[学生用书P137(单独成册)])
[A 基础达标]
1．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关的统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：y＝－t3－t2＋36t－，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( )
A．6时 B．7时
C．8时 D．9时
解析：选C.y′＝－t2－t＋36＝－(t＋12)(t－8)．
令y′＝0，得t＝8或t＝－12(舍去)，
则当6≤t<8时，y′>0，
当8所以当t＝8时，通过该路段所用的时间最多．
2．把一段长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A. cm2 B．4 cm2
C．3 cm2 D．2 cm2
解析：选D.设一段为x，则另一段为12－x(0则S(x)＝××＋××
＝，
所以S′(x)＝.
令S′(x)＝0，得x＝6，
当x∈(0，6)时，S′(x)<0，
当x∈(6，12)时，S′(x)>0，
所以当x＝6时，S(x)最小．
所以S＝＝2(cm2)．
3．已知生产某产品x单位的成本为C(x)＝5x＋200(元)，所得收益为R(x)＝10x－0.01x2(元)，则生产多少单位产品才能使总利润L最大( )
A．200 B．250
C．300 D．260
解析：选B.总利润L＝R(x)－C(x)＝5x－0.01x2－200，L′＝5－0.02x，令L′＝0，得x＝250.易知x＝250是唯一的极大值点．因此，生产250单位的产品才能使总利润最大．
4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x，0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )
A．150 B．200
C．250 D．300
解析：选D.由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000(0≤x≤390)．
P′(x)＝－＋300，由P′(x)＝0，得x＝300.
当0≤x<300时，P′(x)>0；当3005．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每1 m2的造价为15元，箱壁每1 m2的造价为12元，那么箱子的最低总造价为( )
A．900元 B．840元
C．818元 D．816元
解析：选D.设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，根据题意得箱底面积为＝16(m2)，则长为x m的一边的邻边长度为 m，则l＝16×15＋(2×3x＋2×3×)×12＝240＋72，l′＝72.
令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．当04时，l′>0.故当x＝4时，l有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元．
6．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是________．
解析：原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
答案：－1
7．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为________．
解析：设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，所以r2＝2Rh－h2，
所以V＝πr2h＝h(2Rh－h2)
＝πRh2－h3，
V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R.
当00；当因此当h＝R时，圆锥体积最大．
答案：R
8．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x3，产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，当总利润最大时，则产量应定为________件．
解析：设产品单价为a元，产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知k＝250 000，则a2x＝250 000，
所以a＝.总利润y＝500－x3－1 200(x>0)，y′＝－x2.
由y′＝0，得x＝25，当x∈(0，25)时，y′>0；当x∈(25，＋∞)时，y′<0，
所以x＝25时，y取最大值．
答案：25
9.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2 400 m2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2 m．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出最大面积．
解：设休闲广场的长为x m，则宽为 m，绿化区域的总面积为S(x) m2.
则S(x)＝(x－6)
＝2 424－
＝2 424－4，x∈(6，600)．
所以S′(x)＝－4
＝.
令S′(x)>0，得6所以S(x)在(6，60)上是增函数，在(60，600)上是减函数，
所以当x＝60时，S(x)取得极大值，也是最大值，
所以S(x)max＝S(60)＝1 944.
所以当休闲广场的长为60 m，宽为40 m时，绿化区域的总面积最大，最大面积为1 944 m2.
10．某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
解：(1)若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件．
由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6.
若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0，21]．
(2)对(1)中函数f(x)求导得f′(x)＝－18(x－2)(x－12)且f′(x)的变化情况如下表：
x
0
(0，2)
2
(2，12)
12
(12，21)
21
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
9 072
?
极小值
?
极大值
?
0
所以当x＝12时，f(x)取得极大值．
因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，
f(21)＝0，
所以定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大．
[B 能力提升]
11．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为( )
A．2πr2 B．πr2
C．4πr2 D．πr2
解析：选A.设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，
则S＝2πr1t＝2πr12＝4πr1.
所以S＝4π.
令(r2r－r)′＝0得r1＝r.
此时S＝4π·r·
＝4π·r·r＝2πr2.
12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0，0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为( )
A．0.016 2 B．0.032 4
C．0.024 3 D．0.048 6
解析：选B.依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048 6kx2，其中x∈(0，0.048 6)．所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去)．
当00；
当0.032 4所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．
13.如图，已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．
解：设AD＝2x(0则A(x，0)，AB＝y＝4－x2，
所以矩形面积为S＝2x(4－x2)(0即S＝8x－2x3，S′＝8－6x2，
令S′＝0，解得x＝或x＝－(舍去)．
当00；当所以，当x＝时，S取得最大值，此时S最大值＝.
即矩形的长和宽分别为，时，矩形的面积最大．
14．(选做题)为了解决老百姓“看病贵”的问题，国家多次下调药品价格，各大药厂也在积极行动，通过技术改造来提高生产能力，降低能耗从而降低药品生产的成本．某药厂有一条价值a 万元的药品生产线，经过预测和计算，得到生产成本降低y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与(a－x) 和x2的乘积成正比；②当x＝时，y＝a3，并且技术改造投入比率为∈(0，t]，t为常数且t∈(0，2]．
(1)求y＝f(x)的解析式及定义域；
(2)为了有更大的降价空间，要尽可能地降低药品的生产成本，求y的最大值及相应的x值．
解：(1)设y＝f(x)＝k(a－x)x2，
当x＝时，y＝a3，即a3＝k··，
解得k＝8.
所以f(x)＝8(a－x)x2.
因为0＜≤t，
所以函数的定义域是.
(2)因为f(x)＝8(a－x)x2，
所以f′(x)＝－24x2＋16ax，令f′(x)＝0，则x＝0(舍去)或x＝.当0＜x＜时，f′(x)＞0，
所以f(x)在上是增函数；
当x＞时，f′(x)＜0，
所以f(x)在上是减函数．
所以x＝为函数f(x)＝8(a－x)x2的极大值点．
当≥，即1≤t≤2时，ymax＝f＝a3；
当＜，即0＜t＜1时，ymax＝f＝.
综上可得，
当1≤t≤2时，投入万元，y的最大值为a3；
当0＜t＜1时，投入万元，y的最大值为.
课件30张PPT。第三章 导数及其应用第三章 导数及其应用本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
