磁场
第32讲 带电粒子在复合场中的运动(原卷版)
掌握带电粒子在电场、磁场中运动的特点?
2.?理解复合场、组合场对带电粒子受力的分析。
一、复合场及其特点
这里所说的复合场是指______________并存，或其中某两种场并存的场．带电粒子在这些复合场中运动时，必须同时考虑_______________的作用或其中某两种力的作用，因此对粒子的运动形式的分析就显得极为重要．
二、带电粒子在复合场电运动的基本分析
1．当带电粒子在复合场中所受的合外力为__时，粒子将做匀速直线运动或静止．
2．当带电粒子所受的合外力与运动方向在同一条直线上时，粒子将做______运动．
3．当带电粒子所受的合外力充当向心力时，粒子将做_______-运动．
4．当带电粒子所受的合外力的大小、方向均是不断变化的时，粒子将做变加速运动，这类问题一般只能用能量关系处理．
三、电场力和洛仑兹力的比较
1．在电场中的电荷，不管其运动与否，均受到电场力的作用；而磁场仅仅对运动着的、且速度与磁场方向不平行的电荷有洛仑兹力的作用．
2．电场力的大小F＝Eq，与电荷的___________无关；而洛仑兹力的大小f=Bqvsinα,与电荷运动的速度大小和方向均有关．
3．电场力的方向与电场的方向或相同、或相反；而洛仑兹力的方向始终既和磁场垂直，又和速度方向垂直．
4．电场力既可以改变电荷运动的______，也可以改变电荷运动的___，而洛仑兹力只能改变电荷运动的______，不能改变_______
5．电场力可以对电荷做功，能改变电荷的动能；洛仑兹力不能对电荷做功，不能改变电荷的动能．
6．匀强电场中在电场力的作用下，运动电荷的偏转轨迹为抛物线；匀强磁场中在洛仑兹力的作用下，垂直于磁场方向运动的电荷的偏转轨迹为____．
四、对于重力的考虑
重力考虑与否分三种情况．（1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等一般不做特殊交待就可以不计其重力，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、金属块等不做特殊交待时就应当考虑其重力．（2)在题目中有明确交待的是否要考虑重力的，这种情况比较正规，也比较简单．（3)对未知名的带电粒子其重力是否忽略又没有明确时，可采用假设法判断，假设重力计或者不计，结合题给条件得出的结论若与题意相符则假设正确，否则假设错误．
五、复合场中的特殊物理模型
1．粒子速度选择器
如图所示，粒子经加速电场后得到一定的速度v0，进入正交的电场和磁场，受到的电场力与洛仑兹力方向相反，若使粒子沿直线从右边孔中出去，则有qv0B＝qE,v0=E/B，若v= v0=E/B，粒子做直线运动，与粒子电量、电性、质量无关
若v＜E/B，电场力大，粒子向电场力方向偏，电场力做__功，动能增加．
若v＞E/B，洛仑兹力大，粒子向磁场力方向偏，电场力做__功，动能减少．
2．磁流体发电机
如图所示，由燃烧室O燃烧电离成的____（等离子体）以高速．喷入偏转磁场B中．在洛仑兹力作用下，正、负离子分别向上、下极板偏转、积累，从而在板间形成一个向下的电场．两板间形成一定的电势差．当qvB=qU/d时电势差稳定U＝dvB，这就相当于一个可以对外供电的电源．
3．电磁流量计．
电磁流量计原理可解释为：如图所示，一圆形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向左流动．导电液体中的自由电荷（正负离子）在洛仑兹力作用下纵向偏转，a,b间出现电势差．当自由电荷所受电场力和洛仑兹力平衡时，a、b间的电势差就保持稳定．
由Bqv=Eq=Uq/d，可得v=U/Bd．流量Q=Sv=πUd/4B
4．质谱仪
如图所示
组成：离子源O，加速场U，速度选择器（E,B），偏转场B2，胶片．
原理：加速场中qU=?mv2
选择器中：v=E/B1
偏转场中：d＝2r，qvB2＝mv2/r
比荷：
质量
作用：主要用于测量粒子的_______、研究同位素．
5．回旋加速器
组成：两个D形盒，大型电磁铁，高频振荡交变电压，两缝间可形成电压___作用：电场用来对粒子（质子、氛核,a粒子等）加速，磁场用来使粒子回旋从而能反复加速．高能粒子是研究微观物理的重要手段．
要求：粒子在磁场中做圆周运动的周期等于交变电源的变化周期．
关于回旋加速器的几个问题：
(1)回旋加速器中的D形盒，它的作用是静电屏蔽，使带电粒子在圆周运动过程中只处在磁场中而不受电场的干扰，以保证粒子做匀速圆周运动.
(2)回旋加速器中所加交变电压的频率f,与带电粒子做匀速圆周运动的频率相等：
(3)回旋加速器最后使粒子得到的能量，可由公式来计算，在粒子电量，、质量m和磁感应强度B一定的情况下，回旋加速器的半径R越大，粒子的能量就越大．
1．在图示区域内存在着竖直向上的匀强电场和水平向外的匀强磁场，一个带正电的微粒以水平速度从右侧边界进入并沿直线穿过该区域；若该微粒以相同大小的水平速度从左侧边界进入该区域，则微粒在此区域内做（ ）
A．匀速直线运动 B．匀速圆周运动
C．加速度大小和方向都不变的曲线运动 D．加速度大小和方向都改变的曲线运动
2．匀强电场中有一尘埃，质量为0.01g，带有10﹣9C的负电荷，尘埃沿水平方向向右做匀速直线运动，g＝10m/s2，则（ ）
A．场强方向水平向左 B．场强的方向竖直向下
C．场强的大小是103 N/C D．场强的大小是106 N/C
3．如图，空间存在着竖直向下的匀强电场和水平方向的匀强磁场，两者相互垂直，一金属棒PQ从水平状态从静止开始下落，不计空气阻力，则（ ）
A．P端先落地 B．Q端先落地
C．P、Q两端同时落地 D．无法确定
4．如图所示，两块竖直放置的平行板间存在相互垂直的匀强电场E和匀强磁场B．一束初速度为v的带正电粒子从上面竖直往下垂直电场射入，粒子重力不计，下列说法正确的是（ ）
A．若v＝，粒子做匀加速直线运动
B．若粒子往左偏，洛伦兹力做正功
C．若粒子往右偏，粒子的电势能增加
D．若粒子做直线运动，改变粒子的带电性质，使它带负电，其他条件不变，粒子还是做直线运动
5．平行板电容器两板之间距离为d，接在电压为U的电源上。现有一质量为m，带电量为+q的粒子，以速度v沿水平方向射入两板之间（粒子重力不计），如图所示。若要使粒子能以速度v沿直线匀速穿过，则可以在两板间加（ ）
A．磁感应强度大小B＝，方向向里的匀强磁场
B．磁感应强度大小B＝，方向向外的匀强磁场
C．磁感应强度大小B＝Udv，方向向里的匀强磁场
D．磁感应强度大小B＝Udv，方向向外的匀强磁场
要点一 带电粒子在复合场中的运动
复合场 复合场是指电场、磁场和重力场并存或其中某两种场并存，或分区域存在。粒子在复合场中运动时，要考虑静电力、洛伦兹力和重力的作用。 二、带电粒子在复合场中运动问题的分析思路 1．正确的受力分析 除重力、弹力和摩擦力外，要特别注意电场力和磁场力的分析。 2．正确分析物体的运动状态 找出物体的速度、位置及其变化特点，分析运动过程。如果出现临界状态，要分析临界条件。 带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子的受力情况。 （1）当粒子在复合场内所受合力为零时，做匀速直线运动（如速度选择器）。 （2）当带电粒子所受的重力与电场力等值反向，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动。 （3）当带电粒子所受的合力是变力，且与初速度方向F在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，由于带电粒子可能连续通过几个情况不同的复合场区，因此粒子的运动情况也发生相应的变化，其运动过程也可能由几种不同的运动阶段所组成。 3．灵活选用力学规律是解决问题的关键 （1）当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，应根据平衡条件列方程求解。 （2）当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解。 （3）当带电粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时，应选用动能定理或能量守恒列方程求解。 注意：由于带电粒子在复合场中受力情况复杂，运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解。 4．三种场力的特点
重力的大小为，方向竖直向下．重力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的质量有关外，还与始末位置的高度差有关。 （2）电场力的大小为，方向与电场强度E及带电粒子所带电荷的性质有关，电场力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的电荷量有关外，还与始末位置的电势差有关。 （3）洛伦兹力的大小跟速度与磁场方向的夹角有关，当带电粒子的速度与磁场方向平行时F=0；当带电粒子的速度与磁场方向垂直时，洛伦兹力的方向垂直于速度v和磁感应强度B所决定的平面。 无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力都不做功。但重力、电场力可能做功而引起带电粒子能量的转化。
