[学生用书P135(单独成册)]
[A 基础达标]
1．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选B.设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.
2．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为( )
A．a2 B．a2
C.a2 D．a2
解析：选C.·
＝(＋)·
＝(·＋·)
＝(a×a×＋a×a×)＝a2.
3.如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
A．2· B．2·
C．2· D．2·
解析：选B.2·＝2a2cos 120°＝－a2，2·＝2·＝2a2cos 60°＝a2，2·＝·＝－a2，2·＝·＝－·＝－a2，故选B.
4.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )
A．6 B．6
C．12 D．144
解析：选C.因为＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12.
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°；
④正方体的体积为|··|.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.如图所示，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；·(－)＝·＝0；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°；正方体的体积为||||||，综上可知，①②正确．
6．如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，∠BAA1＝60°，E为棱C1D1的中点，则·＝________．
解析：＝＋＋，
·＝·＋·＋2＝4×3×cos 60°＋0＋×42＝14.
答案：14
7．如图，在120°的二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC?α，BD?β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，则线段CD的长为________．
解析：因为AC⊥AB，BD⊥AB，
所以·＝0，·＝0，
又因为二面角α-l-β的平面角为120°，
所以〈，〉＝60°，
所以CD2＝||2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，
所以CD＝12.
答案：12
8.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
解析：不妨设棱长为2，则＝－，＝＋，
cos〈，〉＝
＝＝0，所以〈，〉＝90°.
答案：90°
9．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．
求下列向量的数量积．
(1)·；
(2)·.
解：
如图所示，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝·(＋)
＝b·
＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝(＋)·(＋)
＝·(a＋c)
＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
10．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
解：(1)＝＋＋
＝＋＋
＝(c－a)＋a＋(b－a)
＝a＋b＋c.
(2)因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c
＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，
所以|a＋b＋c|＝，
所以||＝|a＋b＋c|＝，
即MN＝.
[B 能力提升]
11．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C.根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得·＝·＝0，所以·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2＝1，所以cos〈，〉＝＝，所以AB与CD所成的角为60°.
12．在三棱锥O-ABC中，OA⊥OB，OA⊥OC，∠BOC＝60°，OA＝OB＝OC＝2，若E为OA的中点，F为BC的中点，则EF＝________．
解析：因为＝－＝(＋)－，
所以||2＝(＋－)2
＝(2＋2＋2＋2·－2·－2·)．
又由已知得||＝||＝||＝2，
⊥，⊥，·＝2×2×＝2，
所以||2＝(4＋4＋4＋4)＝4.
所以||＝2，即EF＝2.
答案：2
13.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是C1D1，D1D的中点，若正方体的棱长为1.求直线CE与AF所成角的余弦值．
解：＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－.
因为·＝0，·＝0，·＝0，
所以·＝·
＝·＋2－·－·
＝2＝，又||＝||＝，
所以cos 〈，〉＝＝＝.
14.(选做题)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长都为 .
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
解：(1)证明：＝＋，＝＋.
因为BB1⊥平面ABC，
所以·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，
所以〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
因为·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，
所以AB1⊥BC1.
(2)由(1)知·
＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝ ＝ ＝||.
所以cos〈，〉＝＝，所以||＝2，
即侧棱长为2.
课件53张PPT。第三章 空间向量与立体几何第三章 空间向量与立体几何按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束
