[学生用书P141(单独成册)]
[A 基础达标]
1．若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A．(0，－3，1) B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)
解析：选D.问题即求与n共线的一个向量．即n＝(2，－3，1)＝－(－2，3，－1)．
2．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个法向量是( )
A．(1，1，－1) B．(1，－1，1)
C．(－1，1，1) D．(－1，－1，－1)
解析：选D.＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)．设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有
取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)．
3．若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直
D．α∥β或α与β重合
解析：选D.因为n＝－3m，所以m∥n，所以α∥β或α与β重合．
4．已知平面α内有一点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1，1) B．
C. D．
解析：选B.要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直，
即·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．
对于选项A，＝(1，0，1)，
则·n＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A；
对于选项B，＝，
则·n＝·(3，1，2)＝0，故B正确；
同理可排除C，D.故选B.
5．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为( )
A．1∶2
B．1∶1
C．3∶1
D．2∶1
解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为1，PA＝a，则B(1，0，0)，E，P(0，0，a)．
设点F的坐标为(0，y，0)，
则＝(－1，y，0)，＝.
因为BF⊥PE，
所以·＝0，
解得y＝，即点F的坐标为，
所以F为AD的中点，
所以AF∶FD＝1∶1.
6．已知平面α的一个法向量a＝(x，1，－2)，平面β的一个法向量b＝，若α⊥β，则x－y＝________．
解析：因为α⊥β，所以a⊥b，所以－x＋y－1＝0，得x－y＝－1.
答案：－1
7．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的一个法向量．其中正确的是________(填序号)．
解析：·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则⊥，则AB⊥AP.·＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则⊥，则AP⊥AD.又AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量．
答案：①②③
8．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则＝________．
解析：因为⊥，所以·＝0，
所以3＋5－2z＝0，
所以z＝4.
因为＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，
所以
即解得
故＝.
答案：
9.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点．求证：
(1)平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)C1F∥平面ABE.
证明：如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝a，AB＝b，BB1＝c，则B(0，0，0)，A(0，b，0)，C1(a，0，c)，F，E.
(1)＝(0，－b，0)，＝.
设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝2，则y＝0，z＝－，即n＝.
又平面B1BCC1的一个法向量为n1＝(0，1，0)．
因为n1·n＝2×0＋0×1＋×0＝0，
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)＝，且n·＝0，
所以∥平面ABE.
又因为C1F?平面ABE.
所以C1F∥平面ABE.
10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：
(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.
证明：由题意得，DA，DC，DP两两垂直，所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设DC＝PD＝1，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，D(0，0，0)，B(1，1，0)，E.
所以＝(1，1，－1)，
＝，
＝，设F(x，y，z)，
则＝(x，y，z－1)，
＝.
因为⊥，
所以x＋－＝0，
即x＋y－z＝0. ①
又因为∥，可设＝λ，
所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ. ②
由①②可知，x＝，y＝，z＝，
所以＝.
(1)设n1＝(x1，y1，z1)为平面EDB的法向量，
则有即
所以取z1＝－1，
则n1＝(－1，1，－1)．
因为＝(1，0，－1)，所以PA·n1＝0.
又因为PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.
(2)设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的法向量，
则有即
所以取z2＝1，则n2＝(－1，－1，1)．
所以∥n2，所以PB⊥平面EFD.
[B 能力提升]
11.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
解析：选B.建系如图，设正方体的棱长为2，则A(2，2，2)，A1(2，2，0)，C(0，0，2)，B(2，0，2)，所以M(2，1，1)，N(1，1，2)，所以＝(－1，0，1)．
又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0，1，0)，
因为·n＝－1×0＋0×1＋1×0＝0，
所以⊥n，又因为MN?平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C.故选B.
12．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是棱AB，BC的中点．求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.
证明：由题意得，DA，DC，DD1两两垂直，所以以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，
由题意，知D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，4)，E(2，，0)，F(，2，0)，
则＝(0，－，－4)，＝(－，，0)．设平面B1EF的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝－y－4z＝0，n·＝－x＋y＝0，得x＝y，z＝－y，
令y＝1，得n＝.
