课件52张PPT。第三章 空间向量与立体几何按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束 [学生用书P147(单独成册)]
[A 基础达标]
1．已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则a·(a＋3b)＝( )
A．(0，34，10) B．(－3，19，7)
C．44 D．23
解析：选C.a＋3b＝(－3，2，5)＋3(1，5，－1)＝(0，17，2)，则a·(a＋3b)＝(－3，2，5)·(0，17，2)＝0＋34＋10＝44.
2．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M在AC上，且AM＝MC，点N在A1D上，且A1N＝2ND.设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．－a＋b＋c
B．a＋b－c
C.a－b－c
D．－a＋b＋c
解析：选A.因为M在AC上，且AM＝MC，N在A1D上，且A1N＝2ND，所以＝，＝.又ABCD-A1B1C1D1为平行六面体，且＝a，＝b，＝c，所以＝a＋b，＝b－c，所以＝＋＋＝－＋＋＝－(a＋b)＋c＋(b－c)＝－a＋b＋c.
3.如图所示，在几何体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD中点，则AE的长为 ( )
A. B．
C．2 D．
解析：选B.＝＋＋，
因为||＝||＝1＝||，
且·＝·＝·＝0.
又因为2＝(＋＋)2，
所以2＝3，所以AE的长为.故选B.
4．如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角是( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析：选B.由题意知PA，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，，，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1，则P(0，0，1)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，＝(1，0，－1)，＝(1，1，0)．设PB与AC所成的角为α，则cos α＝＝，所以α＝60°.
5．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，D为AA1上一点．若二面角B1-DC-C1的大小为60°，则AD的长为( )
A. B．
C．2 D．
解析：选A.如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则C(0，0，0)，B1(0，2，2)．设AD＝a(0≤a≤2)，则点D的坐标为(1，0，a)，＝(1，0，a)，＝(0，2，2)．
设平面B1CD的法向量为m＝(x，y，z)，则?令z＝－1，得m＝(a，1，－1)．又平面C1DC的一个法向量为(0，1，0)，记为n，则由cos 60°＝，得＝，即a＝，故AD＝.故选A.
6．已知向量e1，e2，e3是三个不共面的非零向量，且a＝2e1－e2＋e3，b＝－e1＋4e2－2e3，c＝11e1＋5e2＋λe3，若向量a，b，c共面，则λ＝________．
解析：因为a，b，c共面，所以存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，则11e1＋5e2＋λe3＝(2m－n)e1＋(－m＋4n)e2＋(m－2n)e3，则解得
答案：1
7．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则点B与点D之间的距离为________．
解析：过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N，则BM⊥MN，ND⊥MN，BM⊥ND，则AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1.由于＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝＋12＋＋2(0＋0＋0)＝，故||＝.
答案：
8．(2019·温州高二检测)如图，等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C-AB-D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值为________．
解析：如图所示，过点C作CO⊥平面ABDE，垂足为O，取AB的中点F，连接CF，OF，OA，OB，则∠CFO为二面角C-AB-D的平面角，所以cos∠CFO＝.
设AB＝1，则CF＝，OF＝，OC＝，所以O为正方形ABDE的中心．如图建立空间直角坐标系，则E，A，M，N，
所以＝，＝，
所以cos〈，〉＝＝.
答案：
9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC∩BD＝O，△PAC是边长为2的等边三角形，PB＝PD＝，F为AP上一点，且AP＝4AF.
(1)求证：PO⊥底面ABCD；
(2)求直线CP与平面BDF所成角的大小．
解：(1)证明：因为底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O，
所以O是AC，BD的中点．
又PA＝PC，PB＝PD，
所以PO⊥AC，PO⊥BD.
又AC∩BD＝O，
所以PO⊥底面ABCD.
(2)由底面ABCD是菱形，可得AC⊥BD，
又由(1)，知PO⊥AC，PO⊥BD.
如图，连接OF，以O为坐标原点，以射线OA，OB，OP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
由△PAC是边长为2的等边三角形，PB＝PD＝，
可得OA＝1，PO＝，OB＝OD＝.
所以O(0，0，0)，A(1，0，0)，C(－1，0，0)，B(0，，0)，P(0，0，)，
所以＝(1，0，)，＝(0，，0)，＝(1，0，0)，＝(－1，0，)．
由AP＝4AF，
可得＝＋＝.
设平面BDF的法向量为n＝(x，y，z)，
则，即.
令x＝1，则z＝－，所以n＝(1，0，－)．
因为cos〈，n〉＝
＝＝－，
所以直线CP与平面BDF所成角的正弦值为，
所以直线CP与平面BDF所成角的大小为30°.
10.在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE＝2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．
(1)求证：DE∥平面ABC；
(2)求二面角E-BC-A的余弦值．
解：(1)证明：由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，
取AC的中点O，连接BO，DO，
则BO⊥AC，DO⊥AC.
