[学生用书P137(单独成册)]
[A 基础达标]
1．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量，，成为空间的一个基底的是( )
A.＝＋＋
B.＝＋
C.＝＋＋
D.＝2－
解析：选C.对于选项A，由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四点共面，知，，共面；对于选项B，D，易知，，共面，故选C.
2．已知{a，b，c}是空间一组基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间另一组基底的是( )
A．a B．b
C．c D．p－2q
解析：选C.因为a，b，c不共面，所以p，q，c不共面．
若存在x，y∈R，使c＝xp＋yq＝(x＋y)a＋(x－y)b成立，则a，b，c共面，这与已知{a，b，c}是空间一组基底矛盾，故p，q，c不共面．
3．已知正方体OABC-O′A′B′C′的棱长为1，若以，，为基底，则向量的坐标是( )
A．(1，1，1)
B．(1，0，1)
C．(－1，－1，－1)
D．(－1，0，1)
答案：A
4.
如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为( )
A．a－b＋2c
B．a－b－2c
C．－a＋b＋c
D.a－b＋c
解析：选D.＝＋＝＋
＝＋(－)＝a－b＋c.
5．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12，14，10) B．(10，12，14)
C．(14，12，10) D．(4，3，2)
解析：选A.依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12，14，10)．
6．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是________．
解析：＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k，所以向量在基底{i，j，k}下的坐标是(3，2，5)．
答案：(3，2，5)
7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．
解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有解得
答案：1 －1
8．如图，点M为OA的中点，{，，}为空间的一个基底，＝x＋y＋z，则有序实数组(x，y，z)＝________．
解析：＝－＝－，所以有序实数组(x，y，z)＝.
答案：
9．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且＝2e1－e2＋3e3，＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3.
(1)判断P，A，B，C四点是否共面；
(2)能否以{，，}作为空间的一个基底？若能，试以这一基底表示；若不能，请说明理由．
解：(1)假设P，A，B，C四点共面，
则存在实数x，y，z，使＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，
即2e1－e2＋3e3＝x(e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)．
又e1，e2，e3不共面，所以，
解得与x＋y＋z＝1矛盾，
故P，A，B，C四点不共面．
(2)若，，共面，则存在实数m，n，使＝m＋n，
同(1)可得关于m，n的方程无解，所以，，不共面，
因此{，，}可以作为空间的一个基底．
令＝a，＝b，＝c，
由e1＋2e2－e3＝a，－3e1＋e2＋2e3＝b，e1＋e2－e3＝c，得所以＝2e1－e2＋3e3＝2(3a－b－5c)－(a－c)＋3(4a－b－7c)＝17a－5b－30c＝17－5－30.
10．已知平行六面体OABC-O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c表示向量；
(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.
解：(1)＝＋
＝－＋＝b＋c－a.
(2)＝＋
＝－＋
＝－(＋)＋(＋)
＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝(c－b)．
[B 能力提升]
11．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝( )
A．－1 B．0
C. D．1
解析：选C.因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，
所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝.
12．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________．
解析：
如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊A1D，所以＝，
即－＝0，所以λ＝－.
答案：－
13．已知，在棱长为2的正四面体ABCD中，以△BCD的中心O为坐标原点，OA为z轴，OC为y轴建立空间直角坐标系，如图所示，M为AB的中点，求的坐标．
解：易知△BCD的中线长为×2＝，则OC＝.
所以OA＝＝＝，
设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，x轴与BC的交点为E，则OE＝BD＝，
所以＝(＋)＝(＋＋)＝(＋＋)＝＝－＋＝i－j＋k，
所以＝.
14．(选做题)如图，三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，
＝n，＝t，求证：＋＋为定值，并求出该定值．
解：连接AG并延长交BC于点H(图略)，由题意，可令{，，}为空间的一个基底，
＝＝(＋)＝＋×＝＋×＝＋(－)＋(－)＝＋＋.
连接DM.
因为点D，E，F，M共面， 所以存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，即－＝λ(－)＋μ(－)，所以＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝(1－λ－μ)m＋λn＋μt，由空间向量基本定理，
知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt，
所以＋＋＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值．
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