又平面BDD1B1的一个法向量为＝(－2，2，0)，
而n·＝1×(－2)＋1×2＋×0＝0，
即n⊥，所以平面B1EF⊥平面BDD1B1.
13．(选做题)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD 成30°角．
(1)求证：CM∥平面PAD；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.
证明：
由题意得CB，CD，CP两两垂直，所以以点C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，因为PC⊥平面ABCD，所以∠PBC为PB与平面ABCD 所成的角，所以∠PBC＝30°.
因为PC＝2，所以BC＝2，PB＝4.
所以D(0，1，0)，B(2，0，0)，A(2，4，0)，P(0，0，2)，M.
所以＝(0，－1，2)，＝(2，3，0)，＝.
(1)令n＝(x，y，z)为平面PAD的法向量，
则即所以
令y＝2，得n＝(－，2，1)．
因为n·＝－×＋2×0＋1×＝0，
所以n⊥，又CM?平面PAD，
所以CM∥平面PAD.
(2)取AP的中点E，则E(，2，1)，＝(－，2，1)．
因为PB＝AB，所以BE⊥PA.
又因为·＝(－，2，1)·(2，3，0)＝0.
所以⊥，所以BE⊥DA，
又因为PA∩DA＝A，
所以BE⊥平面PAD，
又因为BE?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD.
课件50张PPT。第三章 空间向量与立体几何第三章 空间向量与立体几何平行或共线按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束 [学生用书P143(单独成册)]
[A 基础达标]
1．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1，l2所成角的余弦值为( )
A．－ B．
C．－ D．
答案：B
2．(2019·衡水检测)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是( )
A. B．
C. D．
解析：选C.如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz.由于AB＝BC＝AA1，不妨取AB＝2，则B(0，0，0)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，C1(2，0，2)．所以＝(0，－1，1)，＝(2，0，2)，所以cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线EF和BC1的夹角为，故选C.
3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A. B．
C. D．
解析：选D.
如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，所以＝(－2，0，1)．连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，所以平面BB1D1D的一个法向量为a＝＝(－2，2，0)．
所以所求角的正弦值为|cos〈a，〉|＝＝＝.
4.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是( )
A．120° B．45°
C．150° D．60°
解析：选B.以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则E(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，＝(1，0，－1)，
＝(1，1，－1)．
设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则有
可取n＝(1，0，1)．
又平面EAD的一个法向量为＝(1，0，0)，所以cos〈n，〉＝＝，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.
5．如图所示，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C-BF-D的正切值为( )
A. B．
C. D．
解析：选D.如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.因为底面ABCD为菱形，所以OB⊥OC，O为AC的中点，又F是PC的中点，所以OF∥AP，所以OF⊥平面ABCD，所以OB，OC，OF两两垂直．以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.
设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，所以O(0，0，0)，B(，0，0)，F(0，0，)，C(0，，0)，＝(0，，0)，易知为平面BDF的一个法向量，由＝(－，，0)，＝(，0，－)，可得平面BCF的一个法向量为n＝(1，，)．所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，所以tan〈n，〉＝.故二面角C-BF-D的正切值为.
6．(2019·扬州检测)如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，若异面直线EF与BD所成的角为α，则cos α＝________．
解析：设正方形ABCD的边长为2，由题意得AB，AD，AP两两垂直．以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2，0，0)，D(0，2，0)，E(0，0，1)，F(1，2，0)，则＝(－2，2，0)，＝(1，2，－1)，所以cosα＝＝＝.
答案：
7．如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________．
解析：取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
设BC＝1，则A，B，C，
D，所以＝，＝，＝.
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则
所以取x＝1，则y＝－，z＝1，
所以n＝(1，－，1)，
所以cos〈n，〉＝，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.
