[学生用书P125(单独成册)])
[A 基础达标]
1．(2019·泰安高二检测)若指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)满足f′(1)＝ln 27，则f′(－1)＝( )
A．2 B．ln 3
C. D．－ln 3
解析：选C.f′(x)＝axln a，由f′(1)＝aln a＝ln 27，解得a＝3，则f′(x)＝3xln 3，故f′(－1)＝.
2．已知f(x)＝x2·，则f′(2)＝( )
A．4 B．0
C. D．5
解析：选D.原函数化简得f(x)＝x，所以f′(x)＝·x，所以f′(2)＝×2＝5.故选D.
3．已知f(x)＝exln x，则f′(x)＝( )
A. B．ex＋
C. D．＋ln x
解析：选C.f′(x)＝(ex)′·ln x＋ex·(ln x)′＝ex·ln x＋ex·＝，所以选C.
4．若幂函数f(x)＝mxα(α∈Q*)的图象经过点A，则它在点A处的切线方程是( )
A．2x－y＝0 B．2x＋y＝0
C．4x－4y＋1＝0 D．4x＋4y＋1＝0
解析：选C.因为函数f(x)＝mxα为幂函数，所以m＝1.又幂函数f(x)＝xα的图象经过点A，所以α＝，所以f(x)＝x，f′(x)＝，f′＝1，所以f(x)的图象在点A处的切线方程为y－＝x－，即4x－4y＋1＝0.
5．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2
解析：选A.因为y′＝＝，
所以k＝y′|x＝－1＝＝2，
所以切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
6．已知函数f(x)＝，若f′(a)＝12，则实数a的值为________．
解析：f′(x)＝，若f′(a)＝12，则或，解得a＝或a＝－4.
答案：或－4
7．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P处的切线与直线x＋4y＋1＝0垂直，则点P的坐标为________．
解析：因为曲线f(x)＝x3＋x－2在点P处的切线与直线x＋4y＋1＝0垂直，
所以曲线f(x)在点P处的切线斜率为4，
因为f(x)＝x3＋x－2，所以f′(x)＝3x2＋1＝4，
所以x＝±1，当x＝1时，y＝0，
当x＝－1时，y＝－4，
所以点P的坐标为(1，0)或(－1，－4)．
答案：(1，0)或(－1，－4)
8．(2019·西安高二检测)已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
解析：因为f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
所以f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
所以f(x)＝(－1)cos x＋sin x.
所以f＝1.
答案：1
9．求下列函数的导数．
(1)y＝－ln x； (2)y＝(x2＋1)(x－1)；
(3)y＝； (4)y＝.
解：(1)y′＝(－ln x)′
＝()′－(ln x)′＝－.
(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′
＝(x3－x2＋x－1)′
＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′
＝3x2－2x＋1.
(3)y′＝
＝.
(4)y′＝
＝.
10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
解：(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又知f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，
又知 g(0)＝3.
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，即7x＋y－3＝0.
[B 能力提升]
11．设f0(x)＝cos x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 018(x)＝( )
A．sin x B．－sin x
C．cos x D．－cos x
解析：选D.f1(x)＝(cos x)′＝－sin x，f2(x)＝
(－sin x)′＝－cos x，f3(x)＝(－cos x)′＝sin x，f4(x)＝(sin x)′＝cos x，……由此可知fn(x)的值周期性重复出现，且周期为4，故f2 018(x)＝f4×504＋2(x)＝f2(x)＝－cos x．故选D.
12．(2019·衡水高二检测)已知函数f(x)＝x2－aln x．若函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线不过第四象限且不过原点，则实数a的取值范围为________．
解析：由f′(x)＝x－，得f′(1)＝1－a.因为f(1)＝，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝(1－a)(x－1)，即y＝(1－a)x＋a－.由题意得，解得
答案：(，1]
13．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．
解：因为直线l过原点，所以直线l的斜率k＝(x0≠0)．
由点(x0，y0)在曲线C上，得y0＝x－3x＋2x0，
所以＝x－3x0＋2.
又y′＝3x2－6x＋2，
所以k＝y′|x＝x0＝3x－6x0＋2.
又k＝，所以3x－6x0＋2＝x－3x0＋2，
整理得2x－3x0＝0.
因为x0≠0，所以x0＝，此时y0＝－，k＝－.
因此直线l的方程为y＝－x，
切点坐标为.
14．(选做题)已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)．
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线的斜率相同，求a的值；
(2)若存在曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在同一点处的切线的斜率相同，求实数a的取值范围．
解：(1)由已知得，f′(x)＝1＋，g′(x)＝－，
所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1)＝3，
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线的斜率为g′(1)＝－a，
由已知，得f′(1)＝g′(1)，得a＝－3.
(2)由题意，得1＋＝－(x>0)，
则a＝－x－≤－2，当且仅当x＝，即x＝时，等号成立，
故实数a的取值范围为(－∞，－2]．
课件46张PPT。第三章 导数及其应用第三章 导数及其应用本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放