又平面ACD⊥平面ABC，
所以DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，
那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，
因为BE和平面ABC所成的角为60°，所以∠EBF＝60°，
因为BE＝2，所以EF＝DO＝，
所以四边形DEFO是平行四边形，所以DE∥OF.
因为DE?平面ABC，OF?平面ABC，
所以DE∥平面ABC.
(2)根据题意得OA，OB，OD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则B(0，，0)，C(－1，0，0)，
E(0，－1，)，
所以＝(－1，－，0)，
＝(0，－1，)，
平面ABC的一个法向量为n1＝(0，0，1)，
设平面BCE的法向量为n2＝(x，y，z)，
则，
所以，
取z＝1，所以n2＝(－3，，1)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角E-BC-A的余弦值为.
[B 能力提升]
11.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A-PB-C的余弦值．
解：(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD，故AB⊥PD，又AP∩PD＝P，从而AB⊥平面PAD.
又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)取AD的中点F，连接PF，因为PA＝PD，所以PF⊥AD，
由(1)可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，又AB∩AD＝A，可得PF⊥平面ABCD.
以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.
由(1)及已知可得A，P，
B，C.
所以＝，＝(，0，0)，＝，＝(0，1，0)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面PCB的法向量，则
即
可取n＝(0，－1，－)．
设m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的法向量，
则即
可取m＝(1，0，1)．
则cos〈n，m〉＝＝－.
由图形得二面角A-PB-C为钝角，
所以二面角A-PB-C的余弦值为－.
12．(2019·郑州高二检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，O是AD的中点，PO⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，AB＝BC＝AD＝1，cos∠ADB＝，AD∥BC，AD
(1)证明：平面POC⊥平面PAD；
(2)求直线PD与平面PAB所成角的大小．
解：(1)证明：因为△PAD是等边三角形，O是AD的中点，所以PO⊥AD，
在△DAB中，因为AB＝AD＝1，cos∠ADB＝，
所以cos∠ADB＝＝，
即BD2－8BD＋3＝0，解得BD＝或BD＝，
因为BD＝所以BD＝.
因为AB2＋AD2＝1＋22＝5＝BD2，
所以△DAB是直角三角形，∠BAD＝90°，
因为AD∥BC，O是AD的中点，AB＝BC＝AD，
所以四边形ABCO是正方形，
所以CO⊥AD.
由得AD⊥平面POC.
又AD?平面PAD，
所以平面POC⊥平面PAD.
(2)
如图，以O为坐标原点，OC，OD，OP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，)，
＝(0，－1，－)，＝(1，－1，－)，＝(0，1，－)．
设n＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，
则所以令z＝1，则y＝－，x＝0，
则n＝(0，－，1)为平面PAB的一个法向量．
设直线PD与平面PAB所成的角为α，
则sin α＝|cos〈n，〉|＝＝＝，
故α＝60°，
所以直线PD与平面PAB所成角的大小为60°.
13．(选做题)已知几何体EFG-ABCD，如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在边DG上．
(1)求证：BM⊥EF；
(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：因为四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，
所以GD⊥DA，GD⊥DC，AD⊥CD，
又DA∩DC＝D，所以GD⊥平面ABCD.
以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则B(1，1，0)，E(1，0，1)，F(0，1，1)．
因为点M在边DG上，故可设M(0，0，t)(0≤t≤1)．
可得＝(1，1，－t)，＝(－1，1，0)，
所以·＝1×(－1)＋1×1＋(－t)×0＝0，
所以BM⊥EF.
(2)假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°.
设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，
因为＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1)，
所以
所以
令z＝1，得x＝y＝1，所以n＝(1，1，1)为平面BEF的一个法向量，
所以cos〈n，〉＝＝.
因为直线MB与平面BEF所成的角为45°，
所以sin 45°＝|cos〈n，〉|，
所以＝，解得t＝－4±3.
又0≤t≤1，所以t＝3－4.
所以存在点M(0，0，3－4)．
所以当点M位于DG上，且DM＝3－4时，直线MB与平面BEF所成的角为45°.
章末综合检测(三)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知{a，b，c}是空间的一个基底，若p＝a＋b，q＝a－b，则( )
A．{a，p，q}是空间的一个基底
B．{b，p，q}是空间的一个基底
C．{c，p，q}是空间的一个基底
D．p，q与a，b，c中的任何一个都不能构成空间的一个基底
解析：选C.假设c＝k1p＋k2q，其中k1，k2∈R，即c＝k1(a＋b)＋k2(a－b)，得(k1＋k2)a＋(k1－k2)b－c＝0，这与{a，b，c}是空间的一个基底矛盾，故{c，p，q}是空间的一个基底．故选C.
