高中数学人教A版选修 4-1课件：3.1 平行射影 :25张PPT

课件25张PPT。第三讲　圆锥曲线性质的探讨一　平行射影1231.正射影
(1)点的正射影:给定一个平面α,从一点A作平面α的垂线,垂足为点A',称点A'为点A在平面α上的正射影.
(2)图形的正射影:一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形,称为这个图形在平面α上的正射影.
(3)圆面的正射影:
①如果一个圆所在的平面与平面α平行,那么这个圆在平面α上的正射影是一个圆;
②如果一个圆所在的平面与平面α垂直,那么这个圆在平面α上的正射影是一条线段;
③如果一个圆所在的平面与平面α既不平行也不垂直,那么这个圆在平面α上的正射影是一个椭圆. 123123做一做1　两条平行直线在平面α内的正射影可能是　　　　　.?
①两条平行直线;②两条相交直线;③一条直线;④两个点;⑤一条直线和一个点.
解析设这两条平行直线所确定的平面为β,则当β与α垂直时,射影是一条直线或两个点;当β与α平行或斜交时,射影是两条平行直线.两条平行直线在平面α内的正射影不可能是两条相交直线,也不可能是一条直线和一个点.
答案①③④1232.平行射影
(1)设直线l与平面α相交(如图),称直线l的方向为投影方向.过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交α于一点A',称点A'为A沿l的方向在平面α上的平行射影.一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形,叫做这个图形的平行射影.
(2)正射影是平行射影的特例.123123做一做2　下列说法正确的是(　　)?
A.正射影和平行射影是两种截然不同的射影
B.投影线与投影平面有且只有一个交点
C.投影方向可以平行于投影平面
D.一个图形在某个平面的平行射影是唯一的
解析∵正射影是平行射影的特例,本质是相同的,故A错误;
∵过平面外一点与平面相交的直线与平面只有一个交点,投影线就是这样的直线,
∴B是正确的;
∵投影方向与平面只能相交,故C是错误的;
∵一个图形在一个平面的射影与投影方向有关,方向改变了,就得出另外的射影,故D错误.
答案B1233.椭圆
(1)椭圆定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.
(2)椭圆与圆柱截面的关系:用一个平面去截一个圆柱,当平面与圆柱两底面平行时,截面是圆;当平面与圆柱两底面不平行时,截面是椭圆.
做一做3　用与圆柱的轴成锐角的平面截圆柱所得的截面图形是　　　　　.?
解析由题意知平面与圆柱的底面不平行,所以截面图形是一个椭圆.
答案椭圆123思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)直线或线段的正射影有可能是一个点. (　　)
(2)平行直线的平行射影一定是平行直线. (　　)
(3)矩形的平行射影不可能是平行四边形. (　　)
(4)与投射面垂直的平面图形,其平行射影与原图形全等. (　　)
(5)一个平面截圆柱,截面可能是椭圆. (　　)
答案(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√探究一探究二思维辨析探究一对正射影与平行射影的理解?
【例1】 线段AB,CD在同一平面内的正射影相等,则线段AB,CD的长度关系为(　　)
A.AB>CD B.ABC.AB=CD D.无法确定
解析由于线段AB,CD与平面所成的角未定,虽然射影相等,但线段AB,CD的长度没有确定,故它们的长度关系也无法确定.
答案D探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析变式训练1?直角∠AOB在平面α内的正射影可以是:①一条射线;②一条直线;③直角;④钝角;⑤直角三角形.其中说法正确的序号是　　　　　.?
解析设直角∠AOB所在平面为β,则当α⊥β时,∠AOB在平面内的正射影是一条射线或一条直线;当β∥α时,正射影与原图形全等,因此,此时∠AOB的正射影为直角;当β与α的夹角变化时,∠AOB的正射影可以是锐角、直角或钝角,但构不成直角三角形,故正确的序号是①②③④.
答案①②③④探究一探究二思维辨析探究二正射影与平行射影的应用?
【例2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BB1,BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正射影为下列各图中的(　　)探究一探究二思维辨析解析要确定阴影部分在平面ADD1A1上的正射影,则投影光线即与面ADD1A1垂直,显然点D的正射影为点D,点N的正射影为边AD的中点,点M的正射影为边A1A的中点,故选A.
答案A探究一探究二思维辨析变式训练2?
如图,Rt△ABC的斜边BC在平面α内,顶点A在平面α上的正射影A'不在BC边所在直线上时,试判断△ABC在平面α上的正射影是何种三角形?
解∵AA'⊥α,∴AA'⊥A'B,AA'⊥A'C,因此A'B在Rt△ABC中,AB2+AC2=BC2,∴A'B2+A'C290°.
∴△A'BC是钝角三角形,即△ABC在平面α上的正射影是钝角三角形.探究一探究二思维辨析对平行射影理解不清致误
典例有下列4个命题:①矩形的平行射影一定是矩形;②矩形的正射影一定是矩形;③梯形的平行射影一定是梯形;④梯形的正射影一定是梯形,其中正确命题的个数是 (　　)
A.0 B.1 C.3 D.4
错解B或C或D.
正解①矩形的平行射影可以是矩形、平行四边形或线段,因而一定是矩形不成立;②矩形的正射影也有矩形、平行四边形、线段三种情况,因而矩形的正射影一定是矩形不正确;③梯形的平行射影可以是梯形、线段,因而梯形的平行射影一定是梯形不正确;④梯形的正射影也可能是梯形、线段,因而说梯形的正射影一定是梯形的说法是错误的,故选A.探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析变式训练　一个正方形利用平行投影后得到的图形是 (　　)?
A.正方形
B.正方形或矩形
C.正方形或矩形或线段
D.以上都不对
解析正方形与投影面的位置关系不同时,得到的图形不同.
答案D123451.△ABC在平面α上的正射影是(　　)
A.三角形 B.直线
C.线段 D.三角形或线段
解析当△ABC所在平面垂直于α时,△ABC在α上的正射影是一条线段,否则是三角形.
答案D123452.一个圆的正射影不可能是(　　)
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.线段
解析当圆所在平面与射影平面平行时,正射影是圆,不平行时是椭圆,垂直时是线段,故不可能是抛物线.
答案C123453.平面上两个定点A和B的距离为5,动点P到A,B的距离之和为常数m,若动点P的轨迹是椭圆,则m的取值范围是(　　)
A.(0,5) B.(5,+∞)
C.(0,+∞) D.R
解析当m<5时,不表示任何图形;当m=5时,轨迹是线段AB;当m>5时,轨迹是椭圆.
答案B123454.在梯形ABCD中,AB∥CD,若梯形不在α内,则它在α上的射影是　　　　　　　　　　　.?
解析若梯形ABCD所在平面平行于投影方向,则梯形ABCD在α上的射影是一条线段;若梯形ABCD所在平面不平行于投影方向,则平行线的射影仍是平行线,不平行的线的射影仍不平行,则梯形ABCD在平面α上的射影仍是梯形.
答案一条线段或一个梯形123455.如图所示,已知DA⊥平面ABC,△ABC是斜三角形,点A'是点A在平面BCD上的正射影,求证:点A'不可能是△BCD的垂心.
证明假设点A'是△BCD的垂心,则A'B⊥CD.
因为AA'⊥平面BCD于点A',则AB⊥CD.又因为DA⊥平面ABC,则AB⊥AC,这与△ABC是斜三角形的条件矛盾,故点A'不可能是△BCD的垂心.