判断带电粒子在复合场中运动时是否考虑重力场对带电粒子的作用是需要进行仔细判断的 如果题中没有明确说明，那么判断时应注意以下几点： 1．电子、质子、粒子、离子等微观粒子在复合场中运动时，一般都不计重力。 2．但质量较大的质点（如带电尘粒）在复合场中运动时，一般不能忽略重力，做题时应注意题目中有无表示方位的“两板水平放置”“竖直方向”等说法的出现。 3．根据运动状态和运动情况来进行分析，如果没有重力就会破坏题中的运动，则必须要考虑重力。 四、带电粒子在电、磁（复合）场中运动，实质上可抽象成下列几种模型 模型1 ＝0或与E平行的带电粒子，在恒定匀强电场中加（减）速直线运动；在交变匀强电场中，做周期性加（减）速直线运动。 模型2 ≠0且与E垂直的带电粒子，在恒定匀强电场中偏转，做类平抛运动；在交变电场中，其偏转程度周期性变化。 模型3 ≠0且与E成一定角度的带电粒子，在匀强电场中做类斜抛运动。 模型4 ≠0且与B垂直的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。 模型5 ≠0且与E、B垂直的带电粒子在E与B平行的匀强场中运动，其轨迹为螺旋线，螺距由q、E决定，轨道半径由q、B、v决定。 模型6
≠0且与E、B垂直的带电粒子，在B与E垂直的匀强场中运动，其轨迹常见的是直线，有qE＝qvB（如速度选择器）且反向；若qE≠qvB，其轨迹为曲线。
模型7
带电粒子在电场、磁场、重力场等复合场中运动，情况比较复杂，其轨迹与场和粒子的v、q、m等均有关，可能为直线、圆周、抛物线、一般曲线等。 模型8 带电粒子在斜面、直杆、圆杆、摆线等有约束的电场、磁场、重力场等复合场中的运动。 带电粒子在电、磁场中运动时，虽然情况千变万化，但都是上述几种模型的变换或组合，分析出它们的“问题模型”类型及其特点，可以作为解此类问题的突破。
要点二 带电粒子在分离的电场和磁场中的运动
这类问题是将电场和磁场组合在一起，带电粒子经过电场加速（或偏转），再进入匀强磁场。 1．运动特点：先做加速（或偏转）运动，再做匀速圆周运动。 2．物理规律：由动能动理求速度 ，或者根据类平抛的规律求相关的物理量。 由洛伦滋力提供向心力求解相关物理量 。 要点三 带电粒子在复合场中运动的重要应用
1．速度选择器
利用垂直的电场、磁场选出一定速度的带电粒子的装置。基本构造如图所示，两平行金属板间加电压产生匀强电场E，匀强磁场B与E垂直．当带电荷量为q的粒子以速度v垂直进入匀强电场和磁场的区域时，粒子受电场力和洛伦兹力的作用，无论粒子带正电还是带负电，电场力和洛伦兹力的方向总相反。若电场力与洛伦兹力大小相等，即，则．粒子受合力为零，匀速通过狭缝射出，若粒子速度，则洛伦兹力大于电场力；若，则电场力大于洛伦兹力，粒子将向下或向上偏转而不能通过狭缝。 所以通过速度选择器射出的粒子都是速度的粒子。 2．磁流体发电机 如图所示是磁流体发电机，其原理是：等离子气体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力作用下发生偏转而聚集到B、A板上，产生电势差。设A、B平行金属板的面积为S，相距l，等离子气体的电阻率为，喷入气体速度为v，板间磁场的磁感应强度为B，板外电阻为R，当等离子气体匀速通过A、B板间，A、B板上聚集的电荷最多，板间电势差最大，即为电源电动势。此时离子受力平衡：，电动势，电源内电阻，所以R中电流。 3．电磁流量计 如图所示，一圆形导管直径为d，由非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向左流动。导电液体中的自由电荷（正、负离子）在洛伦兹力作用下发生偏转，a、b间出现电势差保持恒定。 由可得 故流量。 4．霍尔效应 如图所示，厚度为h，宽度为d的导体板放在垂直于它的磁感应强度为B的匀强磁场中，当电流通过导体板时，在导体板上侧面A和下侧面之间会产生电势差，这种现象称为霍尔效应。实验表明，当磁场不太强时，电势差U、电流I和磁感应强度B的关系为，式中的比例系数k称为霍尔系数．霍尔效应可解释为：外部磁场的洛伦兹力使运动的电子聚集在导体板的一侧，在导体板的另一侧会出现多余的正电荷，从而形成横向电场，横向电场对电子施加与洛伦兹力方向相反的静电力。当静电力与洛伦兹力达到平衡时，导体板上下两侧之间就会形成稳定的电势差。
要点一 带电粒子在复合场中的运动
【例题1】如图所示，在y＞0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y＜0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面（纸面）向外。一电量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y＝h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x＝2h处的 P2点进入磁场，并经过y轴上y＝处的P3点。不计重力。求
（l）电场强度的大小。
（2）粒子到达P2时速度的大小和方向。
（3）磁感应强度的大小。
【解析】粒子在电场、磁场中运动的轨迹如图所示。设粒子从P1到P2的时间为t，电场强度的大小为E，粒子在电场中的加速度为a，由牛顿第二定律及运动学公式有：
qE ＝ ma ①
v0t ＝ 2h ②
③
由①、②、③式解得：
④
（2）粒子到达P2时速度沿x方向的分量仍为v0，以v1表示速度沿y方向分量的大小，v表示速度的大小，θ表示速度和x轴的夹角，则有：
⑤
⑥
⑦
由②、③、⑤式得：
v1＝v0 ⑧
由⑥、⑦、⑧式得：
⑨
⑩
（3）设磁场的磁感应强度为B，在洛仑兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：
⑾
r是圆周的半径。此圆周与x轴和y轴的交点分别为P2、P3。因为OP2＝OP3，θ＝45°，由几何关系可知，连线P2P3为圆轨道的直径，由此可求得：
r＝ ⑿
由⑨、⑾、⑿可得：
⒀
针对训练1．如图所示，MN为一竖直放置足够大的荧光屏，距荧光屏左边的空间存在着一宽度也为、方向垂直纸面向里的匀强磁场。O’为荧光屏上的一点，OO’与荧光屏垂直，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（重力不计）以初速度v0从O点沿OO’方向射入磁场区域。粒子离开磁场后打到荧光屏上时，速度方向与竖直方向成30°角。
（1）求匀强磁场磁感应强度的大小和粒子打到荧光屏上时偏离O’点的距离；
（2）若开始时在磁场区域再加上与磁场方向相反的匀强电场（图中未画出），场强大小为E，则该粒子打到荧光屏上时的动能为多少？
要点二 带电粒子在分离的电场和磁场中的运动
【例题2】如图甲所示，在第Ⅱ象限内有水平向右的匀强电场，电场强度为E，在第Ⅰ、Ⅳ象限内分别存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等．有一个带电粒子以垂直于x轴的初速度v0从x轴上的P点进入匀强电场中，并且恰好与y轴的正方向成45°角进入磁场，又恰好垂直进入第Ⅳ象限的磁场．已知OP之间的距离为d，则带电粒子在磁场中第二次经过x轴时，求在电场和磁场中运动的总时间
【解析】带电粒子的运动轨迹如图乙所示．由题意知，带电粒子到达y轴时的速度v＝v0，这故知带电粒子在第Ⅰ象限中的运动时间为：
t2＝＝＝ 带电粒子在第Ⅳ象限中运动的时间为：t3＝
故t总＝(2＋)．
一过程的时间t1＝＝ 又由题意知，带电粒子在磁场中的偏转轨道半径r＝22
乙
针对训练2．在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v0垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成θ＝60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，如图所示．不计粒子的重力，求：
（1）M、N两点间的电势差UMN；
（2）粒子从M点运动到P点的总时间t．
要点三 带电粒子在复合场中的重要应用
【例题3】如图所示，一对平行金属极板a、b水平正对放置，极板长度为L，板间距为d，极板间电压为U，且板间存在垂直纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场（图中未画出）。一带电粒子以一定的水平速度从两极板的左端正中央沿垂直于电场、磁场的方向射入极板间，恰好做匀速直线运动，打到距离金属极板右端L处的荧光屏MN上的O点。若撤去磁场，粒子仍能从极板间射出，且打到荧光屏MN上的P点。已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子的重力及空气阻力。
（1）求带电粒子刚进入极板左侧时的速度大小v；
（2）求粒子打到荧光屏P点时动能大小；
（3）求荧光屏上P点与o点间距离。
【解析】（1）带电粒子受力平衡，有qvB＝q
粒子进入极板时的速度v＝
（2）带电粒子在两极板间运动时间t1＝，加速度
带电粒子从极板右端射出时沿竖直方向的速度vy＝
粒子出偏转场时动能大小为；
（3）带电粒子穿过电场时的侧移量
带电粒子离开两极板间后做匀速直线运动的时间t2＝
