高中数学人教A版选修 4-5课件：1.2.1 绝对值三角不等式 :22张PPT

课件22张PPT。二　绝对值不等式1.绝对值三角不等式1.绝对值的几何意义
(1)实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.
(2)对于任意实数a,b,设它们在数轴上的对应点分别为A,B,|a-b|表示数轴上A,B两点之间的距离,即线段AB的长度.
2.绝对值三角不等式
(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
(2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.名师点拨绝对值三角不等式的完整形式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
其中,(1)|a+b|=|a|-|b|成立的条件是ab≤0,且|a|≥|b|;
(2)|a+b|=|a|+|b|成立的条件是ab≥0;
(3)|a-b|=|a|-|b|成立的条件是ab≥0,且|a|≥|b|;
(4)|a-b|=|a|+|b|成立的条件是ab≤0.做一做1　若|lg ab|=|lg a|+|lg b|成立,则实数a,b满足的条件可以是(　　)?
A.ab>1 B.0C.01
解析：由已知得|lg a+lg b|=|lg a|+|lg b|,所以lg a·lg b≥0,因此a>1,且b>1或0答案：C3.绝对值三角不等式的几何意义
(1)若a,b是任意不共线的向量,则有|a+b|<|a|+|b|,其几何意义是:三角形的两边之和大于第三边.
(2)|a-c|≤|a-b|+|b-c|的几何意义是:数轴上任意一点到两点的距离之和,不小于这两点的距离.
做一做2　若x,y,z是任意三个互不相等的实数,且a= ,则实数a的取值范围是　　　　　.?答案：[1,+∞) 思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)在|a+b|≤|a|+|b|中,等号成立的条件是a,b同号. (　　)
(2)|a-b|=|a|+|b|成立的条件是ab≤0. (　　)
(3)数轴上任意一点到两点的距离之和,大于这两点间的距离. (　　)
(4)形如|x-a|+|x-b|的代数式只有最小值没有最大值. (　　)× √ × √ 探究一探究二探究三思维辨析对绝对值三角不等式的理解?
【例1】 若|a-c|A.|a|<|b|+|c| B.|c|<|b|+|a|
C.|b|>|a|-|c| D.|b|<|a|+|c|
分析：利用绝对值三角不等式,结合不等式的传递性进行判断.
解析：因为|a-c|0,|b|=b.
因为|a|-|c|≤|a-c|,所以|a|-|c|<|b|,即选项C正确,这时|a|<|b|+|c|,选项A正确;
因为|c|-|a|≤|a-c|,所以|c|-|a|<|b|,所以|c|<|b|+|a|,选项B正确;选项D无法判断.
答案：D探究一探究二探究三思维辨析反思感悟判断绝对值不等式是否成立的技巧
1.注意对影响不等号的因素进行分析,如一个数是正数,是负数还是零等,数(或式子)的积、平方、取倒数等也都对不等号产生影响,注意考察这些因素在不等式中的作用.
2.如果对不等式不能直接判断,可以对不等式化简整理或变形后再利用绝对值不等式进行判断.
3.注意不等式性质尤其是传递性的正确应用.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1　已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是(　　)?
A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b|
C.|a-b|<||a|-|b|| D.|a-b|<|a|+|b|
解析：因为ab<0,所以|a-b|=|a|+|b|,
|a+b|<|a|+|b|,所以|a+b|<|a-b|.
答案：B探究一探究二探究三思维辨析利用绝对值三角不等式求最值?
【例2】 求解下列各题:
(1)求函数f(x)=|x-4|-|x+2|的最大值和最小值.
(2)若函数f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值等于5,求实数a的值.
分析：(1)利用绝对值三角不等式求解,注意等号成立的条件;(2)先用a表示函数的最小值,再求得实数a的值.
解：(1)由绝对值三角不等式可得||x-4|-|x+2||≤|(x-4)-(x+2)|,即||x-4|-|x+2||≤6,所以-6≤|x-4|-|x+2|≤6,故函数f(x)的最小值是-6,最大值是6.
(2)由绝对值三角不等式可得|(x-a)-(x-1)|≤|x-a|+|x-1|,即|x-a|+|x-1|≥|1-a|,所以函数f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值为|1-a|,于是|1-a|=5,解得a=-4或6.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟利用绝对值三角不等式求最值的技巧
1.绝对值三角不等式反映了绝对值之间的关系,形如y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值,均可利用该不等式或其几何意义进行求解.
