第四章 图形的性质 第25节 解直角三角形
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■考点1. 锐角三角函数的定义
1.锐角三角函数 正弦: sinA＝＝
余弦: cosA＝＝
正切: tanA＝＝.
2.特殊角的三角函数值
度数
三角函数
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
■考点2：解直角三角形
1.解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2.解直角三角形的常用关系 (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝.
■考点3：解直角三角形的应用
1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）
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2.解直角三角形实际应用的一般步骤
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
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■考点1. 锐角三角函数的定义
◇典例：
1.(2019年黑龙江省绥化市)如图，已知?ABC三个顶点的坐标分别为A(-2，-4)，B(0，-4)，C(1，-1)
（1）请在网格中，画出线段BC关于原点对称的线段B1C1；
（2）请在网格中，过点C画一条直线CD，将?ABC分成面积相等的两部分，与线段AB相交于点D，写出点D的坐标；
（3）若另有一点P(-3，-3)，连接PC，则tan∠BCP= ．
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【考点】关于原点对称的点，三角形中线的性质，勾股定理的逆定理，正切的定义
【分析】(1)分别作出点B、C关于原点对称的点，然后连接即可；
(2)根据网格特点，找到AB的中点D，作直线CD，根据点D的位置写出坐标即可；
(3)连接BP，证明△BPC是等腰直角三角形，继而根据正切的定义进行求解即可.
解：(1)如图所示，线段B1C1即为所求作的；
(2)如图所示，D(-1，-4)；
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(3)连接BP，则有BP2=32+12=10，
BC2=32+12=10，BC2=42+22=20，
BP2+BC2=PC2，
∴△BPC是等腰直角三角形，∠PBC=90°，
∴∠BCP=45°，
∴tan∠BCP=1，
故答案为：1.
【点睛】本题考查了作图——中心对称，三角形中线的性质，勾股定理的逆定理，正切，熟练掌握相关知识并能灵活运用网格的结构特征是解题的关键.
2.（2019年广西玉林市）计算：|/﹣1|﹣（﹣2）3﹣/+（π﹣cos60°）0．
【考点】实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值
【分析】先取绝对值符号、乘方、二次根式和零指数幂，再计算加减可得．
解：原式＝/﹣1+8﹣/+1
＝8．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握乘方的定义、绝对值性质、算术平方根的定义及零指数幂的规定．
◆变式训练
1.（2019年广东省广州市）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若，则次斜坡的水平距离AC为（ ）
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A．75m B．50m C．30m D．12m
2.（2019年天津市）的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
3.（2019年广西桂林市）计算：（﹣1）2019﹣/+tan60°+（π﹣3.14）0．
■考点2：解直角三角形
◇典例
1.（2019年广西梧州市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝/．
（1）求AD的长，
（2）求sinα的值．
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【考点】解直角三角形
【分析】（1）根据tanB＝/，可设AC＝3x，得BC＝4x，再由勾股定理列出x的方程求得x，进而由勾股定理求AD，
（2）过点D作DE⊥AB于点E，解直角三角形求得BE与DE，进而求得结果．
解：（1）∵tanB＝/，可设AC＝3x，得BC＝4x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
解得，x＝﹣1（舍去），或x＝1，
∴AC＝3，BC＝4，
∵BD＝1，
∴CD＝3，
∴AD＝/，
（2）过点作DE⊥AB于点E，
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∵tanB＝/，可设DE＝3y，则BE＝4y，
∵AE2+DE2＝BD2，
∴（3y）2+（4y）2＝12，
解得，y＝﹣/（舍），或y＝/，
∴/，
∴sinα＝/．
【点评】本题是解直角三角形的应用，主要考查了解直角三角形，勾股定理，第二小题关键是构造直角三角形．
2.（2019年辽宁省本溪市）小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列向题．
（1）求AC的长度（结果保留根号），
（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．
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【考点】勾股定理的应用，解直角三角形的应用
【分析】（1）过F作FH⊥DE于H，解直角三角形即可得到结论，
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
解：（1）过F作FH⊥DE于H，
∴∠FHC＝∠FHD＝90°，
∵∠FDC＝30°，DF＝30，
∴FH＝/DF＝15，DH＝/DF＝15/，
∵∠FCH＝45°，
∴CH＝FH＝15，
∴/，
∵CE：CD＝1：3，
∴DE＝/CD＝20+20/，
∵AB＝BC＝DE，
∴AC＝（40+40/）cm，
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，
∵∠ACG＝45°，
∴AG＝/AC＝20/+20/，
答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为（20/+20/）cm．
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【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
◆变式训练
1.（2019年云南省）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于 ______________.