带电粒子离开两极板间后在竖直方向的位移
P点与O点距离h＝y1+y2＝。
针对训练3．如图所示，一对平行金属极板a、b水平正对放置，极板长度为L，板间距为d，极板间电压为U，且板间存在垂直纸面磁感应强度为B的匀强磁场（图中未画出）。一带电粒子以一定的水平速度从两极板的左端正中央沿垂直于电场、磁场的方向射入极板间，恰好做匀速直线运动，打到距离金属极板右端L处的荧光屏MN上的O点。若撤去磁场，粒子仍能从极板间射出，且打到荧光屏MN上的P点。已知P点与O点间的距离为h，不计粒子的重力及空气阻力。
（1）请判断匀强磁场的方向；
（2）求带电粒子刚进入极板左侧时的速度大小v；
（3）求粒子的比荷（）。
随堂巩固
1. 如图所示，固定在竖直面内的光滑绝缘圆环上穿有一个小球P（视为质点），P带正电。该空间同时存在匀强电场和匀强磁场。电场方向竖直向上；磁场方向垂直于圆环平面向里。将小球P从与圆心O等高处由静止释放后，小球逆时针运动到达圆环的最高点。在此过程中（ ）
A．小球动能的增量等于电场力、洛伦兹力做功的代数和
B．小球重力势能的增量等于电场力和重力做功的代数和
C．小球机械能的增量等于电场力做的功
D．小球电势能的增量等于重力做的功
2. 一个不计重力的带电量为﹣q的带电微粒，从两竖直的带电平行板上方h处以竖直向下的初速度v0运动，两极板间存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度为B，则带电微粒通过有电场和磁场的空间时，下列说法正确的是（ ）
A．有可能做匀加速运动 B．有可能做匀速运动
C．一定做直线运动 D．一定做曲线运动
3. 如图所示，用绝缘管做成的圆形轨道竖直放置，圆心与坐标原点重合，在Ⅰ、Ⅱ象限有垂直于纸面向外的匀强磁场，在第Ⅳ象限有竖直向下的匀强电场。一个带电荷量为＋q、质量为m的小球Q放在管中的最低点，另一个带电荷量也是＋q、质量也是m的小球P，从图中位置由静止释放开始运动，球P在最低点处与Q相碰并粘在一起向上滑，刚好能通过最高点。不计一切摩擦，电荷量保持不变，轨道半径为R，R远大于管道的内径，小球直径略小于管道内径，小球可看成质点，试求：（1）电场强度E；（2）若小球第二次到最高点时，刚好对轨道无压力，求磁感应强度B。
课时检测
选择题
1．如图，某空间存在正交的匀强磁场和匀强电场，电场方向水平向右，磁场方向垂直于纸面向里，一个带电微粒由a点进入电磁场并刚好能沿ab直线向上匀速运动，下列说法正确的是（ ）
A．微粒可能带负电，也可能带正电 B．微粒的电势能一定增加
C．微粒的机械能一定增加 D．洛伦兹力对微粒做负功
2．如图，匀强电场E的方向平行于x轴，匀强磁场B的方向平行于y轴，一电子（不计重力）沿z轴正方向匀速运动，则（ ）
A．如果E沿x轴正方向，那么B沿y轴正方向
B．如果E沿x轴负方向，那么B沿y轴正方向
C．电子也能沿y轴正方向匀速运动
D．电子也能沿x轴正方向匀速运动
D、若电子沿x轴正方向匀速运动，根据左手定则知，电子所受的洛伦兹力沿y轴方向， 3．如图所示，两块平行金属板中间有正交的匀强电场和匀强磁场，α粒子（氦原子核）以速度v从两板的正中央垂直于电场方向和磁场方向从左向右射入，恰好能沿直线匀速通过。下列说法中正确的是（ ）
A．若电子以速度v沿相同方向射入，运动的时间变长
B．若质子以速度v沿相同方向射入，运动的时间变短
C．若电子以大于v的速度沿相同的方向射入，从右端射出时的动能会增大
D．若质子以小于v的速度沿相同方向射入，从右端射出时的动能会增大
4．如图所示，粗糙的足够长的竖直木杆上套有一个带正电的小球，整个装置处在由水平向右匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场组成的足够大的复合场中，小球由静止开始下滑，在整个运动过程中小球的v﹣t图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，在竖直平面内，两质量均为m、电荷量均为+q的小球（视为质点）P、Q用一段绝缘细线连接，整个装置始终处在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场中。让小球P固定不动，将细线水平拉直后由静止释放小球2，当绳与水平方向夹角为α（小于90°）时，小球的加速度大小为（ ）
A．2gsinα B．gcosα C．g D．g
6．如图所示，一带电小球用丝线悬挂在水平方向的匀强电场中，当小球静止后把悬线烧断，则小球在电场中将做（ ）
A．自由落体运动 B．曲线运动
C．沿着悬线的延长线做匀加速直线运动 D．变加速直线运动
7．如图，一质子以速度v穿过互相垂直的电场和磁场区域而没有发生偏转则（ ）
A．若电子以相同速度v射入该区域，将会发生偏转
B．若质子的速度v′＜v，它将向下偏转而做类似的平抛运动
C．若质子的速度v′＞v，它将向上偏转，其运动轨迹是圆弧线
D．无论何种带电粒子（不计重力），只要都以速度v射入都不会发生偏转
8．如图所示，足够长的光滑绝缘斜面处于水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中。将一带负电的小球自斜面上的某点由静止释放，小球沿斜面向下运动，以下说法正确的是（ ）
A．小球的机械能守恒 B．小球的电势能和机械能之和减少
C．静电力做的功等于小球机械能的增加 D．静电力做的功等于小球动能的增加
9．如图，真空中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小为E＝50N/C，同时存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.5T．有一带电粒子，从P点开始在纸面内做直线运动，某时刻撤去电场，该粒子在纸面内沿逆时针方向做半径为r＝lcm的匀速圆周运动，不计该粒子所受的重力。下列说法正确的是（ ）
A．该粒子做直线运动时的速度大小v＝200m/s B．该粒子速度方向可能沿电场线方向
C．该粒子一定带负电 D．该粒子的比荷为2.0×104C/kg
10．如图所示，两平行金属板中有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，一个α粒子从两板正中央垂直电场、磁场入射，它在金属板间运动轨迹如图中曲线所示，则在α粒子飞跃金属板间区域过程中（ ）
A．α粒子的动能增大 B．α粒子的电势能增大
C．电场力对α粒子做负功 D．磁场力对α粒子做负功
11．如图所示，由粒子源发出的带正电的粒子经过同一加速电场A加速后，形成粒子束进入同一偏转电场B中偏转。已知粒子源发出的粒子中包括有一价氢离子、一价氦离子和二价氦离子，这些粒子离开粒子源时的初速度可视为零，空气阻力粒子的重力及粒子之间的相互作用力均可忽略不计。下列说法正确的是（ ）
A．它们始终为一股粒子束 B．它们会分离为两股粒子束
C．它们会分离为三股粒子束 D．它们会分离为无数股粒子束
12．如图所示，在水平地面上方有一沿水平方向且垂直纸面向里的匀强磁场。现将一带电小球以一定初速度v0竖直上抛，小球能上升的最大高度为h，设重力加速度为g，不计空气阻力，则下列判断正确的是（ ）
A．h一定大于 B．h一定等于
C．h一定小于 D．h可能等于
13．如图所示，水平放置的平行金属板a、b带有等量异种电荷，a板带负电，两板间有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子在两板间做直线运动，不计粒子的重力。关于粒子在两板间运动的情况判断正确的是（ ）
A．粒子一定带正电 B．粒子可能自左向右运动
C．粒子可能做匀变速直线运动 D．粒子一定做匀速直线运动
二、计算题
14．如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，空间存在着垂直于xOy平面向里的匀强磁场和平行于xOy平面的匀强电场。第三象限内有一点P，其坐标为（﹣1m，﹣m），质量为m＝2×10﹣5kg、带电量为q＝+5×10﹣5C的液滴以v＝2m/s的速度沿直线从P点运动O点。若已知匀强磁场磁感应强度大小B＝1T，重力加速度g取10m/s2。
（1）求匀强电场场强E的大小及电场的方向；
（2）若在带电液滴经过O点时只撒去磁场，液滴会经过x轴上的Q点，求Q点的坐标。
15．如图所示，水平地面上固定一表面粗糙的水平桌面，桌子高度为h＝0.2m、长度为L＝0.42m。紧靠桌子的右侧空间有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直纸面向外的匀强磁场，电场强度大小为E＝1V/m，磁感应强度大小为B＝0.5T，电场、磁场区域足够大。在桌面左、右两端分别放置滑块P和小球Q，滑块的质量为m1＝0.01kg、不带电，小球的质量为m2＝0.03kg、带正电、电荷量为q＝0.3C．给滑块一向右的初速度v0＝2.2m/s，之后滑块和小球发生弹性正碰，碰撞时间极短，碰撞过程中小球电荷量保持不变。滑块和小球均可视为质点，已知滑块与桌面的动摩擦因数为μ＝0.1，取g＝10m/s2，求：
（1）碰撞后瞬间，滑块速度vP和小球速度vQ；
（2）滑块和小球首次落地的时间差（结果保留两位有效数字）。
磁场
第32讲 带电粒子在复合场中的运动(解析版)
掌握带电粒子在电场、磁场中运动的特点?
