课件47张PPT。第二章 推理与证明第二章 推理与证明全部对象某些已知特征个别一般特殊合情推理本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放 [A 基础达标]
1．观察数列1，5，14，30，x，…，则x的值为( )
A．22 B．33
C．44 D．55
解析：选D.观察归纳得出，从第2项起，每一项都等于它的前一项与它本身项数的平方的和，即an＝an－1＋n2，
所以x＝30＋52＝55.
2．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为( )
解析：选A.观察题图中每一行、每一列的规律，从形状和颜色入手，每一行、每一列中三种图形都有，故填长方形；又每一行、每一列中的图形的颜色应有二黑一白，故选A.
3．把下列在平面内成立的结论类比到空间，结论不成立的是( )
A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交
B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直
C．如果两条直线与第三条直线都不相交，则这两条直线不相交
D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行
解析：选D.类比A的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．
类比B的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立．
类比C的结论为：如果两个平面与第三个平面都不相交，则这两个平面不相交，成立．
类比D的结论为：如果两个平面同时与第三个平面垂直，则这两个平面平行，不成立．
4．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称以下形式的等式具有“穿墙术”：
2＝，3＝，4＝，5＝，….
按照以上规律，若8＝具有“穿墙术”，则n＝( )
A．7 B．35
C．48 D．63
解析：选D.2＝2＝，3＝3 ＝，4＝4＝，5＝5 ＝，…，按照以上规律可得n＝82－1＝63.
5. 如图，椭圆的中心在坐标原点，F为其左焦点，当⊥时，椭圆的离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可得“黄金双曲线”的离心率为( )
A. B.
C.－1 D.＋1
解析：选A.设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，F(－c，0)，B(0，b)，A(a，0)，则＝(c，b)，＝(－a，b)．因为⊥，所以·＝－ac＋b2＝0.又b2＝c2－a2，所以c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，解得e＝.又e>1，所以e＝.故选A.
6．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地，在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示________．
解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面．
答案：过原点的平面
7．观察下列等式：
1＋1＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
…
照此规律，第n个等式可为________________________．
解析：观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
答案：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
8．根据图(1)的面积关系：＝·，可猜想图(2)有体积关系：＝________．
解析：题干两图中，与△PAB，△PA′B′相对应的是三棱锥P-ABC，P-A′B′C′；与△PA′B′两边PA′，PB′相对应的是三棱锥P-A′B′C′的三条侧棱PA′，PB′，PC′.与△PAB的两条边PA，PB相对应的是三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC.由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为＝··.
答案：··
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an.
解：因为Sn＝n2·an(n≥2)，a1＝1，
所以S2＝4·a2＝a1＋a2，a2＝＝.
S3＝9a3＝a1＋a2＋a3，a3＝＝＝.
S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4，a4＝＝＝.所以猜想an＝.
10．在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有，，也是等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．
解：结论：S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列且公差为300.此结论是正确的，证明如下：
因为数列{an}的公差d＝3.所以(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝＝100d＝300.
同理：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，
所以S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列且公差为300.
[B 能力提升]
11．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )
1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
…
A．809 B．853
C．785 D．893
解析：选A.前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.
12．如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，以此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________．
解析：根据题意易得a1＝2，a2＝，a3＝1，
所以{an}构成以a1＝2，q＝的等比数列，
所以a7＝a1q6＝2×＝.
答案：
13．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N*，m≥2)．
(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2，3，4，5，…时，方阵中士兵的人数；
(2)若把(1)中的数列记为{an}，
①归纳猜想该数列的通项公式；
②求a10，并说明a10表示的实际意义；
③若am＝9 900，求am是数列{an}的第几项，此时的方阵为几行几列．
解：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，同理可以得到当m＝3，4，5，…时的士兵人数分别为12，20，30，…，故所求数列为6，12，20，30，….
(2)①因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，
所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*.
②a10＝11×12＝132.
a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.
③令(m＋1)(m＋2)＝9 900，所以m＝98，即am是数列{an}的第98项，此时的方阵为99行100列．
14．(选做题)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin2 13°＋cos2 17°－sin 13°cos 17°；
②sin2 15°＋cos2 15°－sin 15°cos 15°；
③sin2 18°＋cos2 12°－sin 18°cos 12°；
④sin2 (－18°)＋cos2 48°－sin (－18°)cos 48°；
⑤sin2 (－25°)＋cos2 55°－sin (－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式，计算如下：sin2 15°＋cos2 15°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2 α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.证明如下：
sin2 α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2 α＋(cos 30°cos α＋sin 30° sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2 α＋cos2 α＋sin αcos α＋sin2 α－sin αcos α－sin2 α＝sin2 α＋cos2 α－sin2 α
＝sin2 α＋cos2 α＝.
