或
7．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C的标准方程为________．
解析：由题意知a＋c＝3，a－c＝1，解得a＝2，c＝1，则b2＝3.又焦点在x轴上，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(－5，4)，则椭圆的方程为____________．
解析：因为e＝＝，所以＝＝，所以5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>0)，因为椭圆过点P(－5，4)，所以＋＝1.
解得a2＝45.所以椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．
解：设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由e＝知＝，故＝，从而＝，＝.由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，所以b2＝8.
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点是A(a，0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．
解：设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是＋y2＝.
所以y2＝ax－x2.①
又P点在椭圆上，故＋＝1.②
把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，即(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，因为x≠a，x≠0，所以x＝，又0即2b2.
又因为0[B 能力提升]
11．(2019·郑州高二检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选A．以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，所以＝a，即2b＝，
所以a2＝3b2，因为a2＝b2＋c2，
所以＝，所以e＝＝.
12．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的三个顶点B1(0，－b)，B2(0，b)，A(a，0)和焦点F(c，0)，且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为____________．
解析：直线B1F的斜率为kB1F＝，直线AB2的斜率为kAB2＝－.
因为B1F⊥AB2，所以kB1F·kAB2＝－1，即－＝－1，所以＝1，
所以－＝1，即－e＝1，
所以e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝.
因为0所以椭圆的离心率为.
答案：
13．已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0)．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)对于x轴上的点P(t，0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．
解：(1)由题意可得，c＝1，a＝2，所以b＝.
所以所求椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)设M(x0，y0)(x0≠±2)，则＋＝1.①
＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
由MP⊥MH可得·＝0，
即(t－x0)(2－x0)＋y＝0.②
由①②消去y0，
整理得t(2－x0)＝－x＋2x0－3.
因为x0≠2，所以t＝x0－.
因为－2＜x0＜2，
所以－2＜t＜－1，
所以实数t的取值范围为(－2，－1)．
14．(选做题)如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题意知A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)．
其中c＝，设B(x，y)．
由＝2?(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B.
将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，
解得a2＝3c2.①
又由·＝(－c，－b)·＝
?b2－c2＝1，
即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1.
课件35张PPT。第二章 圆锥曲线与方程第二章 圆锥曲线与方程椭圆的简单几何性质利用几何性质求椭圆的标准方程求椭圆的离心率按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束
[A 基础达标]
1．过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点F(c，0)的弦中最短弦长是( )
A． B．
C． D．
解析：选A．最短弦是过焦点F(c，0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦．将点(c，y)的坐标代入椭圆＋＝1，得y＝±，故最短弦长是.
2．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是( )
A．
B．
C．∪
D．∪
解析：选C．由得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)>0，即k>或k<－时，直线和椭圆有两个公共点．故选C．
3．(2019·安庆高二检测)已知椭圆C：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为( )
A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0
C．4x＋2y－3＝0 D．4x－2y－1＝0
解析：选B．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为点A，B在椭圆上，所以＋x＝1，①
＋x＝1.②
①－②，得＋(x1＋x2)(x1－x2)＝0.③
因为P是线段AB的中点，
所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，
代入③得＝－9，即直线AB的斜率为－9.
故直线AB的方程为y－＝－9，
整理得9x＋y－5＝0.
4．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为( )
A．1 B．－1
C．－ D．以上都不对
解析：选C．设＝k，则y＝k(x－2)．
由消去y，整理得
(k2＋4)x2－4k2x2＋4(k2－1)＝0，
Δ＝16k4－4×4(k2－1)(k2＋4)＝0，
解得k＝±，所以kmin＝－.选C．
5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝( )
A． B．2
C． D．3
解析：选A．设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1，知a2＝2，b2＝1，
所以c2＝1，即c＝1，所以右焦点F(1，0)．
由＝3，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
所以1＝3(x0－1)且n＝3y0.所以x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得×＋＝1.
解得n2＝1，
所以||＝ ＝＝.
6．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝________．
解析：因为|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|＝＝，
所以|PF2|＝4－＝.
答案：
7．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为__________．
解析：将椭圆与直线方程联立：
解得交点A(0，－2)，B.设右焦点为F，
则S△OAB＝·|OF|·|y1－y2|＝×1×＝.
答案：
8．已知椭圆的方程为＋＝1(m＞0)．如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为________．
解析：焦点在x轴上，由题意知，M.
又因为点M在y＝x上，
所以＝ ，解得m＝2，
所以e＝＝＝.
答案：
9．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0，4)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0，4)代入C的方程得＝1，所以b＝4.
又e＝＝，得＝，即1－＝，所以a＝5，
所以C的方程为＋＝1.
(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＋x2＝3，所以AB的中点坐标x0＝＝，y0＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中点坐标为.
10．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求m的取值范围．
解：(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意知a＝2，b＝c，
又a2＝b2＋c2，
则b＝，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，
得
则(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，
Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0.
由根与系数的关系知，
又由＝2，
即(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，
得－x1＝2x2，故
可得＝－2，
整理得(9m2－4)k2＝8－2m2，
又9m2－4＝0时不符合题意，
所以k2＝>0，
解得0，
解不等式得所以m的取值范围为∪.
[B 能力提升]
11．已知动直线y＝k(x＋1)与椭圆C：x2＋3y2＝5相交于A，B两点，点M的坐标为，则·的值是( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选D．将y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5中得(1＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－5＝0，
所以Δ＝36k4－4(3k2＋1)(3k2－5)＝48k2＋20＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以·＝·
＝＋y1y2
＝＋k2(x1＋1)(x2＋1)
＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋k2
＝(1＋k2)＋＋＋k2
＝＋＋k2＝.
故选D．
12．F1，F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e＝__________．
解析：易知圆F2的半径为c，又直线MF1恰与圆F2相切，所以∠F1MF2是直角，
因为|F1F2|＝2c，|MF2|＝c，|F1M|＝2a－c，
所以在直角三角形F1MF2中，有(2a－c)2＋c2＝4c2，化简得c2＋2ac－2a2＝0，
即＋2－2＝0，
所以e＝＝－1或e＝＝－－1(舍去)．
答案：－1
13．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
解：(1)根据c＝及题设知M，＝，
2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，
解得＝或＝－2(舍去)，故C的离心率为.
(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，
所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，
故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则
即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及c＝代入②得＋＝1，
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.
14．(选做题)在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.
(1)写出C的方程；
(2)设直线y＝kx＋1与C交于A，B两点，k为何值时⊥？此时|AB|的值是多少？
解：(1)设P(x，y)，由椭圆的定义可知，
点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴长为2的椭圆．
它的短半轴长b＝ ＝1，
故曲线C的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足
消去y，并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝－.
因为⊥，所以x1x2＋y1y2＝0.
因为y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝＝0.
所以k＝±.
当k＝±时，x1＋x2＝±，x1x2＝－.
|AB|＝＝，
而(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝＋4×＝，
所以|AB|＝＝.
课件37张PPT。第二章 圆锥曲线与方程第二章 圆锥曲线与方程直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的相交弦问题与椭圆有关的最值或范围问题按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束 