课件37张PPT。第三章 数系的扩充与复数的引入第三章 数系的扩充与复数的引入复平面实轴虚轴本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放 [A 基础达标]
1．复数i＋i2在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.因为i＋i2＝i－1，它在复平面内对应的点为(－1，1)，所以复数i＋i2在复平面内对应的点在第二象限．
2．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列选项中正确的是( )
A．z1>z2 B．z1C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2|
解析：选D.|z1|＝|5＋3i|＝＝，
|z2|＝|5＋4i|＝＝.
因为<，所以|z1|<|z2|.
3．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则下列结论中正确的是( )
A．z在复平面内对应的点在第一象限
B．z一定不是纯虚数
C．z在复平面内对应的点在实轴上方
D．z一定是实数
解析：选C.因为2t2＋5t－3的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，所以排除A，B，D.故选C.
4．已知复数z满足|z|2－3|z|＋2＝0，则复数z对应点的轨迹是( )
A．一个圆 B．两个圆
C．两点 D．线段
解析：选B.由|z|2－3|z|＋2＝0，得(|z|－1)·(|z|－2)＝0，所以|z|＝1或|z|＝2.由复数模的几何意义知，z对应点的轨迹是两个圆．
5．(2018·衡阳期末)已知复数z在复平面内对应的点在射线y＝2x(x≥0)上，且|z|＝，则复数z的虚部为( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
解析：选B.设复数z在复平面内对应的点的坐标为(a，2a)(a≥0)，则|z|＝＝＝a，从而a＝1，则复数z的虚部为2a＝2.
6．向量1对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，则1＋2对应的复数是________．
解析：因为向量1对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，所以1＝(5，－4)，2＝(－5，4)，所以1＋2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，所以1＋2对应的复数是0.
答案：0
7．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，则实数x的取值范围是________．
解析：由题意得<，
所以5x2－6x－8<0.
所以(5x＋4)(x－2)<0，
所以－答案：
8．在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为3－4i，若点B关于原点的对称点为A，点A关于虚轴的对称点为C，则向量对应的复数为________．
解析：因为点B的坐标为(3，－4)，
所以点A的坐标为(－3，4)，
所以点C的坐标为(3，4)，
所以向量对应的复数为3＋4i.
答案：3＋4i
9．当实数m取何值时，在复平面内与复数z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i对应的点满足下列条件？
(1)在第三象限；
(2)在虚轴上；
(3)在直线x－y＋3＝0上．
解：复数z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应点的坐标为Z(m2－4m，m2－m－6)．
(1)点Z在第三象限，则
解得
所以0(2)点Z在虚轴上，则
解得m＝0或m＝4.
所以m＝0或m＝4.
(3)点Z在直线x－y＋3＝0上，
则(m2－4m)－(m2－m－6)＋3＝0，
即－3m＋9＝0，所以m＝3.
10．已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i(a∈R)．若与共线，求a的值．
解：因为对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i，所以＝(－3，4)，＝(2a，1)．因为与共线，所以存在实数k使＝k，即(2a，1)＝k(－3，4)＝(－3k，4k)，
所以
解得
即a的值为－.
[B 能力提升]
11．已知复数z满足|z|＝ 2，则|z＋3－4i|的最小值是( )
A．5 B．2
C．7 D．3
解析：选D.|z|＝2表示复数z在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z＋3－4i|表示圆上的点到(－3，4)这一点的距离，故|z＋3－4i|的最小值为－2＝5－2＝3.
12．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由题意，得x＋yi－＝－1＋i，
即(x－)＋yi＝－1＋i.
根据复数相等的条件，
得
解得所以z＝i.
答案：i
13．已知复数z1＝cos θ＋isin 2θ，z2＝sin θ＋icos θ，求当θ为何值时，
(1)z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称；
(2)|z2|<.
解：(1)在复平面内，z1与z2对应的点关于实轴对称，则?
(k∈Z)，
所以θ＝2kπ＋π(k∈Z)．
(2)由|z2|<，得<，
即3sin2θ＋cos2θ<2，所以sin2θ<，
所以kπ－<θ14．(选做题)复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若∠BAC是钝角，求实数c的取值范围．
解：在复平面内三点坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(c，2c－6)，由∠BAC是钝角，得cos∠BAC<0，且A，B，C不共线，
cos∠BAC＝<0，
即|AB|2＋|AC|2－|BC|2<0.
由两点间的距离公式，
得25＋(3－c)2＋(4－2c＋6)2－[c2＋(2c－6)2]<0，
解得c>.
其中当c＝9时，此时A，B，C三点共线，故c≠9.
所以c的取值范围是.
