课件27张PPT。第二章 推理与证明利用递推关系猜想数列通项公式分析法与综合法的应用演绎推理的应用本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放章末综合检测（二）
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.根据偶函数定义可推得“函数f（x）＝x2在R上是偶函数”的推理过程是（ ）
A.归纳推理 B.类比推理
C.演绎推理 D.非以上答案
解析：选C.根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理.
2.余弦函数是偶函数，f（x）＝cos（x＋1）是余弦函数，因此f（x）＝cos（x＋1）是偶函数，以上推理（ ）
A.结论正确
B.大前提不正确
C.小前提不正确
D.全不正确
解析：选C.f（x）＝cos（x＋1）不是余弦函数，所以小前提错误.
3.如图所示，黑、白两种颜色的正六边形地板砖按图中所示的规律拼成若干个图案，则第n个图案中白色地板砖的块数是（ ）
A.4n＋2 B.4n－2
C.2n＋4 D.3n＋3
解析：选A.由题图可知，当n＝1时，a1＝6；当n＝2时，a2＝10；当n＝3时，a3＝14.由此推测，第n个图案中白色地板砖的块数是an＝4n＋2.
4.设a，b，c，d都是非零实数，则四个数：－ab，ac，bd，cd（ ）
A.都是正数
B.都是负数
C.两正两负
D.一正三负或一负三正
解析：选D.因为a，b，c，d都是非零实数，所以a，b，c，d中一定有2个符号相同或3个符号相同或4个符号相同，再根据同号为正，异号得负，可以判断：－ab，ac，bd，cd一定是一正三负或一负三正.
5.若a>0，b>0，则有（ ）
A.>2b－a B.<2b－a
C.≥2b－a D.≤2b－a
解析：选C.因为－（2b－a）＝＝≥0，所以≥2b－a.
6.已知f（x＋1）＝，f（1）＝1（x∈N*），猜想f（x）的表达式为（ ）
A.f（x）＝
B.f（x）＝
C.f（x）＝
D.f（x）＝
解析：选B.f（2）＝，f（3）＝，f（4）＝，猜想f（x）＝.
7.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝（ ）
A.28 B.76
C.123 D.199
解析：选C.利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123.规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和.
8.在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间，在x轴，y轴，z轴上的截距分别为m，n，c（mnc≠0）的平面方程为（ ）
A.＋＋＝1 B.＋＋＝1
C.＋＋＝1 D.mx＋ny＋cz＝1
解析：选A.类比到空间应选A.另外也可将点（m，0，0）代入验证.
9.若＝＝，则△ABC是（ ）
A.等边三角形
B.有一个内角是30°的直角三角形
C.等腰直角三角形
D.有一个内角是30°的等腰三角形
解析：选C.因为＝＝，
由正弦定理得，
＝＝，
所以＝＝＝.
所以sin B＝cos B，sin C＝cos C，
所以∠B＝∠C＝45°，
所以△ABC是等腰直角三角形.
10.已知点A（x1，x），B（x2，x）是函数y＝x2图象上任意不同的两点，依据图象知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论>成立，运用类比方法可知，若点A（x1，sin x1），B（x2，sin x2）是函数y＝sin x（x∈（0，π））图象上不同的两点，则类似地有结论（ ）
A.>sin
B.
C.≥sin
D.≤sin
解析：选B.画出y＝x2的图象，由已知得AB的中点恒在点的上方，画出y＝sin x，x∈（0，π）的图象可得A，B的中点恒在点的下方，故B正确.
11.△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（ ）
A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C.△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D.△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
解析：选D.因为三角形内角的正弦值是正值，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形.
假设△A2B2C2也是锐角三角形，并设cos A1＝sin A2，则cos A1＝cos （90°－∠A2），所以∠A1＝90°－∠A2.
同理设cos B1＝sin B2，cos C1＝sin C2，
则有∠B1＝90°－∠B2，∠C1＝90°－∠C2.
