[学生用书P121(单独成册)])
[A 基础达标]
1．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为，则下面叙述正确的是( )
A．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为
B．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为
C．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－
D．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－
解析：选B.函数f(x)从x1到x2的平均变化率就是割线AB的斜率，所以kAB＝，割线AB的倾斜角为，选B.
2．已知函数y＝，当x由2变为1.5时，函数值y的增量为( )
A．1 B．2
C. D．
解析：选C.Δy＝－＝－1＝.
3．若函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a＝( )
A．－3 B．2
C．3 D．－2
解析：选C.根据平均变化率的定义及题设可知＝＝a＝3.故选C.
4．一质点位移随时间变化的函数为s(t)＝5－3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点从t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3 m/s B．3 m/s
C．6 m/s D．－6 m/s
解析：选D.当Δt趋近于0时，－3Δt－6趋近于－6，即t＝1时该质点的瞬时速度为－6 m/s.
5．若函数f(x)＝－x2＋10的图象上一点及邻近一点，则＝( )
A．3 B．－3
C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3
解析：选D.因为Δy＝f－f
＝－3Δx－(Δx)2，
所以＝＝－3－Δx.
6．球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨胀率为________．
解析：因为Δy＝π×23－π×13＝，
所以＝＝.
答案：
7．函数y＝x－在x＝1处的导数为________．
解析：因为Δy＝(1＋Δx)－－(1－1)＝Δx＋，
所以＝＝1＋.
当Δx→0时，→2，
所以函数y＝x－在x＝1处的导数为2.
答案：2
8．设函数y＝x2＋2x在某点处的导数等于3，则该点的坐标是________．
解析：y′|x＝x0＝
＝2x0＋2，又2x0＋2＝3，所以x0＝.所以该点的坐标为.
答案：
9．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算该婴儿从出生到第3个月以及第6个月到第12个月体重的平均变化率．
解：从出生到第3个月的时间变化量为Δt＝3－0＝3(月)，从出生到第3个月的体重变化量为ΔW＝6.5－3.5＝3 (kg)，
则该婴儿从出生到第3个月的体重的平均变化率为＝＝1(kg/月)．
从第6个月到第12个月的时间变化量为Δt＝12－6＝6(月)，从第6个月到第12个月的体重变化量为ΔW＝11－8.6＝2.4 (kg)，
则该婴儿从第6个月到第12个月的体重的平均变化率为＝＝0.4(kg/月)．
10．若函数f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．
解：因为函数f(x)在[2，2＋Δx]上的平均变化率为：
＝＝
＝＝－3－Δx，
所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又因为Δx>0，即Δx的取值范围是(0，＋∞)．
[B 能力提升]
11．设函数f(x)在x＝2处的导数存在，则
＝( )
A．－2f′(2) B．2f′(2)
C．－f′(2) D．f′(2)
解析：选C.因为函数f(x)在x＝2处的导数存在，所以 ＝－ ＝－f′(2)．
12．若函数y＝f(x)＝在点x＝x0处的瞬时变化率是，则x0的值是( )
A. B．
C．1 D．3
解析：选A.＝
＝
＝，当Δx→0时，→，所以＝，所以x0＝.
13．求y＝x2＋＋5在x＝2处的导数．
解：因为Δy＝(2＋Δx)2＋＋5－
＝4Δx＋(Δx)2＋，
所以＝4＋Δx－，
所以y′|x＝2＝＝
＝4＋0－＝.
14．(选做题)若一物体的运动方程如下(s单位：m，t单位：s)：s＝
求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
解：(1)t∈[3，5]时，Δt＝5－3＝2，Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，所以＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．
因为物体在t＝0附近的平均速度为＝＝＝＝3Δt－18，
所以当Δt趋于0时，趋于－18，所以物体在t＝0时的瞬时速度为－18 m/s，
(3)因为物体在t＝1时的平均速度为＝＝＝3Δt－12，
当Δt趋于0时，趋于－12，
所以物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
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