答案：
8．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．
解析：由题意得＝(－1，2，0)，＝(－1，0，3)．
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．
由知
令x＝2，得y＝1，z＝，则平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，)．平面xOy的一个法向量为＝(0，0，3)．
由此易求出所求锐二面角的余弦值为＝.
答案：
9.如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA＝90°，点F1是A1C1的中点，BC＝CA＝2，CC1＝1.
(1)求异面直线AF1与CB1所成角的余弦值；
(2)求直线AF1与平面BCC1B1所成的角．
解：(1)
如图所示，分别以射线CA，CB，CC1为x，y，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，由BC＝CA＝2，CC1＝1，
得A(2，0，0)，B(0，2，0)，
C1(0，0，1)，A1(2，0，1)，B1(0，2，1)．
因为F1为A1C1的中点，
所以F1(1，0，1)．
所以＝(0，2，1)，＝(－1，0，1)．
所以cos〈，〉＝
＝＝，
即异面直线AF1与CB1所成角的余弦值为.
(2)因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
BB1⊥平面ABC，AC?平面ABC，
所以BB1⊥AC，
因为∠BCA＝90°，所以BC⊥AC，
因为BC∩BB1＝B，BC，BB1?平面BCC1B1，
所以AC⊥平面BCC1B1，
所以＝(2，0，0)是平面BCC1B1的一个法向量．
设直线AF1与平面BCC1B1所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈，〉|＝＝，
所以θ＝，
所以直线AF1与平面BCC1B1所成的角为.
10.如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，求二面角A-PB-C的余弦值．
解：如图建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，
＝(0，0，1)，＝(，1，0)，
＝(，0，0)，＝(0，－1，1)．
设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，
则解得
令x＝1，则m＝(1，－，0)．
设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，
则解得令y′＝－1，
则n＝(0，－1，－1)，
所以cos〈m，n〉＝＝.
故二面角A-PB-C的余弦值为.
[B 能力提升]
11．如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE，AB＝AE，DB＝DE，∠BAE＝∠BDE＝90°.
(1)求异面直线AB与DE所成角的大小；
(2)求二面角B-AE-C的平面角的余弦值．
解：(1)设O是BE的中点， 连接AO、DO，
由AB＝AE，DB＝DE，得AO⊥BE，DO⊥BE，
因为平面ABE⊥平面BCDE，AO?平面ABE，
平面ABE∩平面BCDE＝BE，AO⊥BE，
所以AO⊥平面BCDE，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
不妨设OA＝a，则A(0，0，a)，B(0，－a，0)，C(a，－2a，0)，D(a，0，0)，E(0，a，0)，
所以＝(0，－a，－a)，＝(－a，a，0)．
因此cos〈，〉＝＝＝－，
所以异面直线AB与DE所成的角为60°.
(2)设平面ACE的法向量为n1＝(x，y，z)．
因为＝(0，a，－a)，＝(a，－3a，0)，
所以
取y＝1，得x＝3，z＝1，
所以n1＝(3，1，1)．
又易知平面ABE的一个法向量为n2＝(1，0，0)，
因此cos〈n1，n2〉＝＝＝，
设二面角B-AE-C的平面角为θ，
由图形知θ是锐角，则cos θ＝，
因此二面角B-AE-C的平面角的余弦值为.
12.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.
(1)证明：PC⊥AD；
(2)求二面角A-PC-D的正弦值；
(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．
解：
如图，以点A为坐标原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，D(2，0，0)，C(0，1，0)，B，P(0，0，2)．
(1)证明：易得＝(0，1，－2)，＝(2，0，0)，
则·＝0，所以PC⊥AD.
(2)易得＝(0，1，－2)，＝(2，－1，0)．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)．
由得
令z＝1，可得n＝(1，2，1)．
又＝(2，0，0)是平面PAC的一个法向量，
所以cos〈，n〉＝＝，
从而sin〈，n〉＝.
所以二面角A-PC-D的正弦值为.
(3)易得＝(2，－1，0)．
设AE＝h，h∈[0，2]，则E(0，0，h)，
所以＝.