2．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b－c B．a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
解析：选D.如图，＝－＝－－＝－－＝b－a－c.
3．空间中，与向量a＝(3，0，4)同向共线的单位向量为( )
A．e＝(1，0，1)
B．e＝(1，0，1)或e＝(－1，0，－1)
C．e＝
D．e＝或e＝
解析：选C.因为|a|＝＝5，所以与a同向共线的单位向量e＝＝(3，0，4)＝.故选C.
4．已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为上底面A1B1C1D1的中心，若＝＋x ＋y ，则x，y的值分别为( )
A．1，1 B．1，
C.， D．，
解析：选C.＝＋＝＋(＋)＝＋＋，易知x＝y＝.
5．已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且＝2x ＋3y ＋4z ，则2x＋3y＋4z的值为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选B.由题意知A，B，C，D共面的充要条件是：对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得＝x1 ＋y1 ＋z1 且x1＋y1＋z1＝1.因此，2x＋3y＋4z＝－1.故选B.
6．已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E，F分别是AD，DC的中点，则·＝( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析：选B.如图所示，＝，所以·＝·(－)＝－×2×2cos 60°＝－1.故选B.
7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则与直线CE垂直的直线是( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
解析：选B.以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，E，所以＝，＝(1，1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，1，－1)，＝(0，0，－1)．显然·＝－＋0＝0，所以⊥，即CE⊥BD.
8．已知a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x，y的值为( )
A．x＝－13，y＝8 B．x＝－13，y＝5
C．x＝7，y＝5 D．x＝7，y＝8
解析：选A.因为a∥b且a≠0，
所以b＝λa，即(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp.
又因为m，n，p不共面，所以＝＝，
所以x＝－13，y＝8.
9．已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C.由于＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，则·＝[＋(＋)]·(＋)＝(＋)2＝(2＋2)＝1.
10．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C.建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，A1(0，0，1)，C1(0，1，1)，
所以＝(－1，0，1)，＝(0，1，1)，
所以cos〈，〉＝＝＝.
所以〈，〉＝60°，即异面直线BA1与AC1所成角为60°.
11.如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足＝－＋，则||2的值为( )
A. B．3
C. D．
解析：选D.由题可知||＝1，||＝1，||＝.
〈，〉＝45°，〈，〉＝45°，〈，〉＝60°.
所以||2＝＝2＋2＋2－·＋·－·＝＋＋2－×1×1×＋1××－1××＝.
12．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足＝λ，则直线PN与平面ABC所成角θ取最大值时λ的值为( )
A. B．
C. D．
解析：选A.
如图，分别以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则P(λ，0，1)，N，＝(－λ，，－1)．易得平面ABC的一个法向量n＝(0，0，1)，则直线PN与平面ABC所成的角θ满足sin θ＝|cos〈，n〉|＝，于是问题转化为二次函数求最值，而θ∈，所以当sin θ最大时，θ最大．所以当λ＝时，sin θ最大，为，此时直线PN与平面ABC所成的角θ取到最大值．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．平面α的法向量u＝(1，2，－1)，平面β的法向量v＝(λ2，2，8)，若α⊥β，则λ＝________．
解析：α⊥β?u⊥v?u·v＝0?λ2＋4－8＝0?λ＝±2.
答案：±2
14．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2，0)，B(2，1，)，则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________．
解析：设平面xOz的法向量为n＝(0，t，0)(t≠0)．又＝(1，3，)，所以cos〈n，〉＝＝，因为〈n，〉∈[0，π]，所以sin〈n，〉＝ ＝.
答案：
15．点P是底边长为2，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则·的取值范围是__________．
解析：由题意知内切球的半径为1，设球心为O，则·＝(＋)·(＋)＝＋·(＋)＋·＝||2－1.因为1≤||≤，所以·∈[0，4]．
答案：[0，4]
16．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________．
解析：
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a，0，0)，B1(0，0，3a)，C(0，a，0)，D.设点E的坐标为(a，0，z)，则＝(a，－a，z)，＝(a，0，z－3a)，＝.又·＝a2－a2＋0＝0，
要使CE⊥平面B1DE，则⊥，得2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a，即AE＝a或2a.
答案：a或2a
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
(1)a，b，c；
(2)a＋c与b＋c夹角的余弦值．
解：(1)因为a∥b，所以＝＝，
解得x＝2，y＝－4，
则a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)．
又b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，
解得z＝2，于是c＝(3，－2，2)．
(2)由(1)得a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，
设a＋c与b＋c的夹角为θ，
因为cos θ＝＝－.
所以a＋c与b＋c的夹角的余弦值为－.
18．(本小题满分12分)
如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC1＝3，CD＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°.
