课件28张PPT。第三章 数系的扩充与复数的引入复数的概念复数的几何意义复数的运算与参数问题本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放章末综合检测(三)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D.(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，在复平面内对应的点为(3，－4)，位于第四象限．
2．设i是虚数单位，则复数i3－＝( )
A．－i B．－3i
C．i D．3i
解析：选C.i3－＝－i－＝－i＋2i＝i.
3．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A．－2＋i B．2＋i
C．1－2i D．1＋2i
解析：选B.因为(x－i)i＝y＋2i，
所以xi＋1＝y＋2i.
所以
所以x＋yi＝2＋i.
4．(2018·南京高二检测)已知i为虚数单位，则复数的模等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D.因为＝＝＝－＋i，所以＝＝＝，故选D.
5．复数的共轭复数是( )
A．2－i B．2＋i
C．3－4i D．3＋4i
解析：选C.原式＝＝(2＋i)2＝3＋4i.
所以其共轭复数为3－4i.
6．已知i为虚数单位，则＋＋＋＝( )
A．0 B．2i
C．－2i D．4i
解析：选A.因为i2＝－1，
所以＋＋＋＝－＋－＝0.
7.＋＝( )
A．－ B．
C．i D．－i
解析：选A.因为(1±i)2＝±2i，
所以＋＝＋＝＋＝－.
8．设复数z满足＝i，则|z|＝( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选A.由＝i，得z＝＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝1，故选A.
9．复数z的共轭复数为，且(1＋2i) ＝4＋3i，则z等于( )
A．5 B．10
C．25 D.
解析：选A. ＝＝＝＝2－i.
所以z＝2＋i，故z＝(2＋i)(2－i)＝5.
10．已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足1·z2是实数，则z2等于( )
A．1－i B．1＋i
C.＋i D.－i
解析：选B.由z1＝2＋i，得1＝2－i，由z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，可设z2＝1＋bi(b∈R)，则1·z2＝(2－i)·(1＋bi)＝2＋b＋(2b－1)i.
又1·z2为实数，所以2b－1＝0，b＝.
所以z2＝1＋i.
11．复数2＋i与复数在复平面内的对应点分别是A，B，则∠AOB＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B.因为＝＝－i，
所以＝，又＝(2，1)，
所以cos∠AOB＝
＝
＝，所以∠AOB＝.
12．已知复数z＝－3＋2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，则p＋q的值为( )
A．22 B．36
C．38 D．42
解析：选C.因为z＝－3＋2i是关于x的方程
2x2＋px＋q＝0的一个根，
所以有2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，
即2(9－4－12i)－3p＋2pi＋q＝0，
得10－24i－3p＋2pi＋q＝0，
得10＋q－3p＋(2p－24)i＝0.
由复数相等得
解得
所以p＋q＝38.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．若(y2－3y)＋yi(y∈R)是纯虚数，则y＝________．
解析：因为(y2－3y)＋yi(y∈R)是纯虚数，
所以
解得y＝3.
答案：3
14．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则＝________．
解析：由题图，知z1＝－2－i，z2＝i，则＝－＝－＝－＝－－i.
答案：－－i
15．若复平面上的平行四边形ABCD中，对应的复数为6＋8i，对应的复数为－4＋6i，则对应的复数为________．
解析：法一：由复数加、减法的几何意义，可得＋＝，－＝，两式相加，可得2＝＋＝2＋14i，所以＝－1－7i.
法二：如图，把向量平移到向量的位置，
可得＝＝－(＋)＝－1－7i.
答案：－1－7i
16．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋1＋i|的最小值是________．
解析：|z＋i|＋|z－i|＝2，则复数z在复平面内对应的点Z在以(0，1)和(0，－1)为端点的线段上，|z＋1＋i|表示点Z到(－1，－1)的距离．由图可知最小值为1.
答案：1
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知复数z1＝2－3i，z2＝，求：
(1)z1z2；(2).
解：z2＝＝＝＝＝1－3i.
(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)＝＝＝＝＋i.
18．(本小题满分12分)已知z＝，其中i为虚数单位，a>0，复数ω＝z(z＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数ω的模．
解：将z＝，代入ω＝z(z＋i)，得
ω＝＝
＝＝
＝＋i，
所以ω的实部为，虚部为，
由已知得－＝，
解得a2＝4，
所以a＝±2.