所以cos〈，〉＝＝＝，
解得h＝，即AE＝.
13．(选做题)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2.
(1)求证：EG∥平面ADF；
(2)求二面角O-EF-C的正弦值；
(3)设H为线段AF上的点，且AH＝HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．
解：依题意，OF⊥平面ABCD，如图，以O为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
依题意可得O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(－1，－1，0)，C(1，－1，0)，D(1，1，0)，E(－1，－1，2)，F(0，0，2)，G(－1，0，0)．
(1)证明：依题意，＝(2，0，0)，＝(1，－1，2)．设n1＝(x，y，z)为平面ADF的法向量，
则即不妨设z＝1，可得n1＝(0，2，1)．又＝(0，1，－2)，可得·n1＝0，又直线EG?平面ADF，所以EG∥平面ADF.
(2)易证，＝(－1，1，0)为平面OEF的一个法向量．依题意，＝(1，1，0)，＝(－1，1，2)．
设n2＝(x′，y′，z′)为平面CEF的法向量，则即不妨设x′＝1，可得n2＝(1，－1，1)．
因此有cos〈，n2〉＝＝－，
于是sin〈，n2〉＝.
所以二面角O-EF-C的正弦值为.
(3)由AH＝HF，得AH＝AF.因为＝(1，－1，2)，所以＝＝，进而有H，从而＝，
因此cos〈，n2〉＝＝－.
所以直线BH和平面CEF所成角的正弦值为.
课件53张PPT。第三章 空间向量与立体几何第三章 空间向量与立体几何按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束 [学生用书P145(单独成册)]
[A 基础达标]
1．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是面A1B1C1D1，面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为( )
A．1 B．
C. D．
解析：选C.以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点E(1，1，)，F，所以||＝＝，故选C.
2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到α的距离为( )
A．10 B．3
C. D．
解析：选D.由已知得＝(1，2，－4)，故点P到平面α的距离d＝＝＝.
3．已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A. B．
C. D．
解析：选B.建立空间直角坐标系如图所示，
则＝(0，2，0)，＝(0，1，2)，
设∠ABE＝θ，则cos θ＝＝＝，
sin θ＝＝.
故A到直线BE的距离
d＝||sin θ＝2×＝.
4．如图，已知长方体ABCD -A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( )
A．5 B．8
C. D．
解析：选C.以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0，12，0)，D1(0，0，5)．设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0)．
设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，由n⊥，n⊥，得n·＝(a，b，c)·(－x，0，0)＝－ax＝0，
n·＝(a，b，c)·(0，－12，5)＝－12b＋5c＝0，
所以a＝0，b＝c，所以可取n＝(0，5，12)．
又＝(0，0，－5)，所以点B1到平面A1BCD1的距离为＝.
因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为.
5．正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为( )
A. B．
C. D．
解析：
选B.以，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，
＝＝，
平面ABC1D1的一个法向量＝(1，0，1)，则点O到平面ABC1D1的距离
d＝＝＝.故选B.
6．在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
解析：因为BC∥AD，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC，所以AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．由已知可知AB，AD，AP两两垂直．
以A为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，则＝(2，0，－2)，＝(0，2，0)．
设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，
则即
取a＝1，得n＝(1，0，1)，又＝(2，0，0)，
所以AD到平面PBC的距离d＝＝.
答案：
7．如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________．
解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1)，于是有＝(1，－1，－1)，＝(0，－2，1)，所以＝＝，||＝，所以点D1到直线GF的距离为 ＝.
答案：
8．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则平面A1BD与平面B1CD1间的距离为________．
解析：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，0)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
所以
令z＝1，得y＝1，x＝－1，所以n＝(－1，1，1)．
所以点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.
因为平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离．
所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.
答案：
9．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．
(1)求点M到直线AC1的距离；
(2)求点N到平面MA1C1的距离．
解：
(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，直线AC1的一个单位方向向量为s0＝，＝(2，0，1)，故点M到直线AC1的距离d＝＝＝.
