课件30张PPT。第三章 导数及其应用第三章 导数及其应用本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放[学生用书P123(单独成册)])
[A 基础达标]
1．已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(1，2)，则f′(1)的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．2
解析：选B.因为二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(1，2)，所以过点(1，2)的切线平行于x轴，即切线的斜率为0，所以f′(1)＝0，选B.
2．已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f′(1)的值是( )
A. B．1
C. D．2
解析：选D.因为(1，f(1))在直线x－2y＋1＝0上，所以1－2f(1)＋1＝0，所以f(1)＝1.又f′(1)＝，所以f(1)＋2f′(1)＝1＋2×＝2.故选D.
3．已知曲线y＝x2－2上一点P，则过点P的切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．165°
解析：选B.设y＝f(x)，过点P的切线的斜率为k＝f′(1)＝ ＝1，设切线的倾斜角为α，则tan α＝1，因为0°≤α<180°，所以α＝45°.
4．曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B．
C．－ D．－1
解析：选A.因为y′|x＝1＝＝＝(2a＋aΔx)＝2a，所以2a＝2，
所以a＝1.
5．过正弦曲线y＝sin x上的点的切线与y＝sin x的图象的交点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．无数个
解析：选D.由题意，y＝f(x)＝sin x，则f′＝
＝.
当Δx→0时，cos Δx→1，所以f′＝0.
所以曲线y＝sin x的切线方程为y＝1，且与y＝sin x的图象有无数个交点．
6．曲线y＝f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．
解析：因为y＝，
所以y′＝＝
＝＝－，因此曲线f(x)在点(－2，－1)处的切线的斜率k＝－＝－.由点斜式可得切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.
答案：x＋2y＋4＝0
7．已知函数y＝f(x)在区间[0，3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为__________．(请用“>”连接)
解析：由导数的几何意义可知k1，k2分别为曲线在A，B处切线的斜率，而k3＝f(2)－f(1)＝，为直线AB的斜率，由图象易知k1>k3>k2.
答案：k1>k3>k2
8．已知f(x)＝x2＋ax, f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________．
解析：由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝4.又切线在y轴上的截距为－1，所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1.从而切点坐标为(1，3)，所以f(1)＝1＋a＝3，即 a＝2.
答案：2
9．求过曲线f(x)＝－上的点P 的切线方程．
解：因为f′(4)＝
＝
＝
＝
＝＝－，
所以切线的斜率为－.
所以所求的切线方程为5x＋16y＋8＝0.
10．已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3，9)的切线方程．
解：由题意得f′(x0)＝
＝
＝(4x0＋2Δx)＝4x0.
由于2×32－7＝11≠9，故点P(3，9)不在曲线上．
设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)，
将P(3，9)及y0＝2x－7代入上式得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)．
解得x0＝2或x0＝4.
所以切点为(2，1)或(4，25)．
从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.
[B 能力提升]
11．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
解析：选B.由函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．
12．若直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点P(1，3)，则b＝________．
解析：因为点P(1，3)既在直线上又在曲线上，
所以3＝k＋1，且3＝1＋a＋b，
即k＝2，a＋b＝2.
根据导数的定义知y＝x3＋ax＋b的导数为y′＝3x2＋a，
所以3×12＋a＝k，所以a＝－1，b＝3.
答案：3
13．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切．
(1)求切点的坐标；
(2)求a的值．
解：(1)设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
因为f′(x0)＝
＝
＝3x－4x0.
由题意可知k＝4，
即3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2.
所以切点坐标为或(2，3)．
(2)当切点为时，有＝4×＋a，
解得a＝.
当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a，解得a＝－5.
14．(选做题)求曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．
解：联立两曲线方程
解得
即交点坐标为(1，1)．
曲线y＝在点(1，1)处的切线斜率为
f′(1)＝＝＝－1，
所以曲线y＝在点(1，1)处的一条切线方程为
y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2.
同理，曲线y＝x2在点(1，1)处的切线斜率为g′(1)＝
＝.
＝(2＋Δx)＝2.
所以曲线y＝x2在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
两条切线y＝－x＋2和y＝2x－1与x轴所围成的图形如图所示．
所以S＝×1×＝，故三角形的面积为.