2.（2019年湖南省张家界市）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护．如图：已知AB＝500米，BC＝800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？（结果精确到1米，参考数据：/≈1.732）
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■考点3：解直角三角形的应用
◇典例：
1.（2019年四川省遂宁市）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1，加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：/，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）
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【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】过A 作AH⊥BC于H，过E作EH⊥BC于G，于是得到四边形EGHA是矩形，求得EG＝AH，GH＝AE＝2，得到AH＝BH＝/，求得BG＝BH﹣HG＝/，得到FG＝/，根据梯形的面积公式求得梯形ABFE的面积乘以大坝的长度即可得到结论．
解：过A 作AH⊥BC于H，过E作EH⊥BC于G，
则四边形EGHA是矩形，
∴EG＝AH，GH＝AE＝2，
∵斜坡AB的坡度i＝1：1，
∴AH＝BH＝30×30＝900cm＝9米，
∴BG＝BH﹣HG＝7，
∵斜坡EF的坡度i＝1：/，
∴FG＝9/，
∴BF＝FG﹣BG＝9/﹣7，
∴S梯形ABFE＝/（2+9/﹣7）×9＝/，
∴共需土石为/×200＝100（81/﹣45）立方米．
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【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．
2.（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）如图①是图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)，其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=600．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？(参考数据：取1.73)．
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【考点】解直角三角形的应用
【分析】如图，作于，于，于．解直角三角形求出即可判断．
解：如图，作于，于，于．
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∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，∵，
∴，
∴
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴此时台灯光线为最佳．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
3.(2019年广西贺州市) 如图，在A处的正东方向有一港口B．某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B．求A，B间的距离．（/≈1.73，/≈1.4，结果保留一位小数）．
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【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，通过解直角三角形可求出BD，AD的长，将其相加即可求出AB的长．
解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，如图所示．
在Rt△BCD中，sin∠BCD＝/，cos∠BCD＝/，
∴BD＝BC?sin∠BCD＝20×3×/≈42，CD＝BC?cos∠BCD＝20×3×/≈42，
在Rt△ACD中，tan∠ACD＝/，
∴AD＝CD?tan∠ACD＝42×/≈72.7．
∴AB＝AD+BD＝72.7+42＝114.7．
∴A，B间的距离约为114.7海里．
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【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形，求出BD，AD的长是解题的关键．
◆变式训练
1.(2019年山东省威海市)如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝/，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．
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2.（2019年贵州省遵义市）某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°．求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．
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3.（2019年广西河池市）如图，在河对岸有一棵大树A，在河岸B点测得A在北偏东60°方向上，向东前进120m到达C点，测得A在北偏东30°方向上，求河的宽度（精确到0.1m）．参考数据：/≈1.414，/≈1.732．
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（2019年湖南省怀化市）已知∠α为锐角，且sinα＝/，则∠α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
（2019年江苏省苏州市）如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度是( )
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A． B． C． D．
（2019年山东省滨州市（a卷））满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（ ）
A．AB＝/，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．|cosA﹣/|+（tanB﹣/）2＝0
（2019年湖北省宜昌市）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（ ）
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A．/ B．/ C．/ D．/
（2019年浙江省金华市、丽水市）如图，矩形ABCD的对角线交于点O．已知AB＝m，∠BAC＝∠α，则下列结论错误的是（ ）
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A．∠BDC＝∠α B．BC＝m?tanα C．AO＝/ D．BD＝/
（2019年浙江省杭州市）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝ ．
（2019年湖北省随州市）计算：（π﹣2019）0﹣2cos60°＝ ．
（2019年湖北省荆州市）已知：a＝（/﹣1）（/+1）+|1﹣/|，b＝/﹣2sin45°+（/）﹣1，求b﹣a的算术平方根．
（2019年吉林省）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）
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（2019年湖北省十堰市）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3m，坝高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长．
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（2019年四川省眉山市）如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i＝1：2的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了20/米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为30°，求楼AB的高度．
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（2019年广西贺州市）如图，在A处的正东方向有一港口B．某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B．求A，B间的距离．（/≈1.73，/≈1.4，结果保留一位小数）．
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选择题
（2019年浙江省嘉兴市）如图是一个2×2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则a可以是（ ）
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A．tan60° B．﹣1 C．0 D．12019
（2019年四川省凉山州）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝/，则sinB的值为（ ）
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A．/ B．/ C．/ D．/
（2019年湖南省湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝/，则BC的长是（ ）
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A．10 B．8 C．4/ D．2/
（2019年四川省绵阳市）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sinθ﹣cosθ）2＝（ ）
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A．/ B．/ C．/ D．/
（2019年吉林省长春市）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C为（ ）
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A．3sinα米 B．3cosα米 C．/米 D．/米
【
（2019年浙江省杭州市）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（ ）
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A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx
（2019年河北省）如图，从点C观测点D的仰角是（ ）
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A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC
（2019年重庆市（a卷））为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（ ）
（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
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A．17.0米 B．21.9米 C．23.3米 D．33.3米
（2019年湖南省长沙市）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（ ）
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A．30/nmile B．60nmile
C．120nmile D．（30+30/）nmile
（2019年山东省泰安市）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30/km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（ ）km．
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A．30+30/ B．30+10/ C．10+30/ D．30/
填空题
（2019年湖北省荆门市）计算/+|sin30°﹣π0|+/＝ ．
（2019年广西柳州市）如图，在△ABC中，sinB＝/，tanC＝/，AB＝3，则AC的长为 ．
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（2019年贵州省毕节市）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是_____.
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（2019年江苏省盐城市）如图，在△ABC中，BC＝/+/，∠C＝45°，AB＝/AC，则AC的长为 ．
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（2019年四川省绵阳市）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10/，AC＝5/，则△ABC的面积是 ．
（2019年山东省淄博市（a卷））如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．
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如图1，当CD＝/AC时，tanα1＝/，
如图2，当CD＝/AC时，tanα2＝/，
如图3，当CD＝/AC时，tanα3＝/，
……
依此类推，当CD＝/AC（n为正整数）时，tanαn＝ ．
（2019年广东省）如图，某校教学楼与实验楼的水平间距米，在实验楼顶部点测得教学楼顶部点的仰角是，底部点的俯角是，则教学楼的高度是____米（结果保留根号）.