(2)设平面MA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0且n·＝0，即(x，y，z)·(0，2，0)＝0且(x，y，z)·(2，0，－1)＝0，即y＝0且2x－z＝0，取x＝1，得z＝2，故n＝(1，0，2)为平面MA1C1的一个法向量，与n同向的单位向量为n0＝.因为N(1，1，0)，所以＝(－1，1，－1)，故点N到平面MA1C1的距离d＝|·n0|＝.
10.
如图所示，已知边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为BC和AC的中点，PA⊥平面ABC，且PA＝2，设平面α过PF且与AE平行，求AE与平面α的距离．
解：设，，的单位向量分别为e1，e2，e3，选取{e1，e2，e3}作为空间向量的一组基底，可得
e1·e2＝e2·e3＝e3·e1＝0，＝2e1，
＝2e2，＝2e3.
＝＋＝＋
＝＋(＋)＝－2e1＋e2＋e3，
设n＝xe1＋ye2＋e3是平面α的一个法向量，
则n⊥，n⊥，
所以
即
解得
所以n＝e1＋e3，
所以直线AE与平面α的距离为
d＝＝＝.
[B 能力提升]
11.如图，ABCD-EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，则P到AB的距离为( )
A. B．
C. D．
解析：选C.
如图，分别以AB、AD、AE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，、、可作为x、y、z轴方向上的单位向量，
因为＝＋＋，
所以＝，
＝(1，0，0)，＝，
所以P点到AB的距离
d＝
＝ ＝.
12．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．
解析：法一：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A，B(0，1，0)，
B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，
则＝，＝(0，1，0)，＝(0，1，－1)．设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，1)，则有
解得n＝，
则所求距离为＝＝.
法二：连接AB1，VB1-ABC1＝VA -BB1C1，VA -BB1C1＝S△BB1C1×AB＝.设点B1到平面ABC1的距离为h，则VB1-ABC1＝S△ABC 1·h，S△ABC1＝AB×＝，所以h＝.
答案：
13.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．
(1)求证：DA1⊥ED1；
(2)若直线DA1与平面CED1所成角为45°，求的值；
(3)写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置(结论不要求证明)．
解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，设E(1，m，0)(0≤m≤1)．
(1)证明：＝(1，0，1)，＝(－1，－m，1)，
·＝1×(－1)＋0×(－m)＋1×1＝0.
所以DA1⊥ED1.
(2)设平面CED1的法向量为v＝(x，y，z)，则
而＝(0，－1，1)，＝(1，m－1，0)，
所以取z＝1，得y＝1，x＝1－m，
得v＝(1－m，1，1)，
因为直线DA1与平面CED1所成角为45°，
所以sin 45°＝|cos〈，v〉|，
所以＝，
所以＝，
解得m＝，所以E点为，所以的值为.
(3)点E到直线D1C距离的最大值为，此时点E在A点处．
14．(选做题)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∠ABC＝90°，如图①把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD(如图②)．
(1)求证：CD⊥AB；
(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离；
(3)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
解：(1)证明：由已知条件可得BD＝2，CD＝2，CD⊥BD.因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，又因为AB?平面ABD，所以CD⊥AB.
(2)以点D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图，由已知可得A(1，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，1，0)，
所以＝(0，－2，0)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，1，0)．
设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)，
则⊥n，⊥n，
所以
令x＝1，得平面ACD的一个法向量为n＝(1，0，－1)，
所以点M到平面ACD的距离d＝＝.
(3)假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°，设＝λ，0≤λ≤1，则N(2－2λ，2λ，0)，所以＝(1－2λ，2λ，－1)，又因为平面ACD的一个法向量n＝(1，0，－1)，且直线AN与平面ACD所成的角为60°，所以sin 60°＝＝，可得8λ2＋2λ－1＝0，
所以λ＝或λ＝－(舍去)．
综上，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成角为60°，此时＝.
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