课件37张PPT。第一章 常用逻辑用语本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放[学生用书P91(单独成册)])
[A 基础达标]
1．命题“?x0∈R，1
A．?x∈R，1B．?x∈R，1C．?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
D．?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
解析：选D.根据特称命题的否定是全称命题可知原命题的否定形式为“?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”．故选D.
2．命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是( )
A．若a≤b，则a＋c≤b＋c
B．若a＋c≤b＋c，则a≤b
C．若a＋c>b＋c，则a>b
D．若a>b，则a＋c≤b＋c
解析：选A.否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.
3．设p：log2x<0，q：>1，则p是q的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.p：log2x<0?01?x<1，所以p?q但qp，所以p是q的充分不必要条件，故选B.
4．下列表述错误的是( )
A．存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β
B．命题“若a∈M，则b?M”的等价命题是“若b∈M，则a?M”
C．“x>2”是“x2>4”的充分不必要条件
D．对任意的φ∈R，函数y＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
解析：选D.当α＝0，β＝时，tan＝tan 0＋tan成立，故选项A正确．
对于选项B、C，显然正确．
在D中，存在φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝sin(2x＋φ)是偶函数，D错误．
5．已知命题p：?x0∈R，x0－2>lg x0，命题q：?x∈R，x2>0，则( )
A．命题p∨q是假命题
B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧(﹁q)是真命题
D．命题p∨(﹁q)是假命题
解析：选C.当x＝10时，x－2＝8，lg x＝lg 10＝1，故命题p为真命题；令x＝0，则x2＝0，故命题q为假命题．依据复合命题真假性的判断法则，可知命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，﹁q是真命题，进而得到命题p∧(﹁q)是真命题，命题p∨(﹁q)是真命题．故选C.
6．写出命题“若方程ax2－bx＋c＝0的两根都大于0，则ac＞0”的一个等价命题：________________．
解析：一个命题与其逆否命题是等价命题．
答案：若ac≤0，则方程ax2－bx＋c＝0的两根不都大于0
7．已知p：－3＜x－a＜3，q：(x－1)(2－x)＞0.若﹁p是﹁q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：p：－3＜x－a＜3，即a－3＜x＜a＋3；q：(x－1)(2－x)＞0，即1＜x＜2，所以﹁p：x≤a－3或x≥a＋3，﹁q：x≤1或x≥2；而﹁p是﹁q的充分条件，所以解得－1≤a≤4.
答案：[－1，4]
8．设命题p：c2＜c和命题q：?x∈R，x2＋4cx＋1＞0，且p∨q为真，p∧q为假，则实数c的取值范围是________．
解析：解不等式c2＜c，得0＜c＜1，即命题p：0＜c＜1，
所以命题﹁p：c≤0或c≥1.
又由(4c)2－4＜0，得－＜c＜，
即命题q：－＜c＜，
所以命题﹁q：c≤－或c≥，
由题意知p与q中一个为真命题，一个为假命题．
当p真q假时，实数c的取值范围是≤c＜1.
当p假q真时，实数c的取值范围是－＜c≤0.
综上所述，实数c的取值范围是－＜c≤0或≤c＜1.
答案：∪
9．指出下列命题中，p是q的什么条件：
(1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}；
(2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数；
(3)p：0解：(1)因为{x|x>－2或x<3}＝R，{x|x2－x－6<0}＝{x|－2－2或x<3}? {x|－2－2或x<3}．
所以p是q的必要不充分条件．
(2)因为a，b都是奇数?a＋b为偶数，而a＋b为偶数 a，b都是奇数，所以p是q的充分不必要条件．
(3)mx2－2x＋3＝0有两个同号不等实根?
???0所以p是q的充要条件．
10．设函数y＝lg(－x2＋4x－3)的定义域为A，函数y＝，x∈(0，m)的值域为B.
(1)当m＝2时，求A∩B；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意得－x2＋4x－3＞0，解得1＜x＜3，
所以A＝(1，3)，
又函数y＝在区间(0，m)上单调递减，
所以y∈，即B＝，
当m＝2时，B＝，
所以A∩B＝(1，2)．
(2)首先要求m＞0，
因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
所以B?A，即?(1，3)，
从而≥1，解得0＜m≤1.
[B 能力提升]
11．已知函数f(x)＝给出两个命题：命题p：?m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有解，命题q：若m＝，则f(f(－1))＝0，那么，下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(﹁p)∧q
C．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧(﹁q)
解析：选B.因为3x>0，当m<0时，m－x2<0，
所以命题p为假命题；
当m＝时，因为f(－1)＝3－1＝，
所以f(f(－1))＝f＝－＝0，
所以命题q为真命题，
逐项检验可知，只有(﹁p)∧q为真命题，故选B.