2.?理解复合场、组合场对带电粒子受力的分析。
一、复合场及其特点
这里所说的复合场是指电场、磁场、重力场并存，或其中某两种场并存的场．带电粒子在这些复合场中运动时，必须同时考虑电场力、洛仑兹力和重力的作用或其中某两种力的作用，因此对粒子的运动形式的分析就显得极为重要．
二、带电粒子在复合场电运动的基本分析
1．当带电粒子在复合场中所受的合外力为0时，粒子将做匀速直线运动或静止．
2．当带电粒子所受的合外力与运动方向在同一条直线上时，粒子将做变速直线运动．
3．当带电粒子所受的合外力充当向心力时，粒子将做匀速圆周运动．
4．当带电粒子所受的合外力的大小、方向均是不断变化的时，粒子将做变加速运动，这类问题一般只能用能量关系处理．
三、电场力和洛仑兹力的比较
1．在电场中的电荷，不管其运动与否，均受到电场力的作用；而磁场仅仅对运动着的、且速度与磁场方向不平行的电荷有洛仑兹力的作用．
2．电场力的大小F＝Eq，与电荷的运动的速度无关；而洛仑兹力的大小f=Bqvsinα,与电荷运动的速度大小和方向均有关．
3．电场力的方向与电场的方向或相同、或相反；而洛仑兹力的方向始终既和磁场垂直，又和速度方向垂直．
4．电场力既可以改变电荷运动的速度大小，也可以改变电荷运动的方向，而洛仑兹力只能改变电荷运动的速度方向，不能改变速度大小
5．电场力可以对电荷做功，能改变电荷的动能；洛仑兹力不能对电荷做功，不能改变电荷的动能．
6．匀强电场中在电场力的作用下，运动电荷的偏转轨迹为抛物线；匀强磁场中在洛仑兹力的作用下，垂直于磁场方向运动的电荷的偏转轨迹为圆弧．
四、对于重力的考虑
重力考虑与否分三种情况．（1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等一般不做特殊交待就可以不计其重力，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、金属块等不做特殊交待时就应当考虑其重力．（2)在题目中有明确交待的是否要考虑重力的，这种情况比较正规，也比较简单．（3)对未知名的带电粒子其重力是否忽略又没有明确时，可采用假设法判断，假设重力计或者不计，结合题给条件得出的结论若与题意相符则假设正确，否则假设错误．
五、复合场中的特殊物理模型
1．粒子速度选择器
如图所示，粒子经加速电场后得到一定的速度v0，进入正交的电场和磁场，受到的电场力与洛仑兹力方向相反，若使粒子沿直线从右边孔中出去，则有qv0B＝qE,v0=E/B，若v= v0=E/B，粒子做直线运动，与粒子电量、电性、质量无关
若v＜E/B，电场力大，粒子向电场力方向偏，电场力做正功，动能增加．
若v＞E/B，洛仑兹力大，粒子向磁场力方向偏，电场力做负功，动能减少．
2．磁流体发电机
如图所示，由燃烧室O燃烧电离成的正、负离子（等离子体）以高速．喷入偏转磁场B中．在洛仑兹力作用下，正、负离子分别向上、下极板偏转、积累，从而在板间形成一个向下的电场．两板间形成一定的电势差．当qvB=qU/d时电势差稳定U＝dvB，这就相当于一个可以对外供电的电源．
3．电磁流量计．
电磁流量计原理可解释为：如图所示，一圆形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向左流动．导电液体中的自由电荷（正负离子）在洛仑兹力作用下纵向偏转，a,b间出现电势差．当自由电荷所受电场力和洛仑兹力平衡时，a、b间的电势差就保持稳定．
由Bqv=Eq=Uq/d，可得v=U/Bd．流量Q=Sv=πUd/4B
4．质谱仪
如图所示
组成：离子源O，加速场U，速度选择器（E,B），偏转场B2，胶片．
原理：加速场中qU=?mv2
选择器中：v=E/B1
偏转场中：d＝2r，qvB2＝mv2/r
比荷：
质量
作用：主要用于测量粒子的质量、比荷、研究同位素．
5．回旋加速器
组成：两个D形盒，大型电磁铁，高频振荡交变电压，两缝间可形成电压U
作用：电场用来对粒子（质子、氛核,a粒子等）加速，磁场用来使粒子回旋从而能反复加速．高能粒子是研究微观物理的重要手段．
要求：粒子在磁场中做圆周运动的周期等于交变电源的变化周期．
关于回旋加速器的几个问题：
(1)回旋加速器中的D形盒，它的作用是静电屏蔽，使带电粒子在圆周运动过程中只处在磁场中而不受电场的干扰，以保证粒子做匀速圆周运动.
(2)回旋加速器中所加交变电压的频率f,与带电粒子做匀速圆周运动的频率相等：
(3)回旋加速器最后使粒子得到的能量，可由公式来计算，在粒子电量，、质量m和磁感应强度B一定的情况下，回旋加速器的半径R越大，粒子的能量就越大．
1．在图示区域内存在着竖直向上的匀强电场和水平向外的匀强磁场，一个带正电的微粒以水平速度从右侧边界进入并沿直线穿过该区域；若该微粒以相同大小的水平速度从左侧边界进入该区域，则微粒在此区域内做（ ）
A．匀速直线运动 B．匀速圆周运动
C．加速度大小和方向都不变的曲线运动 D．加速度大小和方向都改变的曲线运动
【答案】D
【解析】微粒以水平速度从右侧边界进入并沿直线穿过该区域做匀速直线运动，电场力、洛伦兹力和重力三力平衡，如图所示，则有：
F电+F磁＝G。
若该微粒以相同大小的水平速度从左侧边界进入该区域，洛伦兹力大小不变，方向相反，因F磁+G＞F电，所以微粒向下偏转，因为电场力和重力的合力做正功，所以微粒的速度要增加，所受的洛伦兹力增大，因此，微粒的加速度大小和方向都改变，做曲线运动，故ABC错误，D正确。
2．匀强电场中有一尘埃，质量为0.01g，带有10﹣9C的负电荷，尘埃沿水平方向向右做匀速直线运动，g＝10m/s2，则（ ）
A．场强方向水平向左 B．场强的方向竖直向下
C．场强的大小是103 N/C D．场强的大小是106 N/C
【答案】B
【解析】AB、尘埃在匀强电场中沿水平方向向右做匀速直线运动，受到的电场力与重力平衡，则电场力方向竖直向上，而尘埃带负电，所以电场强度方向竖直向下，故A错误B正确；
CD、根据平衡条件得：mg＝qE，
得：E＝＝N/C＝105N/C，故CD错误。
3．如图，空间存在着竖直向下的匀强电场和水平方向的匀强磁场，两者相互垂直，一金属棒PQ从水平状态从静止开始下落，不计空气阻力，则（ ）
A．P端先落地 B．Q端先落地
C．P、Q两端同时落地 D．无法确定
【答案】B
【解析】因金属棒在磁场中切割磁感应线，根据右手定则，则P端聚集着负电荷，而Q端聚集着正电荷，再由正负电荷受到的电场力，则P端的电场力与电场强度方向相反，而Q端受到的电场力与电场强度方向相同，因此Q端先落地，故B正确，ACD错误；
4．如图所示，两块竖直放置的平行板间存在相互垂直的匀强电场E和匀强磁场B．一束初速度为v的带正电粒子从上面竖直往下垂直电场射入，粒子重力不计，下列说法正确的是（ ）
A．若v＝，粒子做匀加速直线运动
B．若粒子往左偏，洛伦兹力做正功
C．若粒子往右偏，粒子的电势能增加
D．若粒子做直线运动，改变粒子的带电性质，使它带负电，其他条件不变，粒子还是做直线运动
【答案】D
【解析】A、如果v＝，粒子在两板间所受的电场力和洛伦兹力平衡，即：qvB＝Eq，可知粒子将做匀速直线运动，故A错误；
B、洛伦兹力时刻与速度方向垂直，不做功，故B错误；
C、因为粒子带正电，当粒子往右偏，电场力与位移之间的夹角为锐角，电场力做正功，电势能减小，故C错误；
D、改变粒子的带电性质，使它带负电，其他条件不变，粒子所受的电场力和洛伦兹力均变为反向，仍然受力平衡，故粒子还是做匀速直线运动，故D正确。
5．平行板电容器两板之间距离为d，接在电压为U的电源上。现有一质量为m，带电量为+q的粒子，以速度v沿水平方向射入两板之间（粒子重力不计），如图所示。若要使粒子能以速度v沿直线匀速穿过，则可以在两板间加（ ）
A．磁感应强度大小B＝，方向向里的匀强磁场
B．磁感应强度大小B＝，方向向外的匀强磁场
C．磁感应强度大小B＝Udv，方向向里的匀强磁场
D．磁感应强度大小B＝Udv，方向向外的匀强磁场
【答案】B
【解析】要使小球仍以速度v匀速直线穿过，所以加一个磁场，使得受到的洛伦兹力竖直向下，同时满足：Bqv+mg＝q
因此解得，磁场大小为：B＝，又因带正电，并由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外。故B正确，ACD错误。
