[学生用书P87(单独成册)])
[A 基础达标]
1．特称命题“存在实数x0，使x＋1<0”可写成( )
A．若x∈R，则x2＋1>0 B．?x∈R，x2＋1<0
C．?x0∈R，x＋1<0 D．以上都不正确
解析：选C.特称命题中“存在”可用符号“?”表示，故选C.
2．下列命题中，是全称命题且是真命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
B．菱形的两条对角线相等
C．?x∈R，＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
解析：选D.A中的命题是全称命题，但是a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称命题，但是假命题；C中的命题是全称命题，但＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称命题且是真命题，故选D.
3．给出下列四个命题：
①对任意的x∈R，x2＞0；
②存在x0∈R，使得x≤x0成立；
③对于集合M，N，若x∈M∩N，则x∈M且x∈N；
④存在α0，β0∈R，使tan(α0＋β0)＝tan α0＋tan β0.
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D.对于①，存在x＝0，使得x2＝0，故①是假命题；显然②③④是真命题．
4．已知命题p：?x∈R，2x2－2x＋1≤0，命题q：?x∈R，sin x＋cos x＝，则下列判断正确的是( )
①“p且q”是真命题；
②“p或q”是真命题；
③q是假命题；
④“非p”是真命题．
A．①④ B．②③
C．③④ D．②④
解析：选D.由题意，知p假q真，故②④正确，选D.
5．已知命题p：?x0∈R，x＋1＜2x0；命题q：不等式x2－2x－1＞0恒成立，那么( )
A．“﹁p”是假命题
B．q是真命题
C．“p∨q”是假命题
D．“p∧q”是真命题
解析：选C.根据基本不等式，x2＋1≥2x，所以命题p是假命题．
因为当x＝0时，x2－2x－1＝－1＜0，所以命题q是假命题．
所以﹁p是真命题，“p∨q”是假命题，“p∧q”是假命题；所以C正确．
6．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“?”写成特称命题为________________________________．
解析：特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“?x0∈M，p(x0)”．
答案：?x0∈(－∞，0)，(1＋x0)(1－9x0)2＞0
7．下列命题：
①存在x0<0，x－2x0－3＝0；
②对于一切实数x<0，都有|x|>x；
③已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N*，an≠bm.
其中，所有真命题的序号为________．
解析：因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，
所以存在x0＝－1<0，使x－2x0－3＝0，故①为真命题；
②显然为真命题；
③当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故③为假命题．
答案：①②
8．若“?x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析：由题意，原命题等价于tan x≤m在区间上恒成立，即y＝tan x在上的最大值小于或等于m，又y＝tan x在上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.
答案：1
9．指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断真假．
(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0；
(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；
(3)?T0∈R，|sin(x＋T0)|＝|sin x|.
解：(1)是全称命题．
因为ax>0(a>0，且a≠1)恒成立，所以命题(1)是真命题．
(2)是特称命题．
由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，所以命题(2)是假命题．
(3)是特称命题．
y＝|sin x|是周期函数，π就是它的一个周期，所以命题(3)是真命题．
10．若命题“?a0∈[1，3]，使a0x2＋(a0－2)x－2＞0”是真命题，求实数x的取值范围．
解：令f(a0)＝a0x2＋(a0－2)x－2＝(x2＋x)a0－2x－2，则f(a0)是关于a0的一次函数，由题意得，(x2＋x)－2x－2＞0或(x2＋x)·3－2x－2＞0.
即x2－x－2＞0或3x2＋x－2＞0，
解得x＜－1或x＞.
[B 能力提升]
11．已知命题p：?x∈N*，≥，命题q：?x∈N*，2x＋21－x＝2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．(﹁p)∧q
C．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧(﹁q)
解析：选C.因为y＝xn(n为正整数)在(0，＋∞)上是增函数，又>，所以>，所以?x∈N*，≥成立，p为真命题；因为2x>0，21－x>0，所以2x＋21－x≥2＝2，当且仅当2x＝21－x，即x＝时等号成立．因为x＝?N*，所以q为假命题，所以p∧(﹁q)为真命题．
12．若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是( )
A．?a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．?a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数
C．?a∈R，f(x)是偶函数
D．?a∈R，f(x)是奇函数
解析：选C.当a＝5时，f(x)＝x2＋，则f＝10，f(1)＝6，f (3)＝10，易知此时f(x)在(0，＋∞)上不单调，故A，B错误；当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数；当a≠0时，f(－x)＝x2－，易知f(x)为非奇非偶函数，故C正确，D错误．故选C.
13．已知命题p：?x0∈R，mx＋1≤0；命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∨q为假命题，求实数m的取值范围．
解：若p∨q为假命题，则p，q均为假命题．
根据p为假命题，可得m≥0，
根据q为假命题，可得Δ＝m2－4≥0，
解得m≥2或m≤－2.
综上，m≥2，即实数m的取值范围为[2，＋∞)．
14．(选做题)已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)若命题“对于任意x∈R，不等式m＋f(x)>0恒成立”为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题“存在实数x使不等式m－f(x)>0成立”为真命题，求实数m的取值范围．
解：(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，则m>－4，
故实数m的取值范围是(－4，＋∞)．
(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．
若存在实数x使不等式m>f(x)成立，只需要m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，得f(x)min＝4，所以m>4.
故所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
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