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（2019年湖北省咸宁市）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河流的两岸平行），他们在点C测得∠ACB＝30°，点D处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽AB约为 m（结果保留整数，/≈1.73）．
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解答题
（2019年北京市）计算：|﹣/|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（/）﹣1．
（2019年辽宁省辽阳市）先化简，再求值：（/+/）÷/，其中x＝3tan30°﹣（/）﹣1+/．
（2019年黑龙江省绥化市）按要求解答下列各题：
（1）如图①，求作一点P，使点P到∠ABC的两边的距离相等，且在∠ABC的边AC上．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
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（2）如图②，B、C表示两个港口，港口C在港口B的正东方向上．海上有一小岛A在港口B的北偏东600方向上，且在港口C的北偏西450方向上．测得AB=40海里，求小岛A与港口C之间的距离．（结果可保留根号）
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（2019年湖南省邵阳市）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE，支架BC与水平线AD垂直．AC＝40cm，∠ADE＝30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度（结果精确到1cm，温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
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（2019年浙江省绍兴市）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．
（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．
（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：/≈1.41，/≈1.73）
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（2019年山东省烟台市）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边OA，OB可绕点O开合，在OB边上有一固定点P，支柱PQ可绕点P转动，边OA上有六个卡孔，其中离点O最近的卡孔为M，离点O最远的卡孔为N．当支柱端点Q放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康，现测得OP的长为12cm，OM为10cm，支柱PQ为8m．
（1）当支柱的端点Q放在卡孔M处时，求∠AOB的度数，
（2）当支柱的端点Q放在卡孔N处时，∠AOB＝20.5°，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距．（结果精确到十分位）
参考数据表
计算器按键顺序
计算结果（已取近似值）
/
2.65
/
6.8
/
11.24
/
0.35
/
0.937
/
41
/
49
/
49
/
41
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（2019年河南省 (1)）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：，，，）
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（2019年湖北省随州市）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．
（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离，
（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
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第四章 图形的性质 第25节 解直角三角形
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■考点1. 锐角三角函数的定义
1.锐角三角函数 正弦: sinA＝＝
余弦: cosA＝＝
正切: tanA＝＝.
2.特殊角的三角函数值
度数
三角函数
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
■考点2：解直角三角形
1.解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2.解直角三角形的常用关系 (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝.
■考点3：解直角三角形的应用
1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）
/ / /
2.解直角三角形实际应用的一般步骤
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
/
■考点1. 锐角三角函数的定义
◇典例：
1.(2019年黑龙江省绥化市)如图，已知?ABC三个顶点的坐标分别为A(-2，-4)，B(0，-4)，C(1，-1)
（1）请在网格中，画出线段BC关于原点对称的线段B1C1；
（2）请在网格中，过点C画一条直线CD，将?ABC分成面积相等的两部分，与线段AB相交于点D，写出点D的坐标；
（3）若另有一点P(-3，-3)，连接PC，则tan∠BCP= ．
/
【考点】关于原点对称的点，三角形中线的性质，勾股定理的逆定理，正切的定义
【分析】(1)分别作出点B、C关于原点对称的点，然后连接即可；
(2)根据网格特点，找到AB的中点D，作直线CD，根据点D的位置写出坐标即可；
(3)连接BP，证明△BPC是等腰直角三角形，继而根据正切的定义进行求解即可.
解：(1)如图所示，线段B1C1即为所求作的；
(2)如图所示，D(-1，-4)；
/
(3)连接BP，则有BP2=32+12=10，
BC2=32+12=10，BC2=42+22=20，
BP2+BC2=PC2，
∴△BPC是等腰直角三角形，∠PBC=90°，
∴∠BCP=45°，
∴tan∠BCP=1，
故答案为：1.
【点睛】本题考查了作图——中心对称，三角形中线的性质，勾股定理的逆定理，正切，熟练掌握相关知识并能灵活运用网格的结构特征是解题的关键.
2.（2019年广西玉林市）计算：|/﹣1|﹣（﹣2）3﹣/+（π﹣cos60°）0．
【考点】实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值
【分析】先取绝对值符号、乘方、二次根式和零指数幂，再计算加减可得．
解：原式＝/﹣1+8﹣/+1
＝8．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握乘方的定义、绝对值性质、算术平方根的定义及零指数幂的规定．
◆变式训练
1.（2019年广东省广州市）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若，则次斜坡的水平距离AC为（ ）
/
A．75m B．50m C．30m D．12m
【考点】正切三角函数
【分析】根据BC的长度和的值计算出AC的长度即可解答.
解：因为，又BC＝30，所以，，
解得：AC＝75m，所以，
故选A.
【点睛】本题考查了正切三角函数，熟练掌握是解题的关键.
2.（2019年天津市）的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】特殊角三角函数值
【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．
解：把sin45°=代入原式得：原式=2×=.
故选：C.
【点睛】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
3.（2019年广西桂林市）计算：（﹣1）2019﹣/+tan60°+（π﹣3.14）0．
【考点】实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值
【分析】先计算乘方、化简二次根式、代入三角函数值、零指数幂，再计算加减可得．
解：原式＝﹣1﹣2/+/+1
＝﹣/．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握乘方的定义、二次根式的性质及零指数幂的规定．
■考点2：解直角三角形
◇典例
1.（2019年广西梧州市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝/．
（1）求AD的长，
（2）求sinα的值．
/
【考点】解直角三角形
【分析】（1）根据tanB＝/，可设AC＝3x，得BC＝4x，再由勾股定理列出x的方程求得x，进而由勾股定理求AD，
（2）过点D作DE⊥AB于点E，解直角三角形求得BE与DE，进而求得结果．
解：（1）∵tanB＝/，可设AC＝3x，得BC＝4x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
解得，x＝﹣1（舍去），或x＝1，
∴AC＝3，BC＝4，
∵BD＝1，
∴CD＝3，
∴AD＝/，
（2）过点作DE⊥AB于点E，
/
∵tanB＝/，可设DE＝3y，则BE＝4y，
∵AE2+DE2＝BD2，
∴（3y）2+（4y）2＝12，
解得，y＝﹣/（舍），或y＝/，
∴/，
∴sinα＝/．
【点评】本题是解直角三角形的应用，主要考查了解直角三角形，勾股定理，第二小题关键是构造直角三角形．
2.（2019年辽宁省本溪市）小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列向题．
（1）求AC的长度（结果保留根号），
（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．
/
【考点】勾股定理的应用，解直角三角形的应用
【分析】（1）过F作FH⊥DE于H，解直角三角形即可得到结论，
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
解：（1）过F作FH⊥DE于H，
∴∠FHC＝∠FHD＝90°，
∵∠FDC＝30°，DF＝30，
∴FH＝/DF＝15，DH＝/DF＝15/，
∵∠FCH＝45°，
∴CH＝FH＝15，
∴/，
∵CE：CD＝1：3，
∴DE＝/CD＝20+20/，
∵AB＝BC＝DE，
∴AC＝（40+40/）cm，
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，
∵∠ACG＝45°，
∴AG＝/AC＝20/+20/，
答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为（20/+20/）cm．
/
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
◆变式训练
1.（2019年云南省）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于 ______________.