2.一般地,函数y=|x-a|+|x-b|有最小值|a-b|,无最大值;函数y=|x-a|-|x-b|的最大值为|a-b|,最小值为-|a-b|.
3.求最值时,还应注意等号成立的条件.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2　(1)函数f(x)=|2x+1|+|2x-4|的最小值等于　　　　　.?
(2)若|x-2|-|x-3|>m恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　.?
解析：(1)f(x)=|2x+1|+|2x-4|≥|(2x+1)-(2x-4)|=5,所以函数的最小值为5.
(2)因为函数y=|x-2|-|x-3|的最小值为-1,所以实数m的取值范围是m<-1.
答案：(1)5　(2)m<-1探究一探究二探究三思维辨析利用绝对值三角不等式证明不等式?
【例3】 已知 ,求证|(A+B+C)-(a+b+c)|分析：先将求证不等式左边进行变形,重新组合,与已知条件相对应,再利用绝对值三角不等式证明.
证明：|(A+B+C)-(a+b+c)|=|(A-a)+(B-b)+(C-c)|反思感悟利用绝对值三角不等式证明的技巧
1.含绝对值不等式的证明一般可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用绝对值三角不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明.
2.注意与不等式性质、证明不等式其他方法的结合.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3　已知|x-a|<ε,|y-b|<ε,求证|x+3y-a-3b|<4ε.?
证明：|x+3y-a-3b|=|(x-a)+3(y-b)|≤|x-a|+|3(y-b)|=|x-a|+3|y-b|<ε+3ε=4ε,故原不等式成立.探究一探究二探究三思维辨析因题意理解不清致错
典例若关于x的不等式|x+5|+|x+7|>a的解集不是R,则实数a的取值范围是　　　　　.?
错解依题意得a>(|x+5|+|x+7|)min,而(|x+5|+|x+7|)min=2,所以a>2.正解若关于x的不等式|x+5|+|x+7|>a的解集是R,则该不等式恒成立,因此a<(|x+5|+|x+7|)min.
而(|x+5|+|x+7|)min=2,所以a<2,故要使不等式的解集不是R,实数a的取值范围是a≥2.
答案[2,+∞)纠错心得由于对“解集不是R”的意义理解不清而导致错解,事实上,可以利用补集思想解决这个问题,即先求出当不等式解集为R时a的取值范围,再取其补集即可.探究一探究二探究三思维辨析变式训练　若关于x的不等式|x+5|-|x-3|>a有解,则实数a的取值范围是　　　　　.?
解析：因为|x+5|-|x-3|的最大值等于8,所以当a≥8时,不等式|x+5|-|x-3|>a无解,从而当不等式有解时,实数a的取值范围是(-∞,8).
答案：(-∞,8)1 2 3 4 51.若|a+b|≥|a|+|b|,则必有(　　)
A.ab≤0 B.ab≥0 C.ab>0 D.ab<0
解析：因为|a+b|≤|a|+|b|,又|a+b|≥|a|+|b|,所以|a+b|=|a|+|b|,因此必有ab≥0.
答案：B1 2 3 4 52.函数f(x)=|x+2|+|x-2|的最小值为(　　)
A.4 B.2 C.0 D.-4
解析：因为|x+2|+|x-2|≥|(x+2)-(x-2)|=4,所以函数f(x)的最小值为4.
答案：A1 2 3 4 53.若|x-a|A.|x-y|<2h
B.|x-y|<2k
C.|x-y|D.|x-y|<|h-k|
解析：|x-y|=|(x-a)+(a-y)|≤|x-a|+|a-y|答案：C1 2 3 4 54.函数y=|4x-1|-|4x+2|的值域为　　　　　.?
解析：因为||4x-1|-|4x+2||≤|(4x-1)-(4x+2)|=3,所以-3≤|4x-1|-|4x+2|≤3,故函数y的值域为[-3,3].
答案：[-3,3]1 2 3 4 5证明：分两种情况:
(1)|a|≤|b|,结论显然成立.
(2)当|a|>|b|时,因为|a2-b2|≥|a2|-|b2|
=|a|2-|b|2=(|a|+|b|)(|a|-|b|)
≥|a|(|a|-|b|),