要点一 带电粒子在复合场中的运动
复合场 复合场是指电场、磁场和重力场并存或其中某两种场并存，或分区域存在。粒子在复合场中运动时，要考虑静电力、洛伦兹力和重力的作用。 二、带电粒子在复合场中运动问题的分析思路 1．正确的受力分析 除重力、弹力和摩擦力外，要特别注意电场力和磁场力的分析。 2．正确分析物体的运动状态 找出物体的速度、位置及其变化特点，分析运动过程。如果出现临界状态，要分析临界条件。 带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子的受力情况。 （1）当粒子在复合场内所受合力为零时，做匀速直线运动（如速度选择器）。 （2）当带电粒子所受的重力与电场力等值反向，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动。 （3）当带电粒子所受的合力是变力，且与初速度方向F在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，由于带电粒子可能连续通过几个情况不同的复合场区，因此粒子的运动情况也发生相应的变化，其运动过程也可能由几种不同的运动阶段所组成。 3．灵活选用力学规律是解决问题的关键 （1）当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，应根据平衡条件列方程求解。 （2）当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解。 （3）当带电粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时，应选用动能定理或能量守恒列方程求解。 注意：由于带电粒子在复合场中受力情况复杂，运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解。 4．三种场力的特点
重力的大小为，方向竖直向下．重力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的质量有关外，还与始末位置的高度差有关。 （2）电场力的大小为，方向与电场强度E及带电粒子所带电荷的性质有关，电场力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的电荷量有关外，还与始末位置的电势差有关。 （3）洛伦兹力的大小跟速度与磁场方向的夹角有关，当带电粒子的速度与磁场方向平行时F=0；当带电粒子的速度与磁场方向垂直时，洛伦兹力的方向垂直于速度v和磁感应强度B所决定的平面。 无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力都不做功。但重力、电场力可能做功而引起带电粒子能量的转化。
判断带电粒子在复合场中运动时是否考虑重力场对带电粒子的作用是需要进行仔细判断的 如果题中没有明确说明，那么判断时应注意以下几点： 1．电子、质子、粒子、离子等微观粒子在复合场中运动时，一般都不计重力。 2．但质量较大的质点（如带电尘粒）在复合场中运动时，一般不能忽略重力，做题时应注意题目中有无表示方位的“两板水平放置”“竖直方向”等说法的出现。 3．根据运动状态和运动情况来进行分析，如果没有重力就会破坏题中的运动，则必须要考虑重力。 四、带电粒子在电、磁（复合）场中运动，实质上可抽象成下列几种模型 模型1 ＝0或与E平行的带电粒子，在恒定匀强电场中加（减）速直线运动；在交变匀强电场中，做周期性加（减）速直线运动。 模型2 ≠0且与E垂直的带电粒子，在恒定匀强电场中偏转，做类平抛运动；在交变电场中，其偏转程度周期性变化。 模型3 ≠0且与E成一定角度的带电粒子，在匀强电场中做类斜抛运动。 模型4 ≠0且与B垂直的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。 模型5 ≠0且与E、B垂直的带电粒子在E与B平行的匀强场中运动，其轨迹为螺旋线，螺距由q、E决定，轨道半径由q、B、v决定。 模型6
≠0且与E、B垂直的带电粒子，在B与E垂直的匀强场中运动，其轨迹常见的是直线，有qE＝qvB（如速度选择器）且反向；若qE≠qvB，其轨迹为曲线。
模型7
带电粒子在电场、磁场、重力场等复合场中运动，情况比较复杂，其轨迹与场和粒子的v、q、m等均有关，可能为直线、圆周、抛物线、一般曲线等。 模型8 带电粒子在斜面、直杆、圆杆、摆线等有约束的电场、磁场、重力场等复合场中的运动。 带电粒子在电、磁场中运动时，虽然情况千变万化，但都是上述几种模型的变换或组合，分析出它们的“问题模型”类型及其特点，可以作为解此类问题的突破。
要点二 带电粒子在分离的电场和磁场中的运动
这类问题是将电场和磁场组合在一起，带电粒子经过电场加速（或偏转），再进入匀强磁场。 1．运动特点：先做加速（或偏转）运动，再做匀速圆周运动。 2．物理规律：由动能动理求速度 ，或者根据类平抛的规律求相关的物理量。 由洛伦滋力提供向心力求解相关物理量 。 要点三 带电粒子在复合场中运动的重要应用
1．速度选择器
利用垂直的电场、磁场选出一定速度的带电粒子的装置。基本构造如图所示，两平行金属板间加电压产生匀强电场E，匀强磁场B与E垂直．当带电荷量为q的粒子以速度v垂直进入匀强电场和磁场的区域时，粒子受电场力和洛伦兹力的作用，无论粒子带正电还是带负电，电场力和洛伦兹力的方向总相反。若电场力与洛伦兹力大小相等，即，则．粒子受合力为零，匀速通过狭缝射出，若粒子速度，则洛伦兹力大于电场力；若，则电场力大于洛伦兹力，粒子将向下或向上偏转而不能通过狭缝。 所以通过速度选择器射出的粒子都是速度的粒子。 2．磁流体发电机 如图所示是磁流体发电机，其原理是：等离子气体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力作用下发生偏转而聚集到B、A板上，产生电势差。设A、B平行金属板的面积为S，相距l，等离子气体的电阻率为，喷入气体速度为v，板间磁场的磁感应强度为B，板外电阻为R，当等离子气体匀速通过A、B板间，A、B板上聚集的电荷最多，板间电势差最大，即为电源电动势。此时离子受力平衡：，电动势，电源内电阻，所以R中电流。 3．电磁流量计 如图所示，一圆形导管直径为d，由非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向左流动。导电液体中的自由电荷（正、负离子）在洛伦兹力作用下发生偏转，a、b间出现电势差保持恒定。 由可得 故流量。 4．霍尔效应 如图所示，厚度为h，宽度为d的导体板放在垂直于它的磁感应强度为B的匀强磁场中，当电流通过导体板时，在导体板上侧面A和下侧面之间会产生电势差，这种现象称为霍尔效应。实验表明，当磁场不太强时，电势差U、电流I和磁感应强度B的关系为，式中的比例系数k称为霍尔系数．霍尔效应可解释为：外部磁场的洛伦兹力使运动的电子聚集在导体板的一侧，在导体板的另一侧会出现多余的正电荷，从而形成横向电场，横向电场对电子施加与洛伦兹力方向相反的静电力。当静电力与洛伦兹力达到平衡时，导体板上下两侧之间就会形成稳定的电势差。
要点一 带电粒子在复合场中的运动
【例题1】如图所示，在y＞0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y＜0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面（纸面）向外。一电量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y＝h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x＝2h处的 P2点进入磁场，并经过y轴上y＝处的P3点。不计重力。求
（l）电场强度的大小。
（2）粒子到达P2时速度的大小和方向。
（3）磁感应强度的大小。
【解析】粒子在电场、磁场中运动的轨迹如图所示。设粒子从P1到P2的时间为t，电场强度的大小为E，粒子在电场中的加速度为a，由牛顿第二定律及运动学公式有：
qE ＝ ma ①
v0t ＝ 2h ②
