课件33张PPT。第二章 推理与证明第二章 推理与证明本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放 [A 基础达标]
1.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是（ ）
A.有两个内角是钝角
B.有三个内角是钝角
C.至少有两个内角是钝角
D.没有一个内角是钝角
解析：选C.“最多有一个”的反设是“至少有两个”.
2.有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证：方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设该方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是（ ）
A.①与②的假设都错误
B.①与②的假设都正确
C.①的假设正确；②的假设错误
D.①的假设错误；②的假设正确
解析：选D.用反证法证题时一定要将对立面找准.在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的.
3.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为（ ）
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
解析：选C.假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.故应选C.
4.设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数（ ）
A.至少有一个不大于2
B.都小于2
C.至少有一个不小于2
D.都大于2
解析：选C.若a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6①，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6②，显然①，②矛盾，所以C正确.
5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ）
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
解析：选C.若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙.
6.在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时的假设为 .
解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.
答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP
7.完成反证法证题的全过程.
设a1，a2，…，a7是由数字1，2，…，7任意排成的一个数列，p＝（a1－1）（a2－2）…（a7－7），求证：p为偶数.
证明：假设p为奇数，则 均为奇数.
因为7个奇数之和为奇数，故有
（a1－1）＋（a2－2）＋…＋（a7－7）为 .①
而（a1－1）＋（a2－2）＋…＋（a7－7）＝（a1＋a2＋…＋a7）－（1＋2＋…＋7）＝ Ｗ.②
①与②矛盾，故假设不成立，故p为偶数.
解析：由假设p为奇数，可知a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，故（a1－1）＋（a2－2）＋…＋（a7－7）为奇数，而（a1－1）＋（a2－2）＋…＋（a7－7）＝（a1＋a2＋…＋a7）－（1＋2＋…＋7）＝0，矛盾，故假设不成立，故p为偶数.
答案：a1－1，a2－2，…，a7－7 奇数 0
8.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是 （填序号）.
解析：若a＝，b＝，则a＋b＝1，但a＜1，b＜1，故①不能推出.若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出.若a＝－2，b＝1，则a2＋b2＞2，故④不能推出.对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1.
反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2，与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
答案：③
9.如图所示，设SA、SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直.
证明： 如图所示，连接AB，假设AC⊥平面SOB.
因为直线SO在平面SOB内，
所以AC⊥SO.
因为SO⊥底面圆O，
所以SO⊥AB，
所以SO⊥平面SAB，
所以平面SAB∥底面圆O.
这显然矛盾，
所以假设不成立，
故AC与平面SOB不垂直.
10.已知x，y>0，且x＋y>2.求证：，中至少有一个小于2.
证明：假设，都不小于2，
即≥2，≥2.
因为x>0，y>0，
所以1＋x≥2y，1＋y≥2x，
所以2＋x＋y≥2（x＋y），
即x＋y≤2，与已知x＋y>2矛盾，
所以，中至少有一个小于2.
[B 能力提升]
11.若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为 .
解析：假设三个方程均无实数根，则有
解得
即－＜a＜－1，
所以当a≥－1或a≤－时，三个方程至少有一个方程有实根.
答案：∪[－1，＋∞）
12.若a、b、c、d都是有理数，、都是无理数，且a＋＝b＋，则a与b，c与d之间的数量关系为 ， .
解析：假设a≠b，令a＝b＋m（m是不等于零的有理数），于是b＋m＋＝b＋，
所以m＋＝，
两边平方整理得＝.
左边是无理数，右边是有理数，矛盾，因此a＝b，从而c＝d.
答案：a＝b c＝d
13.设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.
（1）求证：数列{Sn}不是等比数列；
（2）数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
解：（1）证明：假设数列{Sn}是等比数列，
则S＝S1S3，即a（1＋q）2＝a1·a1·（1＋q＋q2）.
因为a1≠0，
所以（1＋q）2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以假设不成立，
所以数列{Sn}不是等比数列.
（2）当q＝1时，Sn＝na1，故数列{Sn}是等差数列；
当q≠1时，假设数列{Sn}是等差数列，则2S2＝S1＋S3，
即2a1（1＋q）＝a1＋a1（1＋q＋q2），
得q＝0，这与公比q≠0矛盾.
综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；
当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列.
14.（选做题）已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的交点.若f（c）＝0，且0＜x＜c时f（x）＞0.
（1）证明：是函数f（x）的一个零点；
（2）试用反证法证明：＞c.
证明：（1）因为f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，
所以f（x）＝0有两个不等实根x1，x2.
因为f（c）＝0，
所以x1＝c是f（x）＝0的一个根，
又因为x1x2＝.
所以x2＝，
所以是f（x）＝0的另一个根，
即是函数f（x）的一个零点.
（2）由第一问知≠c，故假设＜c，
易知＞0，
由题知当0＜x＜c时，f（x）＞0，
所以f＞0，与f＝0矛盾，
所以＞c.