【考点】解直角三角形
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，分点E在AB上或AB的延长线上两种情况，分别利用三角函数求出AE、DE的长，利用勾股定理求出BE的长，继而可得AB的长，然后利用平行四边形的面积公式进行求解即可.
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
/
如图1，点E在AB上，
∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=，AE=ADcos30°=6，
在Rt△DBE中，BE=，
∴AB=AE+BE=8，
∴平行四边形ABCD的面积为；
如图2，点E在AB的延长线上，
∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=，AE=ADcos30°=6，
在Rt△DBE中，BE=，
∴AB=AE-BE=4，
∴平行四边形ABCD的面积为，
故答案为：或.
【点睛】本题考查了解直角三角形，平行四边形的面积，正确地画出图形是解题的关键.
2.（2019年湖南省张家界市）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护．如图：已知AB＝500米，BC＝800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？（结果精确到1米，参考数据：/≈1.732）
/
【考点】解直角三角形的应用
【分析】测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
解：如图，过点B作BH⊥AA1于点H．
在Rt△ABH中，AB＝500，∠BAH＝30°，
∴BH＝/AB＝/（米），
∴A1B1＝BH＝250（米），
在Rt△BB1C中，BC＝800，∠CBB1＝60°，
∴/，
∴B1C＝/＝400/（米），
∴检修人员上升的垂直高度CA1＝CB1+A1B1＝400/+250≈943（米）
答：检修人员上升的垂直高度CA1为943米．
/
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
■考点3：解直角三角形的应用
◇典例：
1.（2019年四川省遂宁市）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1，加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：/，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）
/
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】过A 作AH⊥BC于H，过E作EH⊥BC于G，于是得到四边形EGHA是矩形，求得EG＝AH，GH＝AE＝2，得到AH＝BH＝/，求得BG＝BH﹣HG＝/，得到FG＝/，根据梯形的面积公式求得梯形ABFE的面积乘以大坝的长度即可得到结论．
解：过A 作AH⊥BC于H，过E作EH⊥BC于G，
则四边形EGHA是矩形，
∴EG＝AH，GH＝AE＝2，
∵斜坡AB的坡度i＝1：1，
∴AH＝BH＝30×30＝900cm＝9米，
∴BG＝BH﹣HG＝7，
∵斜坡EF的坡度i＝1：/，
∴FG＝9/，
∴BF＝FG﹣BG＝9/﹣7，
∴S梯形ABFE＝/（2+9/﹣7）×9＝/，
∴共需土石为/×200＝100（81/﹣45）立方米．
/
【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．
2.（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）如图①是图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)，其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=600．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？(参考数据：取1.73)．
/
【考点】解直角三角形的应用
【分析】如图，作于，于，于．解直角三角形求出即可判断．
解：如图，作于，于，于．
/
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，∵，
∴，
∴
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴此时台灯光线为最佳．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
3.(2019年广西贺州市) 如图，在A处的正东方向有一港口B．某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B．求A，B间的距离．（/≈1.73，/≈1.4，结果保留一位小数）．
/
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，通过解直角三角形可求出BD，AD的长，将其相加即可求出AB的长．
解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，如图所示．
在Rt△BCD中，sin∠BCD＝/，cos∠BCD＝/，
∴BD＝BC?sin∠BCD＝20×3×/≈42，CD＝BC?cos∠BCD＝20×3×/≈42，
在Rt△ACD中，tan∠ACD＝/，
∴AD＝CD?tan∠ACD＝42×/≈72.7．
∴AB＝AD+BD＝72.7+42＝114.7．
∴A，B间的距离约为114.7海里．
/
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形，求出BD，AD的长是解题的关键．
◆变式训练
1.(2019年山东省威海市)如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝/，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．
/
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数求出BM+EN的长度，再与2比较大小即可解答本题．
解：∵BH＝0.6米，sinα＝/，
∴AB＝/＝1米，
∴AH＝0.8米，
∵AF＝FC＝2米，
∴BF＝1米，
作FJ⊥BG于点J，作EK⊥FJ于点K，
∠EKF＝∠FJB＝∠AHB＝90°，∠EFK＝∠FBJ＝∠ABH，BF＝AB，
∴△EFK∽△FBJ∽△ABH，△FBJ≌△ABH，
∴/，BJ＝BH＝0.6米，
即/，
解得，EK＝1.28，
∴BJ+EK＝0.6+1.28＝1.88＜2，
∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．
/
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
2.（2019年贵州省遵义市）某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°．求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．
/
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【分析】作DE⊥BC于E，根据矩形的性质得到FC=DE，DF=EC，根据直角三角形的性质求出FC，得到AF的长，根据正弦的定义计算即可．
解：作DE⊥BC于E，
则四边形DECF为矩形，
∴FC＝DE，DF＝EC，
在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，
∴DEBD＝84，
∴FC＝DE＝84，
∴AF＝AC﹣FC＝154﹣84＝70，
在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，
∴ADAF＝70（米），
答：电动扶梯DA的长为70米．
/
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
3.（2019年广西河池市）如图，在河对岸有一棵大树A，在河岸B点测得A在北偏东60°方向上，向东前进120m到达C点，测得A在北偏东30°方向上，求河的宽度（精确到0.1m）．参考数据：/≈1.414，/≈1.732．
/
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】过点A作AD⊥直线BC，垂足为点D，在Rt△ABD和Rt△ACD中，通过解直角三角形可求出BD，CD的长，结合BC＝BD﹣CD＝120，即可求出AD的长．
解：过点A作AD⊥直线BC，垂足为点D，如图所示．
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝/，
∴BD＝AD?tan60°＝/AD，
在Rt△ACD中，tan∠CAD＝/，
∴CD＝AD?tan30°＝/AD．
∴BC＝BD﹣CD＝/AD＝120，
∴AD＝103.9．
∴河的宽度为103.9米．
/
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，利用解直角三角形结合BC＝BD﹣CD＝120，找出关于AD的长的一元一次方程是解题的关键．
/
（2019年湖南省怀化市）已知∠α为锐角，且sinα＝/，则∠α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【考点】特殊角的三角函数值
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
解：∵∠α为锐角，且sinα＝/，
∴∠α＝30°．
故选：A．
【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．
（2019年江苏省苏州市）如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度是( )
/
A． B． C． D．
【考点】解直角三角形
【分析】过作交于，得到DE，在中，，求出AE，从而求出AB
解：过作交于，
在中，
故选C
/
【点睛】本题主要考查解直角三角形，能够构造出直角三角形是本题解题关键
（2019年山东省滨州市（a卷））满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（ ）
A．AB＝/，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．|cosA﹣/|+（tanB﹣/）2＝0
【考点】非负数的性质：绝对值，非负数的性质：偶次方，：三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，特殊角的三角函数值
【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．
解：A．∵/，∴△ABC是直角三角形，错误，
B、∵（3x）2+（4x）2＝9x2+16x2＝25x2＝（5x）2，∴△ABC是直角三角形，错误，