(1)设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示；
(2)已知O为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的中心，求CO的长．
解：(1)由＝a，＝b，＝c，得＝a＋b＋c，
所以＝－a－b－c.
(2)O为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的中心，即O为线段A1C的中点．
由已知条件得|a|＝|b|＝2，|c|＝3，a·b＝0，〈a，c〉＝60°，〈b，c〉＝60°.
由(1)得＝a＋b＋c，
则||2＝2＝(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝22＋22＋32＋0＋2×2×3×cos 60°＋2×2×3×cos 60°＝29.所以A1C的长为，所以CO的长为.
19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值．
解：
(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图．设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F.因为·＝·(0，a，0)＝0.所以⊥，所以EF⊥CD.
(2)设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，则
即即
取x＝1，则y＝－2，z＝1，所以n＝(1，－2，1)，
所以cos〈，n〉＝＝＝.
设DB与平面DEF所成角为θ，则sin θ＝.
所以DB与平面DEF所成角的正弦值为.
20．(本小题满分12分)
如图所示，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.
(1)求证：AB⊥DE；
(2)若点F为BE的中点，求直线AF与平面ADE所成角的正弦值．
解：(1)证明：在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠DAB，即BD2＝4＋16－16×＝12，所以BD＝2，所以BD2＋AB2＝AD2，所以△ABD和△EBD均为直角三角形，所以ED⊥DB.又DB是平面EBD和平面ABD的交线，且平面EBD⊥平面ABD，ED?平面EBD，
所以ED⊥平面ABD.
又AB?平面ABD，所以AB⊥DE.
(2)由(1)知∠ABD＝∠CDB＝90°，以D为坐标原点，射线DB，DC，DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)，A(2，－2，0)，F(，0，1)，所以＝(2，－2，0)，＝(0，0，2)，＝(－，2，1)．
设平面ADE的法向量为n＝(x，y，z)，
则有
即
令x＝1，则y＝，z＝0，
所以n＝(1，，0)．
设直线AF与平面ADE所成的角为α，则有sin α＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
所以直线AF与平面ADE所成角的正弦值为.
21．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，点P在圆柱OQ的底面圆周上，G是DP的中点，圆柱OQ的底面圆的半径OA＝2，侧面积为8π，∠AOP＝120°.
(1)求证：AG⊥BD；
(2)求二面角P-AG-B的平面角的余弦值．
解：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
由题意可知8π＝2×2π×AD，
解得AD＝2.
则A(0，0，0)，B(0，4，0)，D(0，0，2)，P(，3，0)，
因为G是DP的中点，
所以可求得G.
(1)证明：＝(0，－4，2)，＝.
所以·＝·(0，－4，2)＝0，
所以AG⊥BD.
(2)＝(，－1，0)，＝，＝，＝，
因为·＝0，·＝0，
所以是平面APG的法向量．
设n＝(x，y，1)是平面ABG的法向量，
由n·＝0，n·＝0.
解得n＝(－2，0，1)，
cos〈，n〉＝＝＝－.
结合图形得，二面角P-AG-B的平面角的余弦值为.
22．(本小题满分12分)
在△A′BC中，A′B＝4，A′C＝4，∠BA′C＝45°，以A′C的中线BD为折痕，将△A′BD沿BD折起，构成二面角A-BD-C，在平面BCD内作CE⊥CD，且CE＝，连接DE，AE，AC，如图所示．
(1)求证：CE∥平面ABD；
(2)若二面角A-BD-C的大小为90°，求二面角B-AC-E的余弦值．
解：(1)证明：由A′B＝4，A′C＝4，∠BA′C＝45°，得BC＝4，所以△A′BC为等腰直角三角形，又D为A′C的中点，所以BD⊥A′C.
所以折起后BD⊥CD，AD⊥BD.又CE⊥CD，
所以CE∥BD，
因为CE?平面ABD，BD?平面ABD，所以CE∥平面ABD.
(2)
由二面角A-BD-C的大小为90°，AD⊥BD，得AD⊥平面BCD，由(1)知BD⊥CD，
于是以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设F为AC的中点，连接DF，因为AD＝CD，则DF⊥AC，且DF＝2.
因为CE⊥CD，AD⊥平面BCD，所以AD⊥CE，又AD∩CD＝D，所以CE⊥平面ACD，所以DF⊥CE，又CE∩AC＝C，
所以DF⊥平面ACE.
易求得BD＝CD＝AD＝2，所以D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A(0，0，2)，F(0，，)．
所以平面ACE的一个法向量为＝(0，，)．
又＝(2，0，－2)，＝(0，2，－2)，
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，
所以x＝y＝z，取n＝(1，1，1)为平面ABC的一个法向量．
所以cos〈n，〉＝＝，
根据图形可知二面角B-AC-E的大小为钝角，所以二面角B-AC-E的余弦值为－.
