[学生用书P139(单独成册)]
[A 基础达标]
1．已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．－2
解析：选A.因为p＝a－b＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0，3，1)，所以p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A.
2．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B.设BC边的中点为D，
则＝(＋)＝(－1，－2，2)，
所以||＝＝3.
3．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x的值为( )
A．2 B．－2
C．0 D．1
解析：选A.因为c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，
所以(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝2－2x＝－2.
所以x＝2.
4．若△ABC中，∠C＝90°，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(4，0，－2k)，则k的值为( )
A. B．－
C．2 D．±
解析：选D.＝(－6，1，2k)，＝(－3，2，－k)，
则·＝(－6)×(－3)＋2＋2k×(－k)
＝－2k2＋20＝0，
所以k＝±.
5．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选C.a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝＝，所以cos〈a，c〉＝＝－，所以〈a，c〉＝120°.
6．已知点A(－1，3，1)，B(－1，3，4)，若＝2，则点P的坐标是________．
解析：设点P(x，y，z)，则由＝2，得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，
则解得即P(－1，3，3)．
答案：(－1，3，3)
7．已知点A(λ＋1，μ－1，3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＝________，μ＝________．
解析：因为＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，＝(2，－2，6)，由A，B，C三点共线，得∥，即＝－＝，解得λ＝0，μ＝0.
答案：0 0
8．若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
解析：a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝＜0，又|a|＞0，|b|＞0，所以a·b＜0，即2x＋4＜0，所以x＜－2.又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
9．已知向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与向量b＋c所成角的余弦值．
解：(1)因为a∥b，
所以＝＝，
解得x＝2，y＝－4，
此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)．
又由b⊥c得b·c＝0，
故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，
得z＝2，此时c＝(3，－2，2)．
(2)由(1)得，
a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，
因此向量a＋c与向量b＋c所成角θ的余弦值为
cos θ＝＝－.
10．已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3，－1，2)，B(1，2，－1)，C(－1，1，－3)，D(3，－5，3)，求证：四边形ABCD是一个梯形．
证明：因为＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)，
＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)，
且＝＝，所以与共线．
又因为AB与CD不共线，所以AB∥CD.
又因为＝(3，－5，3)－(3，－1，2)＝(0，－4，1)，
＝(－1，1，－3)－(1，2，－1)＝(－2，－1，－2)，
且≠≠，所以与不平行．
所以四边形ABCD为梯形．
[B 能力提升]
11．从点P(1，2，3)出发，沿着向量v＝(－4，－1，8)方向取点Q，使|PQ|＝18，则Q点的坐标为( )
A．(－7，0，19)
B．(9，4，－13)
C．(－7，0，19)或(9，4，－13)
D．(－1，－2，3)或(1，－2，－3)
解析：选C.设Q(x0，y0，z0)，则＝λv，即
(x0－1，y0－2，z0－3)＝λ(－4，－1，8)．
由|PQ|＝18得 ＝18，
所以λ＝±2，
所以(x0－1，y0－2，z0－3)＝±2(－4，－1，8)，
所以或
12．已知O为坐标原点，＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为( )
A. B．
C. D．
解析：选C.设＝λ，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2[3(λ－)2－]．
所以当λ＝时，·取得最小值，此时＝＝(，，)，即点Q的坐标为(，，)．
13．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．
(1)求分别以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)若向量a与向量，均垂直，且|a|＝，求向量a的坐标．
解：(1)因为＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，
所以||＝＝，
||＝＝，
所以cos∠BAC＝＝，
所以S＝||||sin ∠BAC＝7.
(2)设a＝(x，y，z)，
则a⊥?－2x－y＋3z＝0，a⊥?x－3y＋2z＝0，
|a|＝?x2＋y2＋z2＝3，
解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，
所以a＝(1，1，1)或(－1，－1，－1)．
14．(选做题)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°.设AB＝AP，在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．
解：因为PA⊥平面ABCD，且AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD.
又AB⊥AD，所以AP，AB，AD两两垂直．
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．连接GB，GC，GP，
设AB＝AP＝t，则B(t，0，0)，G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，P(0，0，t)，D(0，4－t，0)．
因为∠CDA＝45°，所以C(1，3－t，0)．
所以＝(1，3－t－m，0)，＝(0，4－t－m，0)，＝(0，－m，t)．
由||＝||，得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，
即t＝3－m.①
由||＝||，得(4－t－m)2＝m2＋t2.②
由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0.③
由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．
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