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝/，∴△ABC不是直角三角形，正确，
D、∵|cosA﹣/|+（tanB﹣/）2＝0，∴/，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，错误，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．
（2019年湖北省宜昌市）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（ ）
/
A．/ B．/ C．/ D．/
【考点】勾股定理，解直角三角形
【分析】过C作CD⊥AB于D，首先根据勾股定理求出AC，然后在Rt△ACD中即可求出sin∠BAC的值．
解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，
∴AC＝/＝/＝5．
∴sin∠BAC＝/＝/．
故选：D．
/
【点评】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
（2019年浙江省金华市、丽水市）如图，矩形ABCD的对角线交于点O．已知AB＝m，∠BAC＝∠α，则下列结论错误的是（ ）
/
A．∠BDC＝∠α B．BC＝m?tanα C．AO＝/ D．BD＝/
【考点】矩形的性质；解直角三角形．
【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，AB＝DC，再解直角三角形求出即可．
解：A．∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝OB＝CO＝DO，
∴∠DBC＝∠ACB，
∴由三角形内角和定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α，故本选项不符合题意；
B、在Rt△ABC中，tanα＝/，
即BBC＝m?tanα，故本选项不符合题意；
C、在Rt△ABC中，AC＝/，即AO＝/，故本选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝m，
∵∠BAC＝∠BDC＝α，
∴在Rt△DCB中，BD＝/，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
（2019年浙江省杭州市）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝ ．
【考点】锐角三角函数的定义
【分析】讨论：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝/x，然后根据余弦的定义求cosC的值，若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝/x，然后根据余弦的定义求cosC的值．
解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝/＝/x，所以cosC＝/＝/＝/，
若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝/＝/x，所以cosC＝/＝/＝/，
综上所述，cosC的值为/或/．
故答案为/或/．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算．
（2019年湖北省随州市）计算：（π﹣2019）0﹣2cos60°＝ ．
【考点】实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值
【分析】原式利用零指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
解：原式＝1﹣2×/＝1﹣1＝0，
故答案为：0
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（2019年湖北省荆州市）已知：a＝（/﹣1）（/+1）+|1﹣/|，b＝/﹣2sin45°+（/）﹣1，求b﹣a的算术平方根．
【考点】实数的运算，平方差公式，负整数指数幂，特殊角的三角函数值
【分析】利用平方差公式和绝对值的计算法则求得a的值，由二次根式的化简，特殊角的三角函数值已经负整数指数幂求得b的值，代入求值即可．
解：∵a＝（/﹣1）（/+1）+|1﹣/|＝3﹣1+/﹣1＝1+/，
b＝/﹣2sin45°+（/）﹣1＝2/﹣/+2＝/+2．
∴b﹣a＝/+2﹣1﹣/＝1．
∴/＝/＝1．
【点评】考查了实数的运算，平方差公式，属于基础计算题，也是易错题，注意：本题求得是b﹣a的算术平方根，不是（b﹣a）的值．
（2019年吉林省）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）
/
【考点】解直角三角形的应用
【分析】过C作CF⊥AB于F，于是得到∠AFC＝90°，解直角三角形即可得到结论．
解：过C作CF⊥AB于F，
则∠AFC＝90°，
在Rt△ACF中，AC＝30，∠CAF＝43°，
∵cos∠CAF＝/，
∴AF＝AC?cos∠CAF＝30×0.73＝21.9，
∴CE＝BF＝AB+AF＝170+21.9＝191.9≈192（cm），
答：花洒顶端C到地面的距离CE为192cm．
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【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
（2019年湖北省十堰市）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3m，坝高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长．
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【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，得到四边形AEFD是矩形，根据矩形的性质得到AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，解直角三角形即可得到结论．
解：过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，
则四边形AEFD是矩形，有AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，
∵坡角α＝45°，β＝30°，
∴BE＝AE＝6，CF＝/DF＝6/，
∴BC＝BE+EF+CF＝6+3+6/＝9+6/，
∴BC＝（9+6/）m，
答：BC的长（9+6/）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解．
（2019年四川省眉山市）如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i＝1：2的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了20/米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为30°，求楼AB的高度．
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【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】由i＝/＝/，DE2+EC2＝CD2，解得DE＝20m，EC＝40m，过点D作DG⊥AB于G，过点C作CH⊥DG于H，则四边形DEBG、四边形DECH、四边形BCHG都是矩形，证得AB＝BC，设AB＝BC＝xm，则AG＝（x﹣20）m，DG＝（x+40）m，在Rt△ADG中，/＝tan∠ADG，代入即可得出结果．
解：在Rt△DEC中，∵i＝/＝/，DE2+EC2＝CD2，CD＝20/，
∴DE2+（2DE）2＝（20/）2，
解得：DE＝20（m），
∴EC＝40m，
过点D作DG⊥AB于G，过点C作CH⊥DG于H，如图所示：
则四边形DEBG、四边形DECH、四边形BCHG都是矩形，
∵∠ACB＝45°，AB⊥BC，
∴AB＝BC，
设AB＝BC＝xm，则AG＝（x﹣20）m，DG＝（x+40）m，
在Rt△ADG中，∵/＝tan∠ADG，
∴/＝/，
解得：x＝50+30/．
答：楼AB的高度为（50+30/）米．
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【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．
（2019年广西贺州市）如图，在A处的正东方向有一港口B．某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B．求A，B间的距离．（/≈1.73，/≈1.4，结果保留一位小数）．
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【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，通过解直角三角形可求出BD，AD的长，将其相加即可求出AB的长．
解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，如图所示．
在Rt△BCD中，sin∠BCD＝/，cos∠BCD＝/，
∴BD＝BC?sin∠BCD＝20×3×/≈42，CD＝BC?cos∠BCD＝20×3×/≈42，
在Rt△ACD中，tan∠ACD＝/，
∴AD＝CD?tan∠ACD＝42×/≈72.7．
∴AB＝AD+BD＝72.7+42＝114.7．
∴A，B间的距离约为114.7海里．
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【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形，求出BD，AD的长是解题的关键．
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选择题
（2019年浙江省嘉兴市）如图是一个2×2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则a可以是（ ）
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A．tan60° B．﹣1 C．0 D．12019
【考点】实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和立方根的性质分别化简得出答案．
解：由题意可得：a+|﹣2|＝/+20，
则a+2＝3，
解得：a＝1，
故a可以是12019．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
（2019年四川省凉山州）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝/，则sinB的值为（ ）
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A．/ B．/ C．/ D．/
【考点】解直角三角形