③
由①、②、③式解得：
④
（2）粒子到达P2时速度沿x方向的分量仍为v0，以v1表示速度沿y方向分量的大小，v表示速度的大小，θ表示速度和x轴的夹角，则有：
⑤
⑥
⑦
由②、③、⑤式得：
v1＝v0 ⑧
由⑥、⑦、⑧式得：
⑨
⑩
（3）设磁场的磁感应强度为B，在洛仑兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：
⑾
r是圆周的半径。此圆周与x轴和y轴的交点分别为P2、P3。因为OP2＝OP3，θ＝45°，由几何关系可知，连线P2P3为圆轨道的直径，由此可求得：
r＝ ⑿
由⑨、⑾、⑿可得：
⒀
针对训练1．如图所示，MN为一竖直放置足够大的荧光屏，距荧光屏左边的空间存在着一宽度也为、方向垂直纸面向里的匀强磁场。O’为荧光屏上的一点，OO’与荧光屏垂直，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（重力不计）以初速度v0从O点沿OO’方向射入磁场区域。粒子离开磁场后打到荧光屏上时，速度方向与竖直方向成30°角。
（1）求匀强磁场磁感应强度的大小和粒子打到荧光屏上时偏离O’点的距离；
（2）若开始时在磁场区域再加上与磁场方向相反的匀强电场（图中未画出），场强大小为E，则该粒子打到荧光屏上时的动能为多少？
【解析】（1）粒子从O点射入，P点射出，沿直线运动到荧光屏上的S点，如图所示，由几何关系可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动转过的圆心角θ＝60°①
运动轨道半径为：R＝ ②
而qvB＝ ③
由②③解得：B＝ ④
根据几何关系可知：SQ＝° ⑤
O’O＝R－Rcos 60° ⑥
由②⑤⑥解得：O’S＝O’Q＋SQ＝
（2）再加电场后，根据运动的独立性，带电粒子沿电场方向匀加速运动，运动速度
粒子在复合场中运动时间为：
则粒子离开复合场时沿电场方向运动的速度为
粒子打在荧光屏上的动能为：
要点二 带电粒子在分离的电场和磁场中的运动
【例题2】如图甲所示，在第Ⅱ象限内有水平向右的匀强电场，电场强度为E，在第Ⅰ、Ⅳ象限内分别存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等．有一个带电粒子以垂直于x轴的初速度v0从x轴上的P点进入匀强电场中，并且恰好与y轴的正方向成45°角进入磁场，又恰好垂直进入第Ⅳ象限的磁场．已知OP之间的距离为d，则带电粒子在磁场中第二次经过x轴时，求在电场和磁场中运动的总时间
甲 【解析】带电粒子的运动轨迹如图乙所示．由题意知，带电粒子到达y轴时的速度v＝v0，这一过程的时间t1＝＝
又由题意知，带电粒子在磁场中的偏转轨道半径r＝2d
乙
故知带电粒子在第Ⅰ象限中的运动时间为：
t2＝＝＝ 带电粒子在第Ⅳ象限中运动的时间为：t3＝
故t总＝(2＋)．
针对训练2．在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v0垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成θ＝60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，如图所示．不计粒子的重力，求：
（1）M、N两点间的电势差UMN；
（2）粒子从M点运动到P点的总时间t．
【解析】（1）粒子垂直于电场进入第一象限，粒子做类平抛运动，将到达N点的速度分解得知
vcosθ＝v0，
解得，粒子离开电场时的速度大小v＝2v0．
从M→N过程，由动能定理得：
qUMN＝mv2﹣mv02
代入解得，UMN＝
（2）粒子进入第四象限后，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，则有：
qvB＝m
得粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为：R＝；
（2）画出轨迹如图，由几何知识得：ON＝Rsin60°
粒子从M点到N点的时间为：t1＝＝＝
粒子从N到P所用的时间：t2＝T＝
故有：t＝t1+t2＝
要点三 带电粒子在复合场中的重要应用
【例题3】如图所示，一对平行金属极板a、b水平正对放置，极板长度为L，板间距为d，极板间电压为U，且板间存在垂直纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场（图中未画出）。一带电粒子以一定的水平速度从两极板的左端正中央沿垂直于电场、磁场的方向射入极板间，恰好做匀速直线运动，打到距离金属极板右端L处的荧光屏MN上的O点。若撤去磁场，粒子仍能从极板间射出，且打到荧光屏MN上的P点。已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子的重力及空气阻力。
（1）求带电粒子刚进入极板左侧时的速度大小v；
（2）求粒子打到荧光屏P点时动能大小；
（3）求荧光屏上P点与o点间距离。
【解析】（1）带电粒子受力平衡，有qvB＝q
粒子进入极板时的速度v＝
（2）带电粒子在两极板间运动时间t1＝，加速度
带电粒子从极板右端射出时沿竖直方向的速度vy＝
粒子出偏转场时动能大小为；
（3）带电粒子穿过电场时的侧移量
带电粒子离开两极板间后做匀速直线运动的时间t2＝
带电粒子离开两极板间后在竖直方向的位移
P点与O点距离h＝y1+y2＝。
针对训练3．如图所示，一对平行金属极板a、b水平正对放置，极板长度为L，板间距为d，极板间电压为U，且板间存在垂直纸面磁感应强度为B的匀强磁场（图中未画出）。一带电粒子以一定的水平速度从两极板的左端正中央沿垂直于电场、磁场的方向射入极板间，恰好做匀速直线运动，打到距离金属极板右端L处的荧光屏MN上的O点。若撤去磁场，粒子仍能从极板间射出，且打到荧光屏MN上的P点。已知P点与O点间的距离为h，不计粒子的重力及空气阻力。
（1）请判断匀强磁场的方向；
（2）求带电粒子刚进入极板左侧时的速度大小v；
（3）求粒子的比荷（）。
【解析】（1）粒子在复合场中沿直线飞行，则可知，电场力和洛伦兹力方向相反，根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里。
（2）带电粒子受力平衡，有：qvB＝q
粒子进入极板时的速度为：v＝
（3）带电粒子在两极板间运动时间为：t1＝，
加速度为：a＝
带电粒子穿过电场时的侧移量为：y1＝at12＝
带电粒子离开两极板间后做匀速直线运动的时间为：t2＝
带电粒子从极板右端射出时沿竖直方向的速度为：vy＝at2＝
带电粒子离开两极板间后在竖直方向的位移为：y2＝vyt2＝
两次侧移量之和为h，即：h＝y1+y2＝
解得：＝
随堂巩固
1. 如图所示，固定在竖直面内的光滑绝缘圆环上穿有一个小球P（视为质点），P带正电。该空间同时存在匀强电场和匀强磁场。电场方向竖直向上；磁场方向垂直于圆环平面向里。将小球P从与圆心O等高处由静止释放后，小球逆时针运动到达圆环的最高点。在此过程中（ ）
A．小球动能的增量等于电场力、洛伦兹力做功的代数和
B．小球重力势能的增量等于电场力和重力做功的代数和
C．小球机械能的增量等于电场力做的功
D．小球电势能的增量等于重力做的功
【答案】C
【解析】A、小球受重力、电场力、洛伦兹力共同作用，洛伦兹力不做功，根据动能定理得小球动能的增量等于于电场力和重力做功的代数和，故A错误；
B、重力做功量度重力势能的变化，小球重力势能的增量等于重力做功，故B错误；
C、对小球而言，除重力之外其他力做功量度机械能变化，所以小球机械能的增量等于电场力做的功，故C正确；
D、电场力做功量度电势能变化，小球电势能的增量等于电场力做功，故D错误；
2. 一个不计重力的带电量为﹣q的带电微粒，从两竖直的带电平行板上方h处以竖直向下的初速度v0运动，两极板间存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度为B，则带电微粒通过有电场和磁场的空间时，下列说法正确的是（ ）
A．有可能做匀加速运动 B．有可能做匀速运动
C．一定做直线运动 D．一定做曲线运动
【答案】 B
