[A 基础达标]
1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是( )
A．1－i B．1＋i
C．－3＋3i D．3＋3i
解析：选A.－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i，其实部为－1，故所求复数为1－i.
2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B.
C．－ D．2
解析：选D.复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2.
3．若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 017i＝2－bi，则a2＋bi＝( )
A．2 017＋2i B．2 017＋4i
C．2＋2 017i D．4－2 017i
解析：选D.因为a＋2 017i＝2－bi，所以a＝2，－b＝2 017，即a＝2，b＝－2 017，所以a2＋bi＝4－2 017i，故选D.
4．“a＝－2”是“复数z＝(a2－4)＋(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.当a＝－2时，复数z＝(a2－4)＋(a＋1)i＝－i，为纯虚数；当复数z＝(a2－4)＋(a＋1)i为纯虚数时，有解得a＝±2，故选A.
5．下列命题：
①若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；
②若z＋z＝0，则z1＝z2＝0；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A.在①中未对z＝a＋bi中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z＋z＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A.
6．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．
解析：z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，所以m2－m＝0，所以m＝0或1.
答案：0或1
7．若复数cos θ－isin θ与－sin θ＋icos θ(θ∈R)相等，则θ＝________．
解析：根据两个复数相等的充要条件，得cos θ＝－sin θ，即tan θ＝－1，所以θ＝kπ－(k∈Z)．
答案：kπ－(k∈Z)
8．使不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m的取值集合是________．
解析：由已知，得，解得m＝3，所以所求的实数m的取值集合是{3}．
答案：{3}
9．已知关于实数x，y的方程组
有实数解，求实数a，b的值．
解：对①，根据复数相等的充要条件，得
解得③
把③代入②，
得5＋4a－(6＋b)i＝9－8i，且a，b∈R，
所以
解得
10．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a取什么值时，z分别为：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解：(1)当z为实数时，则a2－5a－6＝0，且有意义，所以a＝－1或a＝6，且a≠±1，
所以当a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则a2－5a－6≠0，且有意义，所以a≠－1且a≠6，且a≠±1.
所以当a≠±1，且a≠6时，z为虚数，
即当a∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，则有a2－5a－6≠0，且＝0.所以且a＝6，所以不存在实数a使z为纯虚数．
[B 能力提升]
11．已知复数z＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由条件，知cos α＋cos 2α＝0，所以2cos2 α＋cos α－1＝0，解得cos α＝－1或.又0<α<2π，所以α＝π或或，故选D.
12．若关于x的方程x2－(6＋i)x＋5＋i＝0有一根为实数x0，则x0＝________．
解析：因为x2－(6＋i)x＋5＋i＝0的根为x＝5＋i或1，所以x0＝1.
答案：1
13．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}，且M∩N?M，M∩N≠?，求整数a，b的值．
解：若M∩N＝{3i}，则(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，
即a＋3＝0且b2－1＝3，
得a＝－3，b＝±2.
当a＝－3，b＝－2时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8}，M∩N＝M，不合题意；
当a＝－3，b＝2时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8＋4i}，符合题意．
所以a＝－3，b＝2.
若M∩N＝{8}，则8＝(a2－1)＋(b＋2)i，
即a2－1＝8且b＋2＝0，得a＝±3，b＝－2.
当a＝－3，b＝－2时，不合题意；
当a＝3，b＝－2时，M＝{6＋3i，8}，N＝{3i，8}，符合题意．
所以a＝3，b＝－2.
若M∩N＝{(a＋3)＋(b2－1)i}＝{(a2－1)＋(b＋2)i}，则，即，此方程组无整数解．
综上可得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2.
14．(选做题)已知复数z1＝－a2＋2a＋ai，z2＝2xy＋(x－y)i，其中a，x，y∈R，且z1＝z2，求3x＋y的取值范围．
解：由复数相等的充要条件，得，消去a，得x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法一：令t＝3x＋y，则y＝－3x＋t.
分析知圆心(1，－1)到直线3x＋y－t＝0的距离d＝≤，解得2－2≤t≤2＋2，即3x＋y的取值范围是[2－2，2＋2]．
法二：令，得(α∈R)，
所以3x＋y＝sin α＋3cos α＋2＝2sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)，
于是3x＋y的取值范围是[2－2，2＋2]．
课件36张PPT。第三章 数系的扩充与复数的引入第三章 数系的扩充与复数的引入虚数单位－1z＝a＋bi(a，b∈R)全体复数实数虚数a＝0a≠0a＝c且b＝da＝b＝0本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