12．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若?x1∈[－1，2]，?x2∈[－1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是__________．
解析：当?x1∈[－1，2]时，由f(x)＝x2－2x得，对称轴是直线x＝1，f(1)＝－1是最小值，f(－1)＝3是最大值，所以f(x1)∈[－1，3]．又因为?x1∈[－1，2]，?x2∈[－1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，所以当x2∈[－1，2]时，[－1，3]?g(x2)．因为a>0，所以g(x)＝ax＋2是增函数，所以解得a≥3，综上所述，实数a的取值范围是[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
13．设有两个命题：p：关于x的不等式sin xcos x>m2＋－1的解集是R；q：幂函数f(x)＝x7－3m在(0，＋∞)上是减函数．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求m的取值范围．
解：因为“p且q”是假命题，所以p，q中至少有一个是假命题．
因为“p或q”是真命题，所以p，q中至少有一个是真命题．
故p和q两个命题一真一假．
若p真，则2m2＋m－2<－1，即2m2＋m－1<0，所以－1若q真，则7－3m<0，所以m>.
p真q假时，－1.
所以m的取值范围是∪.
14．(选做题)已知函数f(x)＝4sin2－2cos 2x－1.给定p：x<或x>，x∈R.q：－2解：由q可得.
因为﹁p是q的充分条件，
所以在≤x≤的条件下，恒成立．
又f(x)＝2－2cos 2x－1
＝2sin 2x－2cos 2x＋1
＝4sin＋1，
由≤x≤，知≤2x－≤，
所以当x＝时，f(x)max＝5，
当x＝时，f(x)min＝3.
所以，即3所以m的取值范围是(3，5)．
章末综合检测(一)[学生用书P93(单独成册)]
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
解析：选B.根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
2．“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析：选D.“－13．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．
4．已知命题①若a>b，则<；②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0.则下列说法正确的是( )
A．①的逆命题为真
B．②的逆命题为真
C．①的逆否命题为真
D．②的逆否命题为真
解析：选D.①的逆命题为“若<，则a>b”，若a＝－2，b＝3，则不成立．故A错；②的逆命题为“若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤0”是假命题，故B错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确．
5．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )
A．(﹁p)∨q
B．p∧q
C．(﹁p)∧(﹁q)
D．(﹁p)∨(﹁q)
解析：选D.易得命题p为真命题，命题q为假命题，结合各选项知只有(﹁p)∨(﹁q)为真命题．
6．已知命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)；命题q：a2＋b2≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是( )
A．“p∨q”为真 B．“p∧q”为真
C．“﹁p”为假 D．“﹁q”为真
解析：选A.p为假，q为真，故选A.
7．已知命题p：在△ABC中，若A>B，则cos A>cos B，则下列命题为真命题的是( )
A．p的逆命题 B．p的否命题
C．p的逆否命题 D．p的否定
解析：选D.命题p的否命题是“在△ABC中，若A≤B，则cos A≤cos B”，是假命题，所以它的逆命题也是假命题，故A，B错误．命题p是假命题，所以p的逆否命题是假命题，p的否定是真命题，故C错误，D正确．
8．下列关于函数f(x)＝x2与函数g(x)＝2x的描述，正确的是( )
A．?a0∈R，当x>a0时，总有f(x)B．?x∈R，f(x)C．?x<0，f(x)≠g(x)
D．方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)内有且只有一个实数解
解析：选A.在同一坐标系内作出两函数的大致图象，在(0，＋∞)上两交点为(2，4)，(4，16)．当x>4时，由图象知f(x)9．下列判断正确的是( )
A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B．命题“?x∈N*，x3>x2”的否定是“?x0∈N*，xC．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
解析：选D.选项A的命题是全称命题，不正确，选项B应该是?x0∈N*，x≤x，不正确；对于选项C，f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，周期T＝＝，当a＝1时，周期是π，当周期是π时，a＝±1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的充分不必要条件；选项D正确，故选D.