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中可求出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出sinB的值．
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ACD中，CD＝CA?cosC＝1，
∴AD＝/＝/，
在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝/，
∴AB＝/＝2/，
∴sinB＝/＝/．
故选：D．
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【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB的长是解题的关键．
（2019年湖南省湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝/，则BC的长是（ ）
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A．10 B．8 C．4/ D．2/
【考点】线段垂直平分线的性质，解直角三角形
【分析】设CD＝5x，BD＝7x，则BC＝2/x，由AC＝12即可求x，进而求出BC，
解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝/，
设CD＝5x，BD＝7x，
∴BC＝2/x，
∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，
∴AD＝BD＝7x，
∴AC＝12x，
∵AC＝12，
∴x＝1，
∴BC＝2/，
故选：D．
【点评】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形函数的三角函数值，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
（2019年四川省绵阳市）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sinθ﹣cosθ）2＝（ ）
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A．/ B．/ C．/ D．/
【考点】数学常识，勾股定理的证明，解直角三角形的应用
【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为5/，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，
∴大正方形的边长为5/，小正方形的边长为5，
∴5/cosθ﹣5/sinθ＝5，
∴cosθ﹣sinθ＝/，
∴（sinθ﹣cosθ）2＝/．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的证明，正方形的面积，难度适中．
（2019年吉林省长春市）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C为（ ）
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A．3sinα米 B．3cosα米 C．/米 D．/米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinα＝/＝/，进而得出答案．
解：由题意可得：sinα＝/＝/，
故BC＝3sinα（m）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
（2019年浙江省杭州市）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（ ）
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A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx
【考点】矩形的性质，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC的距离，本题得以解决．
解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，
∴∠EAB＝x，
∴∠FBA＝x，
∵AB＝a，AD＝b，
∴FO＝FB+BO＝a?cosx+b?sinx，
故选：D．
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【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（2019年河北省）如图，从点C观测点D的仰角是（ ）
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A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】根据仰角的定义进行解答便可．
解：∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，
∴从点C观测点D的仰角是∠DCE，
故选：B．
【点评】本题主要考查了仰角的识别，熟记仰角的定义是解题的关键．仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2019年重庆市（a卷））为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（ ）
（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
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A．17.0米 B．21.9米 C．23.3米 D．33.3米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】如图，根据已知条件得到/＝1：2.4＝/，设CF＝5k，AF＝12k，根据勾股定理得到AC＝/＝13k＝26，求得AF＝10，CF＝24，得到EF＝6+24＝30，根据三角函数的定义即可得到结论．
解：如图，设CD与EA交于F，
∵/＝1：2.4＝/，
∴设CF＝5k，AF＝12k，
∴AC＝/＝13k＝26，
∴k＝2，
∴AF＝24，CF＝10，
∵AE＝6，
∴EF＝6+24＝30，
∵∠DEF＝48°，
∴tan48°＝/＝/＝1.11，
∴DF＝33.3，
∴CD＝33.3﹣10＝23.3，
答：古树CD的高度约为23.3米，
故选：C．
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【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
（2019年湖南省长沙市）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（ ）
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A．30/nmile B．60nmile
C．120nmile D．（30+30/）nmile
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．
解：过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．
在Rt△ACD中，cos∠ACD＝/，
∴CD＝AC?cos∠ACD＝60×/＝30/．
在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD＝30/，
∴AB＝AD+BD＝30+30/．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30/）nmile．
故选：D．
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【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
（2019年山东省泰安市）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30/km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（ ）km．
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A．30+30/ B．30+10/ C．10+30/ D．30/
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30/，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．
解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30/，
过B作BE⊥AC于E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30/，
∴AE＝BE＝/AB＝30km，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，
∴CE＝/BE＝10/km，
∴AC＝AE+CE＝30+10/，
∴A，C两港之间的距离为（30+10/）km，
故选：B．
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【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．
填空题
（2019年湖北省荆门市）计算/+|sin30°﹣π0|+/＝ ．
【考点】实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、立方根的性质分别化简得出答案．
解：原式＝2﹣/+1﹣/﹣/
＝1﹣/．
故答案为：1﹣/．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
（2019年广西柳州市）如图，在△ABC中，sinB＝/，tanC＝/，AB＝3，则AC的长为 ．
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【考点】解直角三角形
【分析】过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可．
解：过A作AD⊥BC，
在Rt△ABD中，sinB＝/，AB＝3，
∴AD＝AB?sinB＝1，
在Rt△ACD中，tanC＝/，
∴/＝/，即CD＝/，
根据勾股定理得：AC＝/＝/＝/，
故答案为：/
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【点评】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
（2019年贵州省毕节市）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是_____.