又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°，
所以（90°－∠A2）＋（90°－∠B2）＋（90°－∠C2）＝180°，
即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°.
这与三角形内角和等于180°矛盾，
所以原假设不成立.若△A2B2C2是直角三角形，不妨设A2＝，则sin A2＝1＝cos A1，而A1在（0，π）内无解.故选D.
12.如图是网络工作者经常用来解释网络动作的蛇形模型；数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；…，以此类推，则按网络运作顺序第n行第1个数（如第2行第1个数为2，第3行第1个数为4，…）是（ ）
A. B.
C. D.
解析：选D.由题意分析可知，第n行总共有n个数字，n∈N*，所以第n行中最小的数字为1＋（1＋2＋…＋n－1）＝1＋＝，最大的数字为＋n－1＝，而第n行中第一个出现的数字是行中最小的，即.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13.已知x，y∈R，且x＋y<2，则x，y中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为 Ｗ.
解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x，y都大于1”.
答案：x，y都大于1
14.观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，则第100项为 Ｗ.
解析：设n∈N*，则数字n共有n个，
所以≤100，即n（n＋1）≤200.
又因为n∈N*，所以n＝13，到第13个13时
共有＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.
答案：14
15.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 .
解析：为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A，B，C.从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A或B，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B，此时丙所拿的卡片为A.
答案：1和3
16.在正三角形中，设它的内切圆的半径为r，容易求得正三角形的周长C（r）＝6r，面积S（r）＝3r2，发现S′（r）＝C（r）.这是平面几何中的一个重要发现，请用类比推理的方法猜测对空间正四面体存在的类似结论为 .
解析：设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，利用等积变形易求得正四面体的高h＝4r.
由棱长a，高h和底面三角形外接圆的半径构成直角三角形，得a2＝（4r）2＋，解得a＝2r.
于是正四面体的表面积
S（r）＝4××（2r）2×sin 60°
＝24r2，
体积V（r）＝××（2r）2×sin 60°×4r＝8r3，
所以V′（r）＝24r2＝S（r）.
答案：V′（r）＝S（r），S（r）为正四面体的表面积，V（r）为体积
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）已知：A，B都是锐角，且A＋B≠90°，（1＋tan A）（1＋tan B）＝2.求证：A＋B＝45°.
证明：因为（1＋tan A）（1＋tan B）＝2，
展开化简为
tan A＋tan B＝1－tan Atan B.
因为A＋B≠90°，
tan（A＋B）＝＝1.
又因为A，B都是锐角，
所以0°所以A＋B＝45°.
18.（本小题满分12分）已知a>0，b>0，2c>a＋b，求证：c－证明：要证c－只需证－即证|a－c|<，
只需证（a－c）2<，
只需证a2－2ac＋c2即证2ac>a2＋ab，
因为a>0，
所以只需证2c>a＋b.
因为2c>a＋b成立.
所以原不等式成立.
19.（本小题满分12分）已知三个正数a，b，c，若a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，求证：a，b，c不成等差数列.
证明：假设a，b，c构成等差数列，
则有2b＝a＋c，
即4b2＝a2＋c2＋2ac，
又a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，
且a，b，c为正数，
所以b4＝a2c2且a，b，c互不相等，
即b2＝ac，
因此4ac＝a2＋c2＋2ac，
所以（a－c）2＝0，
从而a＝c＝b，这与a，b，c互不相等矛盾.
故a，b，c不成等差数列.
20.（本小题满分12分）已知在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点.
（1）证明：PF⊥DF；
（2）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD.
解： （1）证明：连接AF，
则AF＝，DF＝，
又AD＝2，
所以DF2＋AF2＝AD2，
所以DF⊥AF，
又PA⊥平面ABCD，
所以DF⊥PA，
又PA∩AF＝A，
所以?DF⊥PF.
（2）过点E作EH∥FD，交AD于点H，
则EH∥平面PFD，且有AH＝AD，再过点H作HG∥DP交PA于点G，
则HG∥平面PFD且AG＝AP.