【解析】小球进入电场和磁场的空间，受到向左的洛伦兹力和向右的电场力，若电场力和洛伦兹力大小相等，则小球的合力为零，小球做匀速直线运动。
如电场力和洛伦兹力的合力不为零，则小球的初速度和合力方向不共线，则小球做曲线运动，由于运动过程中速度发生变化，洛伦兹力发生变化，则小球的合力变化，小球做变加速曲线运动，故ACD错误，B正确；
3. 如图所示，用绝缘管做成的圆形轨道竖直放置，圆心与坐标原点重合，在Ⅰ、Ⅱ象限有垂直于纸面向外的匀强磁场，在第Ⅳ象限有竖直向下的匀强电场。一个带电荷量为＋q、质量为m的小球Q放在管中的最低点，另一个带电荷量也是＋q、质量也是m的小球P，从图中位置由静止释放开始运动，球P在最低点处与Q相碰并粘在一起向上滑，刚好能通过最高点。不计一切摩擦，电荷量保持不变，轨道半径为R，R远大于管道的内径，小球直径略小于管道内径，小球可看成质点，试求：（1）电场强度E；（2）若小球第二次到最高点时，刚好对轨道无压力，求磁感应强度B。
【解析】 （1）球P由1→2：据动能定理得 ①
在位置2：碰撞动量守恒 ②
合并后电荷量为2，质量为2。
由2→4：由机械能守恒定律 ③
解得： ④
（2）球运动一周，即4→4：由动能定理 ⑤
在位置4：N＝0，由牛顿第二定律 ⑥
由④⑤⑥得：
课时检测
选择题
1．如图，某空间存在正交的匀强磁场和匀强电场，电场方向水平向右，磁场方向垂直于纸面向里，一个带电微粒由a点进入电磁场并刚好能沿ab直线向上匀速运动，下列说法正确的是（ ）
A．微粒可能带负电，也可能带正电 B．微粒的电势能一定增加
C．微粒的机械能一定增加 D．洛伦兹力对微粒做负功
【答案】C
【解析】A、根据做直线运动的条件和受力情况（如图所示）可知，粒子做匀速直线运动，则粒子必定带负电，故A错误；
B、由a沿直线运动到b的过场中，电场力做正功，电势能减小，故B错误；
C、因重力做负功，重力势能增加，又动能不变，则机械能一定增加，故C正确；
D、洛伦兹力一直与速度方向相互垂直，故洛伦兹力不做功，故D错误。
2．如图，匀强电场E的方向平行于x轴，匀强磁场B的方向平行于y轴，一电子（不计重力）沿z轴正方向匀速运动，则（ ）
A．如果E沿x轴正方向，那么B沿y轴正方向
B．如果E沿x轴负方向，那么B沿y轴正方向
C．电子也能沿y轴正方向匀速运动
D．电子也能沿x轴正方向匀速运动
【答案】A
【解析】A、若E沿x轴正方向，电子所受的电场力沿x轴负方向，要使电子做匀速直线运动，电子所受的洛伦兹力方向必须沿x轴正方向，根据左手定则判断可知，B沿y轴正方向。故A正确。
B、若E沿x轴负方向，电子所受的电场力沿x轴正方向，要使电子做匀速直线运动，电子所受的洛伦兹力方向必须沿x轴负方向，根据左手定则判断可知，B沿y轴负方向。故B错误。
C、若电子沿y轴正方向匀速运动，则电子不受洛伦兹力，只受电场力，合力不为零，不可能，故C错误。
D、若电子沿x轴正方向匀速运动，根据左手定则知，电子所受的洛伦兹力沿y轴方向，而电场力沿x轴方向，合力不为零，不可能，故D错误。
3．如图所示，两块平行金属板中间有正交的匀强电场和匀强磁场，α粒子（氦原子核）以速度v从两板的正中央垂直于电场方向和磁场方向从左向右射入，恰好能沿直线匀速通过。下列说法中正确的是（ ）
A．若电子以速度v沿相同方向射入，运动的时间变长
B．若质子以速度v沿相同方向射入，运动的时间变短
C．若电子以大于v的速度沿相同的方向射入，从右端射出时的动能会增大
D．若质子以小于v的速度沿相同方向射入，从右端射出时的动能会增大
【答案】 D
【解析】由于α粒子从左向右射入正交的电场和磁场空间，恰能做匀速直线运动，则两力平衡，即Eq＝qvB，所以选择的速度v＝，与电性和电量无关，但有确定的进、出口。
A、若电子以相同的速度射入，相对α粒子电场力和洛仑兹力均反向，则电子仍将做匀速直线运动，运动的时间不变，故A错误；
B、同理，质子以相同的速度射入时，相对α粒子电场力和洛仑兹力虽减小，但两力仍平衡，沿直线通过，运动的时间不变，故B错误；
C、若电子进入的速度变大，电场力不变，但向上的洛仑兹力变大，所以质子将向上偏转，电场力做负功，动能减小，故C错误；
D、若质子进入的速度变小，电场力不变，但向上的洛仑兹力变小，所以质子将向下偏转，电场力做正功，动能增大，故D正确。
4．如图所示，粗糙的足够长的竖直木杆上套有一个带正电的小球，整个装置处在由水平向右匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场组成的足够大的复合场中，小球由静止开始下滑，在整个运动过程中小球的v﹣t图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】小球在水平方向上受到向右的电场力、向左的洛伦兹力以及杆子的弹力。开始时小球速度比较小，洛伦兹力小于电场力，杆对小球的弹力向左，由平衡条件有
FN+qvB＝qE，当速度增大，洛伦兹力增大，则弹力减小，小球受到的滑动摩擦力减小，根据牛顿第二定律得mg﹣f＝ma，知加速度增大，所以，小球先做加速度增大的加速运动。
当弹力0时，加速度最大，然后洛伦兹力大于电场力，速度增大，洛伦兹力增大，则弹力增大，摩擦力增大，根据牛顿第二定律，加速度减小，知小球然后做加速度减小的变加速运动，当重力等于摩擦力时，做匀速直线运动。故B正确，A、C、D错误。
故选：B。
5．如图所示，在竖直平面内，两质量均为m、电荷量均为+q的小球（视为质点）P、Q用一段绝缘细线连接，整个装置始终处在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场中。让小球P固定不动，将细线水平拉直后由静止释放小球2，当绳与水平方向夹角为α（小于90°）时，小球的加速度大小为（ ）
A．2gsinα B．gcosα C．g D．g
【答案】 C
【解析】小球Q在运动中与小球P的距离保持不变，所以小球Q所处的电势大小不变，所以电场力不做功。
洛伦兹力时刻指向圆心，与速度方向垂直，所以洛伦兹力不做功。所以只有重力做功。
设：当绳与水平方向夹角为α（小于90°）时，小球速度为v，
由动能定理可得：mv2＝mgR?sinα…①
对小球Q受力分析，沿绳方向和垂直于绳的方向建立平面直角坐标系，将重力正交分解，分级为垂直于绳方向的G1，和沿绳方向的G2。
沿绳方向的合力充当向心力，所以沿绳方向的合力F＝…②
沿绳方向的加速度a1＝…③
联立①②③解得：a1＝2g?sinα
垂直于绳的方向的力G1＝mg?cosα，
沿绳方向加速度a2＝＝g?cosα
小球Q的加速度a＝＝g，故C正确，A、B、D错误。
6．如图所示，一带电小球用丝线悬挂在水平方向的匀强电场中，当小球静止后把悬线烧断，则小球在电场中将做（ ）
A．自由落体运动 B．曲线运动
C．沿着悬线的延长线做匀加速直线运动 D．变加速直线运动
【答案】 C
【解析】悬线烧断前小球静止，所以受合外力为零，即重力和电场力的合力沿悬线的反向延长线且为恒力；烧断后重力和电场力不变，小球从静止开始沿悬线的延长线做初速为零的匀加速运动，故C正确ABD错误。
7．如图，一质子以速度v穿过互相垂直的电场和磁场区域而没有发生偏转则（ ）
A．若电子以相同速度v射入该区域，将会发生偏转
B．若质子的速度v′＜v，它将向下偏转而做类似的平抛运动
C．若质子的速度v′＞v，它将向上偏转，其运动轨迹是圆弧线
D．无论何种带电粒子（不计重力），只要都以速度v射入都不会发生偏转
【答案】 D
【解析】AD、质子穿过相互垂直的电场和磁场区域而没有偏转，说明了它受的电场力和洛伦兹力是一对平衡力有qvB＝qE，与带电性质无关，所以只要以相同的速度射入该区域都不会发生偏转。 故A错误，D正确；
B、若质子的入射速度v'＜v，质子所受的洛伦兹力小于电场力，将向下偏转，洛伦兹力对粒子不做功，电场力做正功，存在洛兹力，所以不是类平抛运动。故B错误；
C、质子的入射速度v'＞v，它所受到的洛伦兹力大于电场力。由于质子所受到的洛仑兹力方向向上，故质子就向上偏转。由于质子所受的电场力是一恒力而洛仑兹力是一变力，故其轨迹既不是圆弧也不是抛物线，故C错误。
8．如图所示，足够长的光滑绝缘斜面处于水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中。将一带负电的小球自斜面上的某点由静止释放，小球沿斜面向下运动，以下说法正确的是（ ）