又a>0，故a＝2.
|ω|＝
＝
＝＝.
19．(本小题满分12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－2|<|z1|，求a的取值范围．
解：因为z1＝＝2＋3i，
z2＝a－2－i，2＝a－2＋i，
所以|z1－2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|
＝，
又因为|z1|＝，|z1－2|<|z1|，
所以<，
所以a2－8a＋7<0，
解得1
所以a的取值范围是(1，7)．
20．(本小题满分12分)设复数z＝a2＋a－2＋(a2－7a＋6)i，其中a∈R，问当a取何值时，
(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3) ＝28＋4i；
(4)z所对应的点在复平面的第四象限内．
解：(1)z∈R，只需a2－7a＋6＝0，
所以a＝1或a＝6.
(2)z是纯虚数，只需
所以a＝－2.
(3)因为＝28＋4i，
所以
所以a＝5.
(4)由题意知
所以
故当121．(本小题满分12分)设复数z1＝(a2－4sin2θ)＋(1＋2cos θ)i，a∈R，θ∈(0，π)，z2在复平面内对应的点在第一象限，且z＝－3＋4i.
(1)求z2及|z2|；
(2)若z1＝z2，求θ与a的值．
解：(1)设z2＝m＋ni(m，n∈R)，则
z＝(m＋ni)2＝m2－n2＋2mni＝－3＋4i，
即
解得或
所以z2＝1＋2i，或z2＝－1－2i.
又因为z2在复平面内对应的点在第一象限，
所以z2＝－1－2i应舍去，
故z2＝1＋2i，|z2|＝.
(2)由(1)知(a2－4sin2θ)＋(1＋2cos θ)i＝1＋2i，
即
解得cos θ＝，
因为θ∈(0，π)，
所以θ＝，
所以a2＝1＋4sin2θ＝1＋4×＝4，a＝±2.
综上，θ＝，a＝±2.
22．(本小题满分12分)已知复数z1＝i(1－i)3.
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
解：(1)|z1|＝|i(1－i)3|＝|2－2i|＝＝2.
(2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0，0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．
所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．
由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆的半径)＝2＋1.
1．(2018·宁波镇海中学模拟)复数z与(z＋3)2－5i都是纯虚数，则z＝( )
A．3i B．－3i
C．±3i D.i
解析：选C.设纯虚数z＝ai(a∈R且a≠0)，则(z＋3)2－5i＝(3＋ai)2－5i＝9－a2＋(6a－5)i.又(z＋3)2－5i是纯虚数，所以，解得a＝±3，所以z＝±3i.
2．已知复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1的共轭复数是，则复数z2＝( )
A．－1＋i B．1－i
C．1＋i D．－1－i
解析：选D.因为z1的共轭复数是，且＝＝1＋i，所以z1＝1－i.又复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，所以z2＝－1－i.
3．已知复数z＝m－2i(m∈R)，ω＝z(z＋i)的虚部减去它的实部所得的差为－4m，则|z|＝________．
解析：因为z＝m－2i，所以ω＝z(z＋i)＝(m－2i)(m－2i＋i)＝m2－2－3mi，所以－3m－(m2－2)＝－4m，解得m＝－1或m＝2，所以z＝－1－2i或z＝2－2i，所以|z|＝或2.
答案：或2
4．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)且|z－2|＝，则的最大值是________，最小值是________．
解析：如图所示，因为|z－2|＝，所以(x－2)2＋y2＝3，所以＝kOA＝＝，＝kOB＝－.
答案： －
5．计算：
(1)＋(1＋i)(1－i)；
(2)＋.
解：(1)＋(1＋i)(1－i)
＝＋1－i2
＝＋2＝＋i.
(2)＋
＝＋
＝＋
＝＋
＝－1＋i＋
＝－1＋i＋i＝－1＋2i.
6．已知z＝1＋i.
(1)若ω＝z2＋3－4，求ω；
(2)若＝1－i，求实数a，b的值．
解：(1)因为z＝1＋i，
所以ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝1＋2i－1＋3－3i－4＝－1－i.
(2)由z＝1＋i，
得
＝
＝
＝
＝
＝a＋2－(a＋b)i，
因为＝1－i，
所以a＋2－(a＋b)i＝1－i，
所以，
解得.