所以平面EHG∥平面PFD，
所以EG∥平面PFD.
从而线段AP上满足AG＝AP的点G即为所求.
21.（本小题满分12分）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）具有性质：若M，N是椭圆上关于原点对称的两个点，点P为椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM·kPN是与点P的位置无关的定值.试对双曲线－＝1（a＞0，b＞0）写出类似的性质，并加以证明.
解：类似的性质为：若M，N是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM·kPN是与点P的位置无关的定值.证明如下：
设M（m，n），则N（－m，－n），且－＝1（a＞0，b＞0）.又设点P（x，y），则kPM＝，kPN＝，
所以kPM·kPN＝.①
将y2＝b2代入①，
可得kPM·kPN＝＝＝（定值）.
22.（本小题满分12分）已知f（x）＝（x≠－，a>0），且f（1）＝log162，f（－2）＝1.
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）已知数列{xn}的项满足xn＝（1－f（1））（1－f（2））…·（1－f（n）），试求x1，x2，x3，x4.
解：（1）把f（1）＝log162＝，
f（－2）＝1，代入函数表达式得
即
解得（舍去a＝－<0），
所以f（x）＝（x≠－1）.
（2）x1＝1－f（1）＝1－＝，
x2＝（1－f（1））（1－f（2））
＝×＝，
x3＝（1－f（3））
＝×＝，
x4＝×＝.
1.已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝（n＝1，2，…），则用反证法证明“数列{xn}对任意的正整数n都满足xn>xn＋1”时，应假设（ ）
A.对任意的正整数n，有xn＝xn＋1
B.存在正整数n，使得xn＝xn＋1
C.存在正整数n，使得xn≥xn＋1
D.存在正整数n，使得xn≤xn＋1
解析：选D.用反证法证明时应假设存在正整数n，使得xn≤xn＋1.
2.对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，第3次操作为53＋53＝250，如此反复操作，则第2 018次操作后得到的数是（ ）
A.25 B.250
C.55 D.133
解析：选C.由规定：第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，…，故操作得到的数值周期出现，且周期为3.又2 018＝3×672＋2，故第2 018次操作后得到的数等于第2次操作后得到的数，即55，故选C.
3.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ）
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
解析：选D.依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选择D.
4.通过圆与球的类比，由结论“半径为r的圆的内接四边形中，正方形的面积最大，最大值为2r2”猜想关于球的相应结论为“半径为R的球的内接六面体中， ”.（ ）
A.长方体的体积最大，最大值为2R3
B.正方体的体积最大，最大值为3R3
C.长方体的体积最大，最大值为
D.正方体的体积最大，最大值为
解析：选D.类比可知半径为R的球的内接六面体中，正方体的体积最大，设其棱长为a，正方体对角线的长度等于球的直径，即a＝2R，得a＝，体积V＝a3＝.故选D.
5.设f0（x）＝cos x，f1（x）＝f0′（x），f2（x）＝f1′（x），…，fn＋1（x）＝fn′（x）（n∈N*），则f2 017（x）＝ Ｗ.
解析：由条件知f0（x）＝cos x，f1（x）＝－sin x，f2（x）＝－cos x，f3（x）＝sin x，f4（x）＝cos x，…，故函数fn（x）以4为周期循环出现，故f2 017（x）＝－sin x.
答案：－sin x
6.定义在[－1，1]上的奇函数f（x），当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有>0.证明：函数f（x）的图象上不存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直.
证明：假设函数f（x）的图象上存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，则A，B两点的纵坐标相同.
设它们的横坐标分别为x1和x2，x1又f（x）是奇函数，
所以f（x1）－f（x2）＝f（x1）＋f（－x2）
＝[x1＋（－x2）].
又由题意，得>0，且x1＋（－x2）<0，
所以f（x1）＋f（－x2）<0，
即f（x1）－f（x2）<0，
这与f（x1）＝f（x2）矛盾，
故假设不成立，
即函数f（x）的图象上不存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直.