10．给定下列命题：
①“x∈N”是“x∈N*”的充分不必要条件；
②“若sin α≠，则α≠”；
③“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题；
④命题“?x0∈R，使x－x0＋1≤0”的否定．
其中是真命题的是( )
A．①②③ B．②④
C．③④ D．②③④
解析：选B.“x∈N”是“x∈N*”的必要不充分条件，①错误；②的逆否命题为：若α＝，则sin α＝正确，故②正确；若xy＝0，则x＝0或y＝0，所以③中原命题错误，其逆否命题也错误，故③错误；④正确．
11．已知命题p：“?x∈R，?m∈R，使4x＋2xm＋1＝0”．若命题﹁p是假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]
D．(－∞，－2)∪[2，＋∞)
解析：选C.由题意可知命题p为真，即方程4x＋2xm＋1＝0有解，所以m＝－＝－≤－2.
12．设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要不充分条件是( )
A．x<0
B．x<0或x>4
C．|x－1|>1
D．|x－2|>3
解析：选C.由f(x)＝x2－4x>0，得x<0或x>4.由|x－1|>1，得x<0或x>2.由|x－2|>3，得x<－1或x>5，所以只有C是f(x)>0的必要不充分条件．故选C.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．命题“?x0∈{x|x是正实数}，使＜x0”的否定为________命题．(填“真”或“假”)
解析：原命题的否定为“?x∈{x|x是正实数}，都有≥x”，是假命题．
答案：假
14．给出下列说法：
①若“p且q”为假，则p，q中至少有一个是假命题；
②当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增．
其中说法错误的是________(填序号)．
解析：若“p且q”为假，则p，q中至少有一个是假命题，故①说法正确；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，故②说法错误．
答案：②
15．设p：x＞2或x＜；q：x＞2或x＜－1，则﹁p是﹁q的________条件．
解析：﹁p：≤x≤2.
﹁q：－1≤x≤2.﹁p?﹁q，且﹁q ﹁p.
所以﹁p是﹁q的充分不必要条件．
答案：充分不必要
16．命题“?x∈R，ax2－2ax＋3>0”是假命题，则实数a的取值范围是________________．
解析：当a＝0时，3>0恒成立，当a≠0时，
由得0因为命题“?x∈R，ax2－2ax＋3>0”是假命题，
所以a的取值范围是(－∞，0)∪[3，＋∞)．
答案：(－∞，0)∪[3，＋∞)
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定形式，并判断真假：
(1)q：存在一个实数x0，使得x＋x0＋3≤0；
(2)r：等圆的面积相等，周长也相等．
解：(1)﹁q：?x∈R，x2＋x＋3>0.真命题．因为x2＋x＋3＝＋>0恒成立．
(2)﹁r：存在两个等圆，其面积不相等或者周长不相等．假命题．等圆的面积和周长都相等．
18．(本小题满分12分)写出命题“若x2＋7x－8＝0，则x＝－8或x＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．
解：逆命题：若x＝－8或x＝1，则x2＋7x－8＝0.
逆命题为真．
否命题：若x2＋7x－8≠0，则x≠－8且x≠1.
否命题为真．
逆否命题：若x≠－8且x≠1，则x2＋7x－8≠0.
逆否命题为真．
19．(本小题满分12分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)能被6整除的数一定是偶数；
(2)当＋|b＋2|＝0时，a＝1，b＝－2；
(3)已知x，y为正整数，当y＝x2时，y＝1，x＝1.
解：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，是真命题．
(2)若＋|b＋2|＝0，则a＝1且b＝－2，真命题．
(3)已知x，y为正整数，若y＝x2，则y＝1且x＝1，假命题．
20．(本小题满分12分)已知c>0，设命题p：y＝cx为减函数，命题q：函数f(x)＝x＋>在x∈上恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．
解：由p∨q真，p∧q假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类讨论即可．
若p真，由y＝cx为减函数，得0若q真，则<2，即c>.
若p真q假，则0所以0若p假q真，则c≥1，c>，所以c≥1.
综上可得，c的取值范围为∪[1，＋∞)．
21．(本小题满分12分)已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若﹁p是﹁q的必要条件，求实数a的取值范围．
解：由x2－4ax＋3a2＜0且a＜0得3a＜x＜a，
所以p：3a＜x＜a，即集合A＝{x|3a＜x＜a}．
由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，
所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为﹁q?﹁p，所以p?q，所以A?B，
所以?－≤a＜0，
所以a的取值范围是.
22．(本小题满分12分)给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?，
命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的取值范围：
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
解：命题甲为真命题时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，即a>或a<－1.
命题乙为真命题时，2a2－a>1，即a>1或a<－.
(1)甲、乙两个命题中至少有一个是真命题时，
a的取值范围是.
(2)甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题，有两种情况：
甲真乙假时，所以甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题时，a的取值范围为.