A．小球的机械能守恒 B．小球的电势能和机械能之和减少
C．静电力做的功等于小球机械能的增加 D．静电力做的功等于小球动能的增加
【答案】 C
【解析】A、小球沿斜面向下运动时，静电力对小球要做正功，所以小球的机械能增加，故A错误。
B、根据能量守恒定律，可知小球的电势能和机械能之和保持不变，故B错误。
C、小球沿斜面向下运动时，洛伦兹力不做功，静电力对小球做正功，导致小球的机械能增加，由功能原理知，静电力做的功等于小球机械能的增加。故C正确。
D、根据动能定理知，静电力和重力做功之和等于小球动能的增加，故D错误。
9．如图，真空中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小为E＝50N/C，同时存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.5T．有一带电粒子，从P点开始在纸面内做直线运动，某时刻撤去电场，该粒子在纸面内沿逆时针方向做半径为r＝lcm的匀速圆周运动，不计该粒子所受的重力。下列说法正确的是（ ）
A．该粒子做直线运动时的速度大小v＝200m/s B．该粒子速度方向可能沿电场线方向C．该粒子一定带负电 D．该粒子的比荷为2.0×104C/kg
【答案】 D
【解析】A、该粒子做直线运动时，电场力与洛伦兹力平衡，则有：qvB＝qE，得：v＝＝＝100m/s，故A错误。
B、若该粒子速度方向沿电场线方向，洛伦兹力与电场力垂直，合力与速度不在同一直线上，粒子将做曲线运动，与题不符，故B错误。
C、该粒子可能带正电，速度方向与电场线方向垂直向上，故C错误。
D、粒子做匀速圆周运动时，根据半径公式r＝得：＝2.0×104C/kg，故D正确。
10．如图所示，两平行金属板中有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，一个α粒子从两板正中央垂直电场、磁场入射，它在金属板间运动轨迹如图中曲线所示，则在α粒子飞跃金属板间区域过程中（ ）
A．α粒子的动能增大 B．α粒子的电势能增大
C．电场力对α粒子做负功 D．磁场力对α粒子做负功
【答案】 A
【解析】对α粒子在电场、磁场中进行受力分析，受到竖直向上的洛伦兹力和竖直向下的电场力。运动过程中，洛伦兹力不做功，由图中给出的α粒子的运动轨迹可知电场力对其做正功，因此α粒子的电势能减小。再由动能定理可知，α粒子的动能增大。
11．如图所示，由粒子源发出的带正电的粒子经过同一加速电场A加速后，形成粒子束进入同一偏转电场B中偏转。已知粒子源发出的粒子中包括有一价氢离子、一价氦离子和二价氦离子，这些粒子离开粒子源时的初速度可视为零，空气阻力粒子的重力及粒子之间的相互作用力均可忽略不计。下列说法正确的是（ ）
A．它们始终为一股粒子束 B．它们会分离为两股粒子束
C．它们会分离为三股粒子束 D．它们会分离为无数股粒子束
【答案】 A
【解析】设加速电压为U1，偏转电压为U2，极板的长度为L，间距为d；
离子经过同一加速电场由静止加速后，在加速电场中，根据动能定理得：qU1＝mv02，
在偏转电场中，离子做类平抛运动，运动时间 t＝
偏转距离 y＝＝，
联立以上各式得：y＝，
y与带电粒子的质量、电荷量无关，则一价氢离子、一价氦离子和二价氦离子在偏转电场轨迹重合，所以它们不会分成三股，而是会聚为一束射出。
12．如图所示，在水平地面上方有一沿水平方向且垂直纸面向里的匀强磁场。现将一带电小球以一定初速度v0竖直上抛，小球能上升的最大高度为h，设重力加速度为g，不计空气阻力，则下列判断正确的是（ ）
A．h一定大于 B．h一定等于
C．h一定小于 D．h可能等于
【答案】 C
【解析】如果没有磁场，小球将做竖直上抛运动，上升的最大高度：H＝，
现在，小球在运动过程中，除受重力外，还要受到洛伦兹力作用，小球在向上运动的同时向左偏转，小球到达最高点时速度不为零，
动能不为零，根据功能关系可知，小球上升最大高度小于。
13．如图所示，水平放置的平行金属板a、b带有等量异种电荷，a板带负电，两板间有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子在两板间做直线运动，不计粒子的重力。关于粒子在两板间运动的情况判断正确的是（ ）
A．粒子一定带正电 B．粒子可能自左向右运动
C．粒子可能做匀变速直线运动 D．粒子一定做匀速直线运动
【答案】 D
【解析】带电的粒子在两板间作直线运动，可知粒子受力平衡，对小球进行受力分析，受电场力和洛伦兹力作用，若小球带正电，则电场力方向向上，洛伦兹力的方向只能向下，由左手定则可判断出带正电的小球只能向左运动。同时如果速度发生变化，则洛伦兹力将变化，粒子不可能做直线运动，故粒子只能做匀速直线运动；
若如果是负电荷，则同理可知，粒子向右运动，也只能做匀速直线运动；
故粒子可能带正电也可能带负电，同时粒子可能向左或向右；但只能做匀速直线运动。
二、计算题
14．如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，空间存在着垂直于xOy平面向里的匀强磁场和平行于xOy平面的匀强电场。第三象限内有一点P，其坐标为（﹣1m，﹣m），质量为m＝2×10﹣5kg、带电量为q＝+5×10﹣5C的液滴以v＝2m/s的速度沿直线从P点运动O点。若已知匀强磁场磁感应强度大小B＝1T，重力加速度g取10m/s2。
（1）求匀强电场场强E的大小及电场的方向；
（2）若在带电液滴经过O点时只撒去磁场，液滴会经过x轴上的Q点，求Q点的坐标。
【解析】（1）由P点坐标为可得：PO与y轴负半轴夹角 θ＝30°
带电液滴沿PO做匀速直线运动，小球所受重力、电场力、洛伦兹力三力平衡，洛伦兹力为：
根据平衡条件可得：qE＝mgcos30°
代入数据解得：
电场方向沿PO方向（与x轴正半轴成60°角斜向上）
（2）撤去磁场，液滴做类平抛运动，设其加速度为g′，有：
设撤掉磁场后液滴在初速度方向上的分位移为x′，有：x′＝vt
设液滴在重力与电场力的合力方向上分位移为y′，有：
设g?与x轴正半轴所成夹角为θ，又
联立以上各式，代入数据解得：
又有
故Q点的坐标为（，0）
【答案】见解析
15．如图所示，水平地面上固定一表面粗糙的水平桌面，桌子高度为h＝0.2m、长度为L＝0.42m。紧靠桌子的右侧空间有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直纸面向外的匀强磁场，电场强度大小为E＝1V/m，磁感应强度大小为B＝0.5T，电场、磁场区域足够大。在桌面左、右两端分别放置滑块P和小球Q，滑块的质量为m1＝0.01kg、不带电，小球的质量为m2＝0.03kg、带正电、电荷量为q＝0.3C．给滑块一向右的初速度v0＝2.2m/s，之后滑块和小球发生弹性正碰，碰撞时间极短，碰撞过程中小球电荷量保持不变。滑块和小球均可视为质点，已知滑块与桌面的动摩擦因数为μ＝0.1，取g＝10m/s2，求：
（1）碰撞后瞬间，滑块速度vP和小球速度vQ；
（2）滑块和小球首次落地的时间差（结果保留两位有效数字）。
【解析】（1）设滑块与小球碰前的速度为v，向右为正方向。由动能定理得：…①
滑块与小球发生弹性正碰，系统动量和能量均守恒：m1v＝m1vP+m2vQ…②
…③
由①②③得：vp＝﹣1m/s，vQ＝1m/s，
碰撞后瞬间，滑块速度vp大小为1m/s，方向向左，小球速度vQ大小为1m/s，方向向右…④
（2）设滑块从右端运动到左端所需时间为tp1，到达左端的速度大小为v'。
由动能定理得：…⑤
由位移公式得：…⑥
由④⑤⑥得：tp1＝0.6s…⑦
滑块从左端飞出后做平抛运动，设经时间tp2落地。
由位移公式得：…⑧
解得：tP2＝0.2s…⑨
滑块从碰后到落地所需的总时间为tP＝tP1+tP2＝0.8s…⑩
小球在电磁场中m2g＝qE＝0.3N…?
小球将做匀速圆周运动，设其半径为R。
由牛顿第二定律得：…?
解得：R＝h＝0.2m…?
小球落地的时间为：…?
滑块与小球首次落地的时间差为：△t＝tP﹣tQ≈0.49s…?
【答案】见解析
