[A 基础达标]
1．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
解析：选A.根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．
2．对于推理：若a>b，则a2>b2，因为2>－2，则22>(－2)2，即4>4，下列说法正确的是( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理正确 D．不是演绎推理
解析：选A.当a，b同正时，a>b?a2>b2.即若a>b，则a2>b2不一定成立．因此推理过程中大前提错误．故选A.
3．(2018·绵阳模拟)某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．
甲说：我在1日和3日都有值班；
乙说：我在8日和9日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．
据此可判断丙必定值班的日期是( )
A．2日和5日 B．5日和6日
C．6日和11日 D．2日和11日
解析：选C.1～12日期之和为78，三人各自值班的日期之和相等，故每人值班4天的日期之和是26，甲在1日和3日都有值班，故甲余下的两天只能是10日和12日；而乙在8日和9日都有值班，8＋9＝17，所以11日只能是丙去值班了．余下还有2日、4日、5日、6日、7日5天，显然，6日只可能是丙值班了．
4．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x)＋f(x)＜0.对任意正数a，b，若a＜b，则必有( )
A．bf(a)＜af(b) B．af(b)＜bf(a)
C．af(a)＜f(b) D．bf(b)＜f(a)
解析：选B.构造函数F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)．由题设条件知F(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减．若a＜b，则F(a)＞F(b)，即af(a)＞bf(b)．又f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，所以bf(a)＞af(a)＞bf(b)＞af(b)．故选B.
5．(2018·昆明模拟)“五一”期间，某公园举行免费游园活动，免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来，…，按照这种规律进行下去，到上午11时公园内的人数是( )
A．212－57 B．211－47
C．210－38 D．29－30
解析：选B.6时30分进去的人数为2，设从6时30分起第i个30分钟进去的人数为ai(i＝1，2，…，n，n∈N*)，则a1＝4－1，a2＝8－2，a3＝16－3，…，an＝2n＋1－n，则到上午11时公园内的人数为2＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋22＋23＋…＋210)－(1＋2＋…＋9)＝211－47，故选B.
6．由“(a2＋1)x>3，得x>”的推理过程中，其大前提是____________．
解析：因为a2＋1≥1>0，
所以由(a2＋1)x>3，得x>.
其前提依据为不等式的同向可乘性：
不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不改变．
答案：不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不改变
7．有一段演绎推理：
大前提：整数是自然数；
小前提：－3是整数；
结论：－3是自然数．
这个推理显然错误，则错误的原因是____________错误．(从“大前提”“小前提”“结论”中择一个填写)
解析：自然数是非负整数，因此整数不一定是自然数，即大前提是错误的．
答案：大前提
8．关于函数f(x)＝lg(x≠0)，有下列命题：
①其图象关于y轴对称；
②当x＞0时，f(x)是增函数；当x＜0时，f(x)为减函数；
③f(x)的最小值是lg 2；
④当－1＜x＜0或x＞1时，f(x)是增函数；
⑤f(x)无最大值，也无最小值．
其中所有正确结论的序号是________．
解析：显然f(－x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数时，其图象关于y轴对称．
当x＞0时，f(x)＝lg＝lg.
设g(x)＝x＋，可知其在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．f(x)min＝f(1)＝lg 2.因为f(x)为偶函数，
所以f(x)在(－1，0)上是增函数．
答案：①③④
9．已知A，B，C，D是空间中不共面的四点，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ACD(写出每一个三段论的大前提、小前提、结论)．
证明：如图，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.
因为三角形的重心是中线的交点， 大前提
M，N分别是△ABD和△BCD的重心， 小前提
所以P，Q分别是AD，DC的中点． 结论
因为三角形的重心将中线分成长为2∶1的两部分，
大前提
M，N分别是△ABD和△BCD的重心，BP，BQ分别是△ABD和△BCD的中线，小前提
所以＝＝2. 结论
平行线分线段成比例定理推论的逆定理， 大前提
＝＝2， 小前提
所以MN∥PQ. 结论
直线与平面平行的判定定理， 大前提
MN?平面ACD，PQ?平面ACD，MN∥PQ， 小前提
所以MN∥平面ACD. 结论
10．求证：在锐角三角形ABC中，sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
证明：因为在锐角三角形中，A＋B＞，
所以A＞－B，
所以0＜－B＜A＜.
又因为在内，正弦函数是单调递增函数，
所以sin A＞sin＝cos B，
即sin A＞cos B．同理可证sin B＞cos C，sin C＞cos A.
把以上三式两端分别相加得sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
[B 能力提升]
12．(2018·漳州模拟)我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积公式”为S＝.若a2sin C＝4sin A，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积公式”求得△ABC的面积为( )
A. B．2
C．3 D.
解析：选A.因为a2sin C＝4sin A，
所以ac＝4，
又(a＋c)2＝12＋b2，
所以a2＋c2－b2＝4，
则S△ABC＝＝.
13．已知y＝f(x)在(0，＋∞)上有意义，单调递增且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x2)＝2f(x)；
(2)求f(1)的值；
(3)若f(x)＋f(x＋3)≤2，求x的取值范围．
解：(1)证明：因为f(xy)＝f(x)＋f(y)，
所以f(x2)＝f(x·x)
＝f(x)＋f(x)＝2f(x)．
(2)因为f(1)＝f(12)＝2f(1)，
所以f(1)＝0.
(3)因为f(x)＋f(x＋3)＝f(x(x＋3))
≤2＝2f(2)＝f(4)，
且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以
解得0＜x≤1.
所以x的取值范围为(0，1]．
14．(选做题)已知平面α∥平面β，l⊥α，l∩α＝A(如图)，求证：l⊥β.
证明：如图，在平面β内任取一条直线b，设平面γ是经过点A与直线b的平面，且γ∩α＝a.
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，
大前提
α∥β，且α∩γ＝a，β∩γ＝b， 小前提
所以a∥b. 结论
如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，
大前提
a?α，且l⊥α， 小前提
所以l⊥a. 结论
如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条直线垂直，
大前提
a∥b，且l⊥a， 小前提
所以l⊥b. 结论
如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直，
大前提
l⊥b，且直线b是平面β内的任意一条直线， 小前提
所以l⊥β. 结论
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