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【考点】解直角三角形
【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案.
解：过点B作BM⊥FD于点M，
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在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10，
∵AB∥CF，
∴∠BCM=∠ABC=30°，
∴BM＝BC×sin30°＝＝5，
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5，
故答案是：15﹣5.
【点睛】本题考查了解直角三角形，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键.
（2019年江苏省盐城市）如图，在△ABC中，BC＝/+/，∠C＝45°，AB＝/AC，则AC的长为 ．
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【考点】勾股定理，解直角三角形
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设AC＝x，则AB＝/x，在Rt△ACD中，通过解直角三角形可得出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得出BD的长，由BC＝BD+CD结合BC＝/+/可求出x的值，此题得解．
解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D，如图所示．
设AC＝x，则AB＝/x．
在Rt△ACD中，AD＝AC?sinC＝/x，
CD＝AC?cosC＝/x，
在Rt△ABD中，AB＝/x，AD＝/x，
∴BD＝/＝/．
∴BC＝BD+CD＝/x+/x＝/+/，
∴x＝2．
故答案为：2．
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【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及解一元一次方程，通过解直角三角形及勾股定理，找出BC与AC之间的关系是解题的关键．
（2019年四川省绵阳市）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10/，AC＝5/，则△ABC的面积是 ．
【考点】勾股定理，解直角三角形
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD，BD，CD的长，进而可得出BC的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积．
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ABD中，AD＝AB?sinB＝10，BD＝AB?cosB＝10，
在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝5/，
∴CD＝/＝5，
∴BC＝BD+CD＝15或BC＝BD﹣CD＝5，
∴S△ABC＝/BC?AD＝75或25．
故答案为：75或25．
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【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，BC的长度是解题的关键．
（2019年山东省淄博市（a卷））如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．
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如图1，当CD＝/AC时，tanα1＝/，
如图2，当CD＝/AC时，tanα2＝/，
如图3，当CD＝/AC时，tanα3＝/，
……
依此类推，当CD＝/AC（n为正整数）时，tanαn＝ ．
【考点】规律型：图形的变化类，等腰直角三角形，翻折变换（折叠问题），解直角三角形
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n+1，
分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5，5，12，13，7，24，25，9，40，41，…，2n+1，/，/中的中间一个．
∴tanαn＝/＝/．
故答案为：/．
【点评】本题考查规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
（2019年广东省）如图，某校教学楼与实验楼的水平间距米，在实验楼顶部点测得教学楼顶部点的仰角是，底部点的俯角是，则教学楼的高度是____米（结果保留根号）.
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【考点】解直角三角形的应用
【分析】过点B作BM⊥AC，垂足为E，则∠ABE=30°，∠CBE=45°，四边形CDBE是矩形，继而证明∠CEB=∠CBE，从而可得CE长，在Rt△ABE中，利用tan∠ABE=，求出AE长，继而可得AC长.
解：过点B作BM⊥AC，垂足为E，
则∠ABE=30°，∠CBE=45°，四边形CDBE是矩形，
∴BE=CD=15，
∵∠CEB=90°，
∴∠CEB=90°-∠CBE=45°=∠CBE，
∴CE=BE=15，
在Rt△ABE中，tan∠ABE=，
即，
∴AE=15，
∴AC=AE+CE=15+15，
即教学楼AC的高度是(15+15)米，
故答案为：(15+15).
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【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解题的关键.
（2019年湖北省咸宁市）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河流的两岸平行），他们在点C测得∠ACB＝30°，点D处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽AB约为 m（结果保留整数，/≈1.73）．
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【考点】勾股定理的应用，解直角三角形的应用
【分析】在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，则∠DAC＝30°，所以DA＝DC＝80，在Rt△ABD中，通过三角函数关系求得AB的长．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴DA＝DC＝80，
在Rt△ABD中，
/，
∴/＝/＝40/≈69（米），
故答案为69．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
解答题
（2019年北京市）计算：|﹣/|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（/）﹣1．
【考点】实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案
解：原式＝/﹣1+2×/+4＝/﹣1+/+4＝3+/．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
（2019年辽宁省辽阳市）先化简，再求值：（/+/）÷/，其中x＝3tan30°﹣（/）﹣1+/．
【考点】实数的运算，分式的化简求值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
解：（/+/）÷/
＝[/]/
＝（/）/
＝/
＝x+1，
当x＝3tan30°﹣（/）﹣1+/＝3×/﹣3+2/＝/﹣3+2/＝3/﹣3时，原式＝3/﹣3+1＝/﹣2．
【点评】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
（2019年黑龙江省绥化市）按要求解答下列各题：
（1）如图①，求作一点P，使点P到∠ABC的两边的距离相等，且在∠ABC的边AC上．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
/
（2）如图②，B、C表示两个港口，港口C在港口B的正东方向上．海上有一小岛A在港口B的北偏东600方向上，且在港口C的北偏西450方向上．测得AB=40海里，求小岛A与港口C之间的距离．（结果可保留根号）
/
【考点】尺规作图——作角平分线，解直角三角形的应用
【分析】(1)作出∠ABC的平分线(以点B为圆心，以任意长为半径画弧，与AB、BC各交一点，然后分别以这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧在三角形内部交于一点，过点B及这个点作射线)交AC于点P即可；
(2)过点作于点，由题意得，，在中，求出AD的长，继而在中，求出AC长即可.
