课件36张PPT。第三章 导数及其应用第三章 导数及其应用本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放[学生用书P129(单独成册)])
[A 基础达标]
1．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是( )
A．f(b)＞f(c)＞f(d)
B．f(b)＞f(a)＞f(e)
C．f(c)＞f(b)＞f(a)
D．f(c)＞f(e)＞f(d)
解析：选C.依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0；当x∈(c，e)时，f′(x)＜0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＞0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上单调递增，在(c，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，又a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a)．
2．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间为( )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)，(1，＋∞)
D．(－3，1)
解析：选D.f′(x)＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，由f′(x)＝(－x2－2x＋3)ex＞0，解得－3＜x＜1，故函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间为(－3，1)．
3．三次函数y＝f(x)＝ax3－1在R上是减函数，则( )
A．a＝1 B．a＝2
C．a≤0 D．a＜0
解析：选D.y′＝3ax2，要使f(x)在R上为减函数，则y′≤0在R上恒成立，即a≤0，又a＝0时，y′＝0恒成立，所以a≠0.综上a＜0.
4．函数f(x)＝x＋cos x的一个单调递增区间为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A.由f(x)＝x＋cos x得f′(x)＝－sin x，当x∈时，f′(x)>0，故函数f(x)＝x＋cos x的一个单调递增区间为.故选A.
5．若f(x)＝，e＜a＜b，则( )
A．f(a)＞f(b)
B．f(a)＝f(b)
C．f(a)＜f(b)
D．f(a)f(b)＞1
解析：选A.因为f′(x)＝＝，
当x∈(e，＋∞)时，1－ln x＜0，所以f′(x)＜0，
所以f(x)在(e，＋∞)内为单调递减函数．
故f(a)＞f(b)．故选A.
6．若函数f(x)＝，则f(x)的单调递减区间为________．
解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝＝，令f′(x)＜0，得x＜0或0＜x＜1，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(0，1)．
答案：(－∞，0)和(0，1)
7．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2)，则b＝________，c＝________．
解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1，2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根，把－1，2分别代入方程，联立解得b＝－，c＝－6.
答案：－ －6
8．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为________．
解析：设g(x)＝f(x)－2x－4，
则g′(x)＝f′(x)－2.
因为对任意x∈R，f′(x)＞2，所以g′(x)＞0.
所以g(x)在R上为增函数.
又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，
所以x＞－1时，g(x)＞0.
所以由f(x)＞2x＋4，得x＞－1.
答案：(－1，＋∞)
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝－4，f′(1)＝0.
(1)求a和b的值；
(2)试确定函数f(x)的单调区间．
解：(1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx，
所以f′(x)＝x2＋2ax＋b，
由得
解得a＝1，b＝－3.
(2)由(1)得f(x)＝x3＋x2－3x，x∈R，
f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)．
由f′(x)＞0得x＞1或x＜－3；
由f′(x)＜0得－3＜x＜1.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3，1)．
[B 能力提升]
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若a2－3b<0，则f(x)是( )
A．减函数
B．增函数
C．常数函数
D．既不是减函数也不是增函数
解析：选B.由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，则方程3x2＋2ax＋b＝0的根的判别式Δ＝4a2－12b＝4(a2－3b)<0，故f′(x)>0在R上恒成立，即f(x)在R上为增函数．
11．函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为________．
解析：函数y＝f(x)在区间和区间(2，3)上单调递减，所以在区间和区间(2，3)上，y＝f′(x)<0，所以f′(x)<0的解集为∪(2，3)．
答案：∪(2，3)
12．设函数f(x)＝ax－－2ln x.
(1)若f′(2)＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
因为 f′(x)＝a＋－，
且f′(2)＝0，
所以a＋－1＝0，所以a＝.
所以f′(x)＝＋－
＝(2x2－5x＋2)．
令f′(x)≥0，解得0＜x≤或x≥2；
令f′(x)≤0，解得≤x≤2，
所以f(x)的递增区间为和[2，＋∞)，递减区间为.
(2)若f(x)在定义域上是增函数，
则f′(x)≥0恒成立，
因为f′(x)＝a＋－＝，所以需ax2－2x＋a≥0恒成立，
所以解得a≥1.
所以a的取值范围是.
13．(选做题)已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a＝－1时，证明：当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋2＞0.
解：(1)根据题意知，f′(x)＝(x＞0)，当a＞0时，则当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)；
同理，当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)；
当a＝0时，f(x)＝－3，不是单调函数，无单调区间．
(2)证明：当a＝－1时，f(x)＝－ln x＋x－3，
所以f(1)＝－2，
由(1)知f(x)＝－ln x＋x－3在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞f(1)．
即f(x)＞－2，所以f(x)＋2＞0.