解：(1)如图所示：
/
作出的平分线
标出点.
(2)过点作于点，
/
由题意得，，
在中，
，
，
在中，
，
(海里)，
答：小岛与港口之间的距离是海里.
【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，解直角三角形的应用，正确掌握作角平分线的方法是解(1)的关键，添加辅助线构建直角三角形是解(2)的关键.
（2019年湖南省邵阳市）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE，支架BC与水平线AD垂直．AC＝40cm，∠ADE＝30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度（结果精确到1cm，温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
/
【考点】解直角三角形的应用
【分析】设OE＝OB＝2x，根据含30度角的直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
解：设OE＝OB＝2x，
∴OD＝DE+OE＝190+2x，
∵∠ADE＝30°，
∴OC＝/OD＝95+x，
∴BC＝OC﹣OB＝95+x﹣2x＝95﹣x，
∵tan∠BAD＝/，
∴2.14＝/，
解得：x≈9，
∴OB＝2x＝18．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
（2019年浙江省绍兴市）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．
（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．
（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：/≈1.41，/≈1.73）
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【考点】解直角三角形的应用
【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．
（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF﹣DE即可解决问题．
解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．
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∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，
∴四边形ABOE是矩形，
∴∠OBA＝90°，
∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，
∴OD＝BD?sin60°＝20/（cm），
∴DF＝OD+OE＝OD+AB＝20/+5≈39.6（cm）．
（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，
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∵∠CBH＝60°，∠CHB＝90°，
∴∠BCH＝30°，
∵∠BCD＝165°，
°∠DCP＝45°，
∴CH＝BCsin60°＝10/（cm），DP＝CDsin45°＝10/（cm），
∴DF＝DP+PG+GF＝DP+CH+AB＝（10/+10/+5）（cm），
∴下降高度：DE﹣DF＝20/+5﹣10/﹣10/﹣5＝10/﹣10/＝3.2（cm）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
（2019年山东省烟台市）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边OA，OB可绕点O开合，在OB边上有一固定点P，支柱PQ可绕点P转动，边OA上有六个卡孔，其中离点O最近的卡孔为M，离点O最远的卡孔为N．当支柱端点Q放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康，现测得OP的长为12cm，OM为10cm，支柱PQ为8m．
（1）当支柱的端点Q放在卡孔M处时，求∠AOB的度数，
（2）当支柱的端点Q放在卡孔N处时，∠AOB＝20.5°，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距．（结果精确到十分位）
参考数据表
计算器按键顺序
计算结果（已取近似值）
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2.65
/
6.8
/
11.24
/
0.35
/
0.937
/
41
/
49
/
49
/
41
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【考点】计算器—三角函数，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】（1）如图，过点P作PH⊥OA于点H．设OH＝x，则HM＝10﹣x，由勾股定理得122﹣x2＝82﹣（10﹣x）2，解得x＝9，即OH＝9（cm），cos∠AOB＝/＝/＝0.75，由表可知，∠AOB为41°，
（2）过点P作PH⊥OA于点H．在Rt△OPH中，/，OH＝11.244（cm），/，PH＝4.2（cm），HN＝/（cm），ON＝OH+HN＝11.244+6.8＝18.044（cm），MN＝ON﹣OM＝18.044﹣10＝8.044（cm）电脑台面的角度可达到六档调节，相邻两个卡孔的距离相同，相邻两个卡孔的距离为8.044÷（6﹣1）≈1.6（cm）．
解：（1）如图，过点P作PH⊥OA于点H．
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设OH＝x，则HM＝10﹣x，
由勾股定理得
OP2﹣OH2＝PH2，MP2﹣HM2＝PH2，
∴OP2﹣OH2＝MP2﹣HM2，
即122﹣x2＝82﹣（10﹣x）2，
解得x＝9，
即OH＝9（cm），
∴cos∠AOB＝/＝/＝0.75，
由表可知，∠AOB为41°，
（2）过点P作PH⊥OA于点H．
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在Rt△OPH中，
/，
OH＝11.244（cm），
/，
∴PH＝4.2（cm），
∴HN＝/（cm），
∴ON＝OH+HN＝11.244+6.8＝18.044（cm），
∴MN＝ON﹣OM＝18.044﹣10＝8.044（cm）
∵电脑台面的角度可达到六档调节，相邻两个卡孔的距离相同，
∴相邻两个卡孔的距离为8.044÷（6﹣1）≈1.6（cm）
答：相邻两个卡孔的距离约为1.6cm．
【点评】本题考查了直角三角形边角关系，熟练运用三角函数是解题的关键．
（2019年河南省 (1)）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：，，，）
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【考点】解直角三角形的应用-仰角和俯角问题
【分析】由三角函数求出，得出，在中，由三角函数得出，即可得出答案．
解：，，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
答：炎帝塑像DE的高度约为51m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中．
（2019年湖北省随州市）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．
（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离，
（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
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【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】（1）作PC⊥AB于C，则∠PCA＝∠PB＝90°，由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠BPC＝45°，由直角三角形的性质得出PC＝/PA＝60海里，△BCP是等腰直角三角形，得出PB＝/PC＝60/海里即可，
（2）求出救助船A．B所用的时间，即可得出结论．
解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：
则∠PCA＝∠PB＝90°，
由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠BPC＝45°，
∴PC＝/PA＝60海里，△BCP是等腰直角三角形，
∴BC＝PC＝60海里，PB＝/PC＝60/海里，
答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60/海里，
（2）∵PA＝120海里，PB＝60/海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，
∴救助船A所用的时间为/＝3（小时），救助船B所用的时间为/＝2/（小时），
∵3＞2/，
∴救助船B先到达．
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【点评】本题考查了解直角三角形的应用